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專題06 數(shù)列
一．基礎(chǔ)題組
1. 【20xx課標(biāo)全國Ⅱ，理3】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝( )．
A． B． C． D．
【答案】：C
2. 【20xx全國，理5】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列{}的前100項(xiàng)和為( )
A．
3、 B． C． D．
【答案】 A
＝.
3. 【20xx全國2，理4】如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14 B．21 C．28 D．35
【答案】：C
4. 【2006全國2，理14】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且AB=1,BC=4,則邊BC上的中線AD的長為 .
【答案】:
5. 【20xx新課標(biāo)，理17】（本小題滿分12分）
已知數(shù)列滿足=1，.
（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：.
【解析】：（Ⅰ）證明：由得，所以
4、，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為3，所以，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，于是=，
所以.
6. 【20xx新課標(biāo)，理17】等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
7. 【20xx高考新課標(biāo)2，理16】設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則________．
【答案】
【解析】由已知得，兩邊同時(shí)除以，得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以．
【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列和遞推關(guān)系．
8.
二．能力題組
1. 【20xx課
5、標(biāo)全國Ⅱ，理16】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為__________．
【答案】：－49
2. 【20xx全國2，理18】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(n2＋n)·3n.
(1)求 ；
(2)證明＞3n.
【解析】： (1)解： ＝＝
＝1－，
＝＝，
所以＝.
3. 【2005全國3，理20】(本小題滿分12分)
在等差數(shù)列中，公差的等差中項(xiàng).已知數(shù)列成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)
4. 【2005全國2，理18】(本小題滿分12分)
已知是各項(xiàng)為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，、、成等差數(shù)列．又，．
(Ⅰ) 證明為等比數(shù)
6、列；
(Ⅱ) 如果無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，求數(shù)列的首項(xiàng)和公差．
(注：無窮數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)時(shí)數(shù)列前項(xiàng)和的極限)
三．拔高題組
1. 【2006全國2，理11】設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若=,則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】:A
【解析】:由已知設(shè)a1+a2+a3=T,a4+a5+a6=2T,a7+a8+a9=3T,
a10+a11+a12=4T.
∴=.
∴選A.
2. 【2005全國2，理11】如果為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差，則（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
7、
3. 【20xx全國，理22】函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，定義數(shù)列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是過兩點(diǎn)P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(1)證明：2≤xn＜xn＋1＜3；
(2)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式．
由歸納假設(shè)知；
xk＋2－xk＋1＝，
即xk＋1＜xk＋2.
所以2≤xk＋1＜xk＋2＜3，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②知對任意的正整數(shù)n,2≤xn＜xn＋1＜3.
4. 【2006全國2，理22】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1,n= 1,2,3,….
(1)求a1,a2;
(2)求{an}的通項(xiàng)公式.
由①可得S3=.
由此猜想Sn=,n=1,2,3,….
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.
(ⅰ)n=1時(shí)已知結(jié)論成立.
(ⅱ)假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即Sk=,
當(dāng)n=k+1時(shí),由①得Sk+1=,
即Sk+1=,故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
綜上,由(ⅰ)(ⅱ)可知Sn=對所有正整數(shù)n都成立.
于是當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-=,
又n=1時(shí),a1==,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=,n=1,2,3,….
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