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1、
1
2、 1
專題09 圓錐曲線
一．基礎(chǔ)題組
1. 【20xx全國，理3】橢圓的中心在原點，焦距為4，一條準(zhǔn)線為x＝－4，則該橢圓的方程為( )
A． B． C． D．
【答案】 C
2. 【2006全國2，理5】已知△ABC的頂點B, C在橢圓+y2=1上,頂點A是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦點在BC邊上,則△ABC的周長是（
3、）
A.2 B.6 C.4 D.12
【答案】:C
3. 已知雙曲線的一條漸近線方程為y=x,則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】:A
【解析】:的漸近線方程為±=0.
∴y=±x.
由y=x,可知=,
設(shè)a=3x,b=4x,
則c=5x,∴E=.∴選A.
4. 【2005全國2，理6】已知雙曲線的焦點為、，點在雙曲線上且軸，則到直線的距離為（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
5. 【20xx新課標(biāo)，理14】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，
4、橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為__________．
【答案】
【解析】
6. 【2005全國2，理21】(本小題滿分14分)
、、、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值．
(1)當(dāng)≠0時，MN的斜率為－，同上可推得
故四邊形面積
令=得
∵=≥2
當(dāng)=±1時=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)
∴
所以,四邊形PMQN的面積S=
則S=
顯然當(dāng)t(1,2)時函數(shù)ss遞減，當(dāng)時函數(shù)s遞增
所以當(dāng)t=2時
5、（即k=時）最小的面積為s=
而最大面積為，（注：此時MN在y軸上，PQ在x軸上）
二．能力題組
1. 【20xx新課標(biāo)，理10】設(shè)F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，則
△OAB的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 【2012全國，理8】已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
3. 【20xx新課標(biāo)，
6、理7】設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為( )
A． B． C． 2 D． 3
【答案】B
【解析】
4. 【2005全國3，理9】已知雙曲線的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5. 【20xx全國2，理15】已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B，若＝，則p＝________.
[答案]：
7、2
6. 【20xx全國2，理20】
設(shè),分別是橢圓的左右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N.
（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率；
（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.
，即，代入C的方程得，將及代入得：，解得，.
7. 【20xx課標(biāo)全國Ⅱ，理20】(本小題滿分12分)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：(a＞b＞0)右焦點的直線交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.
(1)求M的方程；
(2)C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．
因此|AB|＝.
由題意可設(shè)直線C
8、D的方程為
y＝，
設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3,4＝.
因為直線CD的斜率為1，
所以|CD|＝.
由已知，四邊形ACBD的面積.
當(dāng)n＝0時，S取得最大值，最大值為.
所以四邊形ACBD面積的最大值為.
8. 【20xx新課標(biāo)，理20】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0，－1)，B點在直線y＝－3上，M點滿足∥，，M點的軌跡為曲線C．
(1)求C的方程；
(2)P為C上的動點，l為C在P點處的切線，求O點到l距離的最小值
所以，
當(dāng)x0＝0時取等號，所以O(shè)點到l距離的最小值為2.
9. 【20x
9、x全國2，理21】已知斜率為1的直線l與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于B、D兩點，且BD的中點為M(1,3)．
(1)求C的離心率；
(2)設(shè)C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|·|BF|＝17，證明過A、B、D三點的圓與x軸相切．
故不妨設(shè)x1≤－a，x2≥a.
|BF|＝＝＝a－2x1，
|FD|＝＝＝2x2－a.
|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)
＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2
＝5a2＋4a＋8.
又|BF|·|FD|＝17，
故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1或a＝－ (舍去)．
故|BD|＝|x1－x2|＝·＝
10、6.
連結(jié)MA，則由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，從而MA＝MB＝MD，且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經(jīng)過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切．
所以過A、B、D三點的圓與x軸相切．
10. 【2005全國3，理21】（本小題滿分14分）
設(shè)兩點在拋物線上，l是AB的垂直平分線.
（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍.
由
即得l在y軸上截距的取值范圍為（）.
三．拔高題組
1. 【20xx課標(biāo)全國Ⅱ，理11】設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點
11、為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為( )．
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【答案】：C
2. 【20xx課標(biāo)全國Ⅱ，理12】已知點A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a＞0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是( )．
A．(0,1) B． C． D．
【答案】：B
【解析】：
3. 【20xx全國2，理12】已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0
12、)的離心率為，過右焦點F且斜率為k(k＞0)的直線與C相交于A、B兩點，若＝3，則k等于( )
A．1 B. C. D．2
【答案】：B
【解析】如圖，過A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1，B1，過B作BM⊥AA1于M.
4. 【2005全國3，理10】設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，則垂線，，∴，
∴，，，所以，即a2-c2=2ac，即c2+2ac-a2=0
13、，
∴，∴，∵0
14、1，故D(2，－1)．
所以D到l的距離.
6. 【2006全國2，理21】已知拋物線x2=4y的焦點為F,A,B是拋物線上的兩動點,且=λ(λ>0).過A,B兩點分別作拋物線的切線,設(shè)其交點為M.
(1)證明·為定值;
(2)設(shè)△ABM的面積為S,寫出S=f(λ)的表達(dá)式,并求S的最小值.
所以·=(,-2)·(x2-x1,y2-y1)
=(x22-x12)-2(x22-x12)=0.
所以·為定值,其值為0.
(2)由(1)知在△ABM中,FM⊥AB,
因而S=|AB||FM|.
|FM|===
==.
因為|AF|,|BF|
15、分別等于A,B到拋物線準(zhǔn)線y=-1的距離,
所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ++2=()2.
于是S=|AB||FM|=()3,
由≥2,知S≥4,且當(dāng)λ=1時,S取得最小值4.
7. 【20xx高考新課標(biāo)2，理11】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
8. 【20xx高考新課標(biāo)2，理20】（本題滿分12分）
已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，，線段的中點為．
(Ⅰ)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
（Ⅱ）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由．
【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）能，或．
．解得，．因為，，，所以當(dāng)?shù)男甭蕿?
或時，四邊形為平行四邊形．
【考點定位】1、弦的中點問題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系．
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