新編高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第十一章】統(tǒng)計(jì)與概率 第5講幾何概型

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第5講 幾何概型 一、選擇題 1、如圖，在邊長為25cm的正方形中挖去邊長為23cm的兩個(gè)等腰直角三角形，現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中，問粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是多少？ A. B. C. D. 解析 因?yàn)榫鶆虻牧Ｗ勇湓谡叫蝺?nèi)任何一點(diǎn)是等可能的 所以符合幾何概型的條件。 設(shè)A＝“粒子落在中間帶形區(qū)域”則依題意得正方形面積為：25×25＝625 兩個(gè)等腰直角三角形的面積為：2××23×23＝529 帶形區(qū)域的面積為：625－529＝9

2、6 ∴　 P（A）＝　 答案　A 2.一只螞蟻在如圖所示的地板磚(除顏色不同外，其余全部相同)上爬來爬去，它最后隨意停留在黑色地板磚上的概率是(　　) A. B. C. D. 　 解析 每個(gè)小方塊的面積相等，而黑色地板磚占總體的，故螞蟻停留在黑色地板磚上的概率是 答案　B 3. 如圖的矩形長為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，由此我們可以估計(jì)出陰影部分的面積約為 (　　)． A. B. C. D. 解析　由幾何概型

3、的概率公式，得＝，所以陰影部分面積約為，故選C. 答案　C 4．在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為 (　　)． A. B. C. D. 解析　設(shè)出AC的長度，先利用矩形面積小于32 cm2求出AC長度的范圍，再利用幾何概型的概率公式求解．設(shè)AC＝x cm，CB＝(12－x)cm，0＜x＜12，所以矩形面積小于32 cm2即為x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，故所求概率為＝. 答案　C 5. 分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域

4、所示，若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為 (　　)． A. B. C. D. 解析　設(shè)正方形邊長為2，陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1的圓減去圓內(nèi)接正方形的面積，即為π－2，則陰影區(qū)域的面積為2π－4，所以所求概率為P＝＝. 答案　B 6．若利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個(gè)不等的隨機(jī)數(shù)a和b，則方程x＝2－有不等實(shí)數(shù)根的概率為 (　　)． A. B. C. D. 解析　方程x＝2－，即x2－2x＋2b＝0，原方程有不等實(shí)數(shù)根，則需滿足Δ＝(2)2－4×2b>0，即a>b.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系

5、內(nèi)，(a，b)的所有可能結(jié)果是邊長為1的正方形(不包括邊界)，而事件A“方程x＝2－有不等實(shí)數(shù)根”的可能結(jié)果為圖中陰影部分(不包括邊界)．由幾何概型公式可得P(A)＝＝.故選B. 答案　B 二、填空題 7．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，cos x的值介于0至之間的概率為________． 解析　根據(jù)題目條件，結(jié)合幾何概型的概率公式可得所求的概率為P＝＝. 答案　 8．小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________． 解析　設(shè)A＝{小波

6、周末去看電影}，B＝{小波周末去打籃球}，C＝{小波周末在家看書}，D＝{小波周末不在家看書}，如圖所示，則P(D)＝1－＝. 答案　 9．有一個(gè)底面圓的半徑為1，高為3的圓柱，點(diǎn)O1，O2分別為這個(gè)圓柱上底面和下底面的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離都大于1的概率為________． 解析　確定點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離小于等于1的點(diǎn)的集合為，以點(diǎn)O1，O2為球心，1為半徑的兩個(gè)半球，求得體積為V＝2××π×13＝π，圓柱的體積為V＝Sh＝3π，所以點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離都大于1的概率為V＝1－＝. 答案　 10．已知正三棱錐S－ABC的底邊長為4，高為3

7、，在三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC

8、含邊界)，滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的點(diǎn)的區(qū)域 為以(2,2)為圓心，2為半徑的圓面(含邊界)． ∴所求的概率P1＝＝. 12．已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝mx＋n. (1)設(shè)集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為m和n，求函數(shù)y＝mx＋n是增函數(shù)的概率； (2)實(shí)數(shù)m，n滿足條件 求函數(shù)y＝mx＋n的圖象經(jīng)過一、二、三象限的概率． 解　(1)抽取的全部結(jié)果的基本事件有： (－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10個(gè)基本事件

9、． 設(shè)使函數(shù)為增函數(shù)的事件為A，則A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6個(gè)基本事件，所以，P(A)＝＝. (2)m，n滿足條件的區(qū)域如圖所示，要使函數(shù)的圖象過一、二、三象限，則m＞0，n＞0，故使函數(shù)圖象過一、二、三象限的(m，n)的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙薜年幱安糠郑? ∴所求事件的概率為P＝＝. 13．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，設(shè)M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素(x，y)． (1)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2＋y2＝1上的概率； (2)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)

10、域D：內(nèi)(含邊界)的概率． 解　(1)記“以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2＋y2＝1上” 為事件A，則基本事件總數(shù)為6.因落在圓x2＋y2＝1上 的點(diǎn)有(0，－1)，(0,1)2個(gè)，即A包含的基本事件數(shù)為2，所以P(A)＝＝. (2)記“以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域內(nèi)”為事件B， 則基本事件總數(shù)為6，由圖知位于區(qū)域D內(nèi)(含邊界) 的點(diǎn)有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)， 共4個(gè)，即B包含的基本事件數(shù)為4，故P(B)＝＝. 14．甲、乙兩艘船都要?？客粋€(gè)泊位，它們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá)．甲、乙兩船?？坎次坏臅r(shí)間分別為4小時(shí)與2小時(shí)，求有一艘船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率． 解　甲比乙早到4小時(shí)內(nèi)乙需等待，甲比乙晚到2小時(shí)內(nèi)甲需等待． 以y和x分別表示甲、乙兩船到達(dá)泊位的時(shí)間，則有一艘船?？坎次粫r(shí)需等待一段時(shí)間的充要條件為－2≤x－y≤4，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長為24的正方形，而事件A“有一艘船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間”的可能結(jié)果由陰影部分表示． 由幾何概型公式，得P(A)＝＝. 故有一艘船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率是.