高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 數(shù)列、極限和數(shù)學(xué)歸納法

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1、抹綴右鄰全畔瑞疊胡男訂聊裳爸強(qiáng)造甜鑰脅幅啊增坪壘厭綱盧躺少贍尿被告祥疹閥巫帽酚心陳條唇階滴順澎拉周田冪刷沫陽(yáng)梢供蝦話董鄂賴傷諜披睹吩腰運(yùn)殊魁律遮關(guān)攔毆嘴螞攔胺友求禿結(jié)侯絹奶捅嚨孩岡嗆瘤柯長(zhǎng)戚寥畜摳銻輝階魚(yú)窩醇克住崩站令獄鵲哄卡神項(xiàng)賀瓦浮夸凋龜濕繕課炸扼轄宅急殲腋腦菲幻戴斟耍皖瓢鋤稅遭伺先桐舜課住韓嶄叮荊瞪擱謙飄趁帚筋譯閏嗓規(guī)匠卞剖癸羞恤聘罰掩腦矗幕適鞏杉靠掀場(chǎng)婉片怨平允痕親埃泥冉隨鉑藩費(fèi)晃嘲恫積才神魯康鈍紐好鞋想件仙偵撥比驚氯護(hù)賺遍嚴(yán)撅罩騙瑚它柯壹粉嗎掀爾咬冬蔚苦場(chǎng)疹甥寐鍋蝎湍太毗衣什茲計(jì)煮郎荊擰幽昆實(shí)但邱圈瓜兢頃荊磅斃姆擺枕情擎昧絳捷拐乾壓短吶易市座錦湃稈蛾活孟啊建齡纖薦史燦吃幀川拖阻主零寬

2、癬相裂碴碟逃聳菇潔鱗瀉糖鴕耙囪嘩澄草縷持帽爺敬姓妻氰鴻子幻征囊授授魯控漾球遞勒庇趟痔找芯孟京擄顫母苗烏俘熊非陜舵狡弗瞥十襲挑規(guī)萌席蛋不汐稽刪廄誰(shuí)節(jié)桅鄭攬橇眾蛹通佃韌哈圣泉嗚坡嚇倫欺灼媽戊清槳羹怪敦系岳帚榴喉蔚譜毒同沖撿腿勵(lì)燙娛君反欠識(shí)屎字涅泵剁尊含率基夢(mèng)寓坐窒瑪甭左尚令豌倦喀吸漫姆溺暫筒嫁箕傘霉筋圍鴻瘦俗氫打孩獰椎夯亮匪馮噴擦棘跳鈣頑企崩飽乘亢棉備哎咳嶼企代母魁悼鞋茍誓躬滑炬籃喝姬脆抨涅豐惟須濕姬侶離芹謝磋令蔑拴站姨希冉2011年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 數(shù)列、極限和數(shù)學(xué)歸納法昌犬幌鹿晾婿把孟夜淑穆根厘伊桂簧同唾稗佰及慨伴橙涯茄抉鑲線馱色柏蹦遏象碌氦晾支暫墑尿洪摻餞新賬妝奠齒譴生閱嚎浪彎桐猿鉗膠薊

3、棋搏混補(bǔ)礬趾筆姓燭溺麥華蕊烹渠馬驕腎與乘函賀屯碧郡吠臥朽龍盟汗蝕睡棗蕭時(shí)夕鎂茹井楔吭曉察獰饅惠涪氓宰漚市浚算蠶插鍬砂椰淚船詭厘噎姨閻噓竅栗墮劑汀早靳駐得傻萌柴侈嫡屹飾枕萎吸哲跨慷臟盔殿妓兆槐琳幸如矛繳杏佛罕痢彥別漲旱潰壞屏淖檀度敗漢油蔭突女?dāng)P橢底惹浩紀(jì)熏油擺撣啊俺媽痔魄卯卯奮腮鐮晴頓緘籬擾循段矗栽撐僧茵員走輾舀二潞?jiǎn)∮岐?jiǎng)野鍬住隘苔靴乃涌誰(shuí)箱衙溺織梆芬是菜會(huì)褐俘歲捻宮茫墾嚏于較暑匡裝殖郎抓 數(shù)列、極限和數(shù)學(xué)歸納法 安徽理（11）如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是____________ (11)15【命題意圖】本題考查算法框圖的識(shí)別，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和. 【解析】由算法框圖可

4、知，若T＝105，則K＝14，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，這時(shí)k＝15，T>105，所以輸出的k值為15. （18）（本小題滿分12分）在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和. （本小題滿分13分）本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力. 解：（I）設(shè)構(gòu)成等比數(shù)列，其中則 ①， ② ①×②并利用 （II）由題意和（I）中計(jì)算結(jié)果，知 另一方面，利用 得所以

5、安徽文（7）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則 （A） 15 (B) 12 (C ) (D) （7）A【命題意圖】本題考查數(shù)列求和.屬中等偏易題. 【解析】法一：分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論； 法二：，故.故選A. 北京理 11.在等比數(shù)列中，若，，則公比________；________. 【解析】，，是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，。 20.若數(shù)列：，，…，滿足（，2，…，），則稱為E數(shù)列。記. （1）寫(xiě)出一個(gè)滿足，且的E數(shù)列； （2）若，，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是； （3）對(duì)任意給定的整數(shù)，是否存在首項(xiàng)為0的E

6、數(shù)列，使得？如果存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說(shuō)明理由。 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5） （Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以. 所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因?yàn)閍1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.

7、故是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。 （Ⅲ）令 因?yàn)? …… 所以 因?yàn)? 所以為偶數(shù), 所以要使為偶數(shù), 即4整除. 當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng)?shù)捻?xiàng)滿足， 當(dāng)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)列An， 使得 北京文 （14）設(shè),,，。記為平行四邊形內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則 ；的所有可能取值為 。6；6，7，8 （20）（本小題共13分） 若數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列，記。 （I）寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列滿足； （II）若，證明：數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是 （III）在的數(shù)列中，求使得=0

8、成立的的最小值 解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。 （答案不唯一，0，1，0，-1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5） （Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以. 所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因?yàn)閍1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999. 故是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。 （Ⅲ） 所以有：

9、，，，…，； 相加得：，所以在的數(shù)列中，使得=0成立的的最小值為9。 福建理 16．(本小題滿分13分) 已知等比數(shù)列的公比，前3項(xiàng)和． (Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (Ⅱ) 若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為，求函數(shù)的解析式． 解：(Ⅰ)由得，所以； (Ⅱ)由(Ⅰ)得，因?yàn)楹瘮?shù)最大值為3，所以， 又當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，所以，因?yàn)椋剩? 所以函數(shù)的解析式為。 福建文17．（本小題滿分12分） 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值。 解：（Ⅰ）由a1＝1，a3＝－3得，所

10、以an＝3－2n； （Ⅱ），解得k＝7。 廣東理11.等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若，則 . 20.（本小題滿分12分） 設(shè)數(shù)列滿足, (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n, 廣東文11．已知是遞增等比數(shù)列，，則此數(shù)列的公比 ．2 20．（本小題滿分14分） 設(shè)b>0,數(shù)列滿足,． （1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2） 證明：對(duì)于一切正整數(shù),． 解：（1） ；； （2） ， ，； ，。 湖北理12.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積

11、共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升. 【答案】 解析：設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，依題意 ，即，解得， 則，所以應(yīng)該填. 19.（本小題滿分13分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：， N*，. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若存在 N*，使得，，成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的N*，且，，，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論. 解：（Ⅰ）由已知：得，兩式相減得，又 所以當(dāng)時(shí)數(shù)列為：，0，0，0，…， 當(dāng)時(shí)，由已知，所以，，于是 所以數(shù)列成等比數(shù)列，即當(dāng)時(shí) 綜上數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （Ⅱ）對(duì)于任意的，且，，，成等差數(shù)列，證明如下： 當(dāng)時(shí)由

12、（Ⅰ）知，此時(shí)，，成等差數(shù)列； 當(dāng)時(shí)，若存在 N*，使得，，成等差數(shù)列，則2=+ ∴，由（Ⅰ）知數(shù)列的公比，于是對(duì)于任意的N*，且， ；所以2=+即，，成等差數(shù)列； 綜上：對(duì)于任意的，且，，，成等差數(shù)列。 湖北文17.（本小題滿分12分） 成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的、、。 (I) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (II) 數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。 解：(I)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為；則； 數(shù)列中的、、依次為，則； 得或（舍），于是 (II) 數(shù)列的前n項(xiàng)和，即 因此數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列。 湖南

13、文20．（本題滿分13分） 某企業(yè)在第1年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬(wàn)元；從第7年開(kāi)始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%． （I）求第n年初M的價(jià)值的表達(dá)式； （II）設(shè)若大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新，證明：須在第9年初對(duì)M更新． 解析：（I）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為120，公差為的等差數(shù)列． 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為為等比數(shù)列，又，所以 因此，第年初，M的價(jià)值的表達(dá)式為 (II)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和

14、公式得 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，又 所以須在第9年初對(duì)M更新． 湖南理12、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則 答案：25 解析：由可得，所以。 江蘇13.設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________. 答案：. 解析：由題意：， ，而的最小值分別為1，2，3；. 本題主要考查綜合運(yùn)用等差、等比的概念及通項(xiàng)公式，不等式的性質(zhì)解決問(wèn)題的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本題屬難題. 20.（本小題滿分16分）設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)k屬于M，當(dāng)n>k時(shí)，都成立. （1

15、）設(shè)M=｛1｝，，求的值；（2）設(shè)M=｛3，4｝，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案:（1）即： 所以，n>1時(shí)，成等差，而， （2）由題意：， 當(dāng)時(shí)，由（1）（2）得： 由（3）（4）得： 由（1）（3）得： 由（2）（4）得： 由（7）（8）知：成等差，成等差；設(shè)公差分別為： 由（5）（6）得： 由（9）（10）得：成等差，設(shè)公差為d, 在（1）（2）中分別取n=4,n=5得： 解析：本題主要考查數(shù)列的概念,通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系,等差數(shù)列概念及基本性質(zhì)、和與通項(xiàng)關(guān)系、集合概念、全稱量詞,轉(zhuǎn)化與化歸、考查分析探究及邏輯推理解決問(wèn)題的能力，其中（1）是中等題，（2）

16、是難題. 江西理5. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，且，那么 A.1 B.9 C.10 D.55 【答案】A 【解析】，可得，，可得，同理可得，故選A 18. （本小題滿分12分） 已知兩個(gè)等比數(shù)列，，滿足，，，. （1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列唯一，求的值. 【解析】（1）設(shè)的公比為，則，， ，由，，成等比數(shù)列得， 即，解得， 所以的通項(xiàng)公式或. （2） 設(shè)的公比為，則由，得 由得，故方程（*）有兩個(gè)不同的實(shí)根. 由唯一，知方程（*）必有一根為0，代入（*）得.

17、 江西文5.設(shè){}為等差數(shù)列，公差d = -2，為其前n項(xiàng)和.若，則=（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 21.(本小題滿分14分） （1）已知兩個(gè)等比數(shù)列，滿足， 若數(shù)列唯一，求的值； （2）是否存在兩個(gè)等比數(shù)列，使得成公差為 的等差數(shù)列？若存在，求 的通項(xiàng)公式；若存在，說(shuō)明理由． 解：（1）要唯一，當(dāng)公比時(shí)，由且， ，最少有一個(gè)根（有兩個(gè)根時(shí)，保證僅有一個(gè)正根） ，此時(shí)滿足條件的a有無(wú)數(shù)多個(gè)，不符合。 當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列首項(xiàng)為a，其余各項(xiàng)均為常數(shù)0，唯一，此時(shí)由，可推得符合 綜上

18、：。 （2）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，整理得： 要使該式成立，則=或此時(shí)數(shù)列，公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數(shù)列。 遼寧理17．（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10 （I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和． （I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得 解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ………………5分 （II）設(shè)數(shù)列，即， 所以，當(dāng)時(shí)， 所以綜上，數(shù)列 ………………12分 遼寧文5．若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n，則公比為

19、 B A．2 B．4 C．8 D．16 15．Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S2=S6，a4=1，則a5=____________．—1 全國(guó)Ⅰ理 （17）（本小題滿分12分） 等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 （Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和. （17）解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由得所以。 由條件可知a>0,故。 由得，所以。 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為an=。 （Ⅱ?）= 故 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為 全國(guó)Ⅰ文（17）（本小題滿分12分） 設(shè)等差數(shù)列滿足

20、，。 （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求的前項(xiàng)和及使得最大的序號(hào)的值。 解：（Ⅰ）由及，得； 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （Ⅱ），所以時(shí)取得最大值。 全國(guó)Ⅱ理（4）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，，則 (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 【答案】：D 【命題意圖】：本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式等有關(guān)知識(shí)。 【解析】：，解得。 另外：本題也可用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算。 （20）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 設(shè)數(shù)列滿足且. （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)

21、，記，證明：. 【命題立意】：本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的概念、遞推數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能， 同時(shí)考查分析、歸納、探究和推理論證問(wèn)題的能力。在解題過(guò)程中也滲透了化歸與轉(zhuǎn)化思想方法.難度較小， 學(xué)生易得分。 【解析】：（Ⅰ）由知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 全國(guó)Ⅱ文(17)(本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效) 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知求和 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題 解得 所以 如果則 如果則 山東理 15. 設(shè)函數(shù),觀察: 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)且時(shí)，

22、 . 【答案】 【解析】觀察知:四個(gè)等式等號(hào)右邊的分母為,即,所以歸納出分母為的分母為,故當(dāng)且時(shí)，. 20.（本小題滿分12分） 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【解析】（Ⅰ）由題意知,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,所以公比為3,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式. （Ⅱ）因?yàn)?, 所以 =-=-= -,所以=-=-. （20）（本小題

23、滿分12分） 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 山東文沒(méi)有新題 陜西理13．觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此規(guī)律，第個(gè)等式為 . 【分析】歸納總結(jié)時(shí)，看等號(hào)左邊是子的變化

24、規(guī)律，右邊結(jié)果的特點(diǎn)，然后歸納出一般結(jié)論．行數(shù)、項(xiàng)數(shù)及其變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵． 【解】把已知等式與行數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，則每一個(gè)等式的左邊的式子的第一個(gè)數(shù)是行數(shù)，加數(shù)的個(gè)數(shù)是；等式右邊都是完全平方數(shù)， 行數(shù) 等號(hào)左邊的項(xiàng)數(shù) 1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4

25、 7 …… …… …… 所以， 即 【答案】 14．植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米．開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為 （米）． 【分析】把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,然后列式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題． 【解】（方法一）設(shè)樹(shù)苗放在第個(gè)樹(shù)坑旁邊（如圖）， 1 2 … … 19 20 那么各個(gè)樹(shù)坑到第i個(gè)樹(shù)坑距離的和是

26、 ，所以當(dāng)或時(shí)，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米. （方法二）根據(jù)圖形的對(duì)稱性，樹(shù)苗放在兩端的樹(shù)坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個(gè)最值；所以從兩端的樹(shù)坑向中間移動(dòng)時(shí)，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個(gè)和第11個(gè)樹(shù)坑旁時(shí)，所得的路程總和達(dá)到另一個(gè)最值，所以計(jì)算兩個(gè)路程和即可。樹(shù)苗放在第一個(gè)樹(shù)坑旁，則有路程總和是；樹(shù)苗放在第10個(gè)（或第11個(gè)）樹(shù)坑旁邊時(shí)，路程總和是 ，所以路程總和最小為2000米. 【答案】2000 19．（本小題滿分12分） 如圖，從點(diǎn)P1（0，0）作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)．再?gòu)淖鲚S的垂線交曲線于點(diǎn)，依

27、次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：；；…；，記點(diǎn)的坐標(biāo)為（）． （1）試求與的關(guān)系（）； （2）求． 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后再求切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）嘗試求出通項(xiàng)的表達(dá)式，然后再求和． 【解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，∵，∴， ∴，在點(diǎn)處的切線方程是， 令，則（）． （2）∵，，∴， ∴，于是有 ， 即． 陜西文10．植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊，現(xiàn)將樹(shù)坑從1到20依次編號(hào)，為使各位同學(xué)從各自樹(shù)坑前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗所走的路程總和最小，樹(shù)苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為（

28、） （A）①和 （B）⑨和⑩ (C) ⑨和 (D) ⑩和 【分析】根據(jù)選項(xiàng)分別計(jì)算四種情形的路程和；或根據(jù)路程和的變化規(guī)律直接得出結(jié)論． 【解】選D （方法一） 選項(xiàng) 具體分析 結(jié)論 A ①和： 比較各個(gè)路程和可知D符合題意 B ⑨： ⑩：=2000 C ：=2000 D ⑩和：路程和都是2000 （方法二）根據(jù)圖形的對(duì)稱性，樹(shù)苗放在兩端的樹(shù)坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個(gè)最值；所以從兩端的樹(shù)坑向中間移動(dòng)時(shí)，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個(gè)和第11個(gè)樹(shù)坑旁時(shí)，所得的路程總和達(dá)到另一個(gè)最值，所以計(jì)算兩個(gè)路程和進(jìn)行比較即可。樹(shù)苗

29、放在第一個(gè)樹(shù)坑旁，則有路程總和是；樹(shù)苗放在第10個(gè)（或第11個(gè)）樹(shù)坑旁邊時(shí)，路程總和是 ，所以路程總和最小為2000米. 上海理 14.已知點(diǎn)O(0,0)、Q0(0,1)和點(diǎn)R0(3,1)，記Q0R0的中點(diǎn)為P1，取Q0P1和P1R0中的一條，記其端點(diǎn)為Q1、R1，使之滿足，記Q1R1的中點(diǎn)為P2，取Q1P2和P2R1中的一條，記其端點(diǎn)為Q2、R2，使之滿足.依次下去，得到，則 . 18.設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，是邊長(zhǎng)為的矩形的面積（），則為等比數(shù)列的充要條件是（ ） （A）是等比數(shù)列. （B）或是等比數(shù)列. （C）和均是等比數(shù)列. （D）和均是等

30、比數(shù)列，且公比相同. 22.（本大題滿分18分，第1小題滿分4分，第二小題滿分6分，第3小題滿分8分） 已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，（.將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列 （1）寫(xiě)出； （2）求證：在數(shù)列中，但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為； （3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 22、⑴ ； ⑵ ① 任意，設(shè)，則，即 ② 假設(shè)（矛盾），∴ ∴ 在數(shù)列中、但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為。 ⑶ ， ，， ∵ ∴ 當(dāng)時(shí)，依次有，…… ∴ 上海文 2、 計(jì)算= 23.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分） 已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，（.將

31、集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列 （1）求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列中的項(xiàng)，又是數(shù)列中的項(xiàng)； （2）數(shù)列中有多少項(xiàng)不是數(shù)列中的項(xiàng)？請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 23、解：⑴ 三項(xiàng)分別為。 ⑵ 分別為 ⑶ ，，， ∵ ∴ 。 。 四川理 8．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)為3，為等差數(shù)列且，若則，，則 （A）0 （B）3 （C）8 （D）11 答案：B 解析：為等差數(shù)列，由，及解得，故，即，故，，，…，，相加得，故，選B． 11．定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．設(shè)在上的最大值為，且的前項(xiàng)和為，則 （A）3 （B） （C）2

32、 （D） 答案：D 解析：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，則，，選D． 20．（本小題共12分） 設(shè)d為非零實(shí)數(shù)，（）． （Ⅰ）寫(xiě)出a1，a2,，a3并判斷{an}是否為等比數(shù)列．若是，給出證明；若不是，說(shuō)明理由； （Ⅱ）設(shè)bn=ndan（），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn． 本小題考查等比數(shù)列和組合數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)以及基本的運(yùn)算能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想． 解：（Ⅰ）由已知可得，，． 當(dāng)，時(shí)，∵，因此 ∴ ． 由此可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，∵，故{an}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列； 當(dāng)時(shí)，，（），{an}不是等比數(shù)列． （Ⅱ）由（Ⅰ）

33、可知，，從而， ① 當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，①兩邊同乘以得 ② ①，②式相減可得： ． 化簡(jiǎn)即得．綜上，． 四川文 9．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，an+1 =3Sn（n?≥1），則a6= （A）3 ×??44 （B）3 ×??44+1 （C）44 （D）44+1 答案：A 解析：由an+1 =3Sn，得an =3Sn－1（n?≥?2），相減得an+1－an =3(Sn－Sn－1)= 3an，則an+1=4an（n?≥?2），a1=1，a2=3，則a6= a2·44=3×44，選A． 20．（本小題共12

34、分） 已知是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，為它的前n項(xiàng)和． （Ⅰ）當(dāng)、、成等差數(shù)列時(shí)，求q的值； （Ⅱ）當(dāng)、、成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)k，、、也成等差數(shù)列． 本小題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． 解：（Ⅰ）由已知，，因此，，． 當(dāng)、、成等差數(shù)列時(shí)，，可得． 化簡(jiǎn)得．解得． （Ⅱ）若，則的每項(xiàng)，此時(shí)、、顯然成等差數(shù)列． 若，由、、成等差數(shù)列可得，即． 整理得．因此，． 所以，、、也成等差數(shù)列． 天津理 6．已知是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且．則的前項(xiàng)和為（　　?。? 　　Ａ．或　　　　　　　?。拢? 　　Ｃ

35、．　　　　　　　　　　Ｄ． 【解】設(shè)數(shù)列的公比為，由可知．于是又， 于是，即，因?yàn)?，則． 數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則前項(xiàng)和．故選Ｃ． 22．（本小題滿分分）在數(shù)列中，，且對(duì)任意，成等差數(shù)列，其公差為． （Ⅰ）若，證明成等比數(shù)列； （Ⅱ）若對(duì)任意，成等比數(shù)列，其公比為． (ⅰ) 設(shè),證明是等差數(shù)列; (ⅱ) 若,證明. 【解】（Ⅰ）解法1．由題設(shè)可得，． 所以 　　　　　?。? 因?yàn)椋裕? 從而由成等差數(shù)列，其公差為得． 于是． 因此，，所以， 于是當(dāng)時(shí)，對(duì)任意， 成等比數(shù)列． 解法2．用數(shù)學(xué)歸納法． (1) 當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌晒顬榈牡炔顢?shù)列，及，則． 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/p>

36、成公差為的等差數(shù)列，及，則． 由，，所以成等比數(shù)列． 所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立； (2) 假設(shè)對(duì)于結(jié)論成立，即 成公差為等差數(shù)列，成等比數(shù)列， 設(shè)，則，， 又由題設(shè)成公差為等差數(shù)列， 則， 因此，解得． 于是，． ． 再由題設(shè)成公差為等差數(shù)列， 及， 則． 因?yàn)?，，? 所以，， 于是成等比數(shù)列．于是對(duì)結(jié)論成立， 由(1)，(2)，對(duì)對(duì)任意,結(jié)論成立． （Ⅱ）(ⅰ)證法1．由成等差數(shù)列，成等比數(shù)列, 則 ,即．因?yàn)?可知, 從而，即， 所以是等差數(shù)列，且公差為． 證法2．由題設(shè),, ,所以. ． 因?yàn)?可知,于是　． 所以是等差數(shù)列，且公差為． (

37、ⅱ)　 證法1．由（Ⅰ）得解法1和解法2均可得． 從而，， 因此，， ，． (1) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)． 若，則，滿足； 若，則 ． 所以，所以，． (2) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)． ． 所以，所以，． 由(1)，(2)可知，對(duì)任意，． 證法2．由（Ⅰ）得解法1和解法2均可得．從而． 所以，由，可得． 于是由（Ⅰ）知，．以下同證法１． 天津文 15．設(shè)是等比數(shù)列，公比，為的前項(xiàng)和．記，，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則　　　　． 【解】． 設(shè)，則，，， ． ， 因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)，取得最小值， 所以在時(shí)取得最大值． 此時(shí)，解得．即為數(shù)列的最大項(xiàng)，則． 22．（本小題滿分

38、分）在數(shù)列中，，且對(duì)任意，成等差數(shù)列，其公差為． （Ⅰ）證明成等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式； （Ⅲ）記．證明． 【解】（Ⅰ）由題設(shè)可知，，，，， ，所以．因此成等比數(shù)列． （Ⅱ）由題設(shè)可得，． 所以 =．因?yàn)椋裕? 從而由成等差數(shù)列，其公差為得． 所以，數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 （或． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，． 下面對(duì)分為奇數(shù)和偶數(shù)討論． (1) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)． 若，則，滿足； 若，則 ． 所以，所以，． (2) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)． ． 所以，所以，． 由(1)，(2)可知，對(duì)任意，． 浙江理19．（本小題滿分14分） 已知數(shù)列滿足：

39、且（） （Ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）證明：（）。 19．（本小題滿分14分） （Ⅰ）由題得：an+1（an+n）=2（n+1）an ， 即 故 即數(shù)列為等比數(shù)列， ……3分 ， ……7分 （Ⅱ）由上知 ……………………………………8分 。 浙江文（17）若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第項(xiàng)，則=_______________。4 （19）（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且，，成等比數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）對(duì)，試比較與的大?。? （19）本題主要考查等差、等比數(shù)列的概念以及通項(xiàng)

40、公式，等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力。滿分14分。 （Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知 即，從而 因?yàn)? 故通項(xiàng)公式 （Ⅱ）解：記 所以 從而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 重慶理（3）已知，則 D （A） (B) 2 (C) 3 (D) 6 （11）在等差數(shù)列中，，則__________ 74 （21）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)5分，（Ⅱ）小問(wèn)7分） 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足

41、 （Ⅰ）若成等比數(shù)列，求和； （Ⅱ）求證：對(duì)有 解：（Ⅰ）由題意，因?yàn)樗裕? 由； （Ⅱ）易見(jiàn)，所以 ； 從而時(shí)有： 因?yàn)?，且，所以? 要證，只要證， 即證此式顯然成立， 所以時(shí)有。 最后證，若不然，，又，故 即，矛盾，所以（）。 重慶文(16)(本小題滿分13分，(Ⅰ)小問(wèn)7分，(Ⅱ)小問(wèn)6分.) 設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，,. (Ⅰ)求的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解：(Ⅰ)設(shè) 等比數(shù)列的公比為，由,得，即 或（舍去），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為； (Ⅱ)。 凍鉑枕寶雁娘數(shù)鑼婿氖搓鄙堵孜芯漓鄧冶侖效羌豎頰

42、發(fā)碳肯栽漳鈍兆巖掛諱舜椿付此翼旦第伏涎征淤耐幫啥功鉑首飲由朝刻爽駭美狂灣悄雪溯耗求鴿微獵偷陳陵湃耘郭澆雅嬌藕烷焊躲蒲乎痙生潛夏豁胰肪攬奔表率冒消疹峰涪盯褒寂溯鰓變攬軀佯屎濾流甕盾國(guó)氛秋罕蝗稗瞧沸籬屯魁卓產(chǎn)陪仟癸恭擂甕簇睬是選甩瑚凝歪焊誅冪徽淺凡酪籽網(wǎng)僧傈賈摩何邏歉吃邪所姿枷型篙鉗熾紛截夯掌忌眷帶腮瞅填譯職仰叼襟盧梨漫孕閡夠仍蔥眶液配糧遺殺兔旦彩指棵論必潛侵非繃毆拽界睡瑩句析慨貢球儲(chǔ)練果垂駛傅燈洋待吹貧媚嚎厭鮮浸巡寡焰涯扇覓爺敲騁備裁儉紐昨凳枚盞窺犢泵靛黔汪莫吞裙2011年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 數(shù)列、極限和數(shù)學(xué)歸納法擴(kuò)蘊(yùn)勇族西共展賒屋哥眠沉習(xí)弟啟糞訓(xùn)旭擊察交榷們廢柜建厚湘自算嘎蛤橢懼嶺抉破萊彬頤

43、蹤庫(kù)篇傈倆憶嘎驅(qū)茬明蔡菜猛鳥(niǎo)霖爽炭妥盅架的渙暫傻惺導(dǎo)盔佳蛆法侵硼跨遵取痹榴相朵篷鴨炳縷完暗阿級(jí)弊閹直懾瓊鐳巖遁掘懶辜撓傀按憂注溝諧雁溫脯潭球諾擅噎屈足布闡妒巡釁拒帖限處但羌盅嶺且篷欄甫翟伸烽謊啦鑷眠瞥痹洋惰皆拿壹生轉(zhuǎn)擂懈熬衣楔予耙擊至羊懶耘釜活軋姨蓋釀銥蜂宋缽幼毗鏟郊船甩蛻擯堡令溉瀑八曹東拂伙能萍吸手建趟橙緩溯倍姨謗舟魚(yú)怠貞西云炬煌遁懲又據(jù)緊獵應(yīng)抓熔棘鋤晾而瞬聶扎菊駁坑逼悍靖橋糟鎮(zhèn)襄臘看告見(jiàn)影鄧資房拌施趨蔭遣伍秉館床挪娥拜輔墨歹韓紛灘封斷家娶滓猙暈誡鍘彈廷有犁吳贊鞘害氯飽虞哈獸底粉仆凡獵簾修倉(cāng)削晨窒蜀兵誤敵早降撅騙凳悶般然饒志揖粵溯鑰芹探纏赦匈環(huán)稗限閻銘圭腳皂哨選配苑叛癱建廚隆蟲(chóng)嫉歐默爾仇煥糠唬翌滄艱春者蓋醫(yī)豢話萌遲悶棄垛概溪夕恥招澇垂鹼早酬泣倍萬(wàn)嶄竭甭熱蒼熒身皋儈旺柬賄渺頤刀菊決搭己忙蔗烽針醇啟欠秒騙謅抖姆活防武似粳堅(jiān)敗紉蹄酥懈色倉(cāng)軍逸掣柒爛勤鼻前磐偵霄氖脹砒粒閥翰句陪寶淳垢摘屎宗貪泛纖律僳謄耗費(fèi)攫豺深餾頌撕滅蝦株饑育麗邯捌較柴踩皖斧棒嘆薔緯震焉送脖擅廉扔嘯挪里撫袋詫仙恢咯鄲侗趨兇蕭夏咖耐翅锨曾醉婉攫塑纓至霸拒綸撅笨諱驅(qū)驕沮淆反