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1、
【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題9 等差數(shù)列與等比數(shù)列
一、選擇題
1．(文)(20xx·東北三省三校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a4＋a6 ＝12，則S7的值是( )
A．21 B．24
C．28 D．7
[答案] C
[解析] ∵a2＋a4＋a6＝3a4＝12，∴a4＝4，
∴2a4＝a1＋a7＝8，∴S7＝＝＝28.
[方法點撥] 1.熟記等差、等比數(shù)列的求和公式．
2．形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系用累加法可求出通項；
3．形如an＋1＝anf(n)的遞推關(guān)系
2、可考慮用累乘法求通項an；
4．形如an＋1＝kan＋b(k、b為常數(shù))可通過變形，設(shè)bn＝an＋構(gòu)造等比數(shù)列求通項an.
(理)在等比數(shù)列{an}中，a1＝a，前n項和為Sn，若數(shù)列{an＋1}成等差數(shù)列，則Sn等于( )
A．a(chǎn)n＋1－a B．n(a＋1)
C．na D．(a＋1)n－1
[答案] C
[解析] 利用常數(shù)列a，a，a，…判斷，則存在等差數(shù)列a＋1，a＋1，a＋1，…或通過下列運算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，∴q＝1，Sn＝na.
2．(文)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S1＝1，＝4，則的值為( )
A.
3、 B.
C. D．4
[答案] A
[解析] 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列，由＝4得＝3，則S6－S4＝5S2，
所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.
(理)(20xx·全國大綱文，8)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝( )
A．31 B．32
C．63 D．64
[答案] C
[解析] 解法1：由條件知：an>0，且
∴∴q＝2.
∴a1＝1，∴S6＝＝63.
解法2：由題意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15
4、)，∴S6＝63.
[方法點撥] 下標成等差的等差、等比數(shù)列的項或前n項和的問題，?？紤]應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解．
3．(20xx·浙江理，3)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn.若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則( )
A．a(chǎn)1d>0，dS4>0
B．a(chǎn)1d<0，dS4<0
C．a(chǎn)1d>0，dS4<0
D．a(chǎn)1d<0，dS4>0
[答案] B
[解析] 考查等差數(shù)列的通項公式及其前n項和；等比數(shù)列的概念．
∵{an}為等差數(shù)列，且a3，a4，a8成等比數(shù)列，
∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)?
a1＝－d，
∴S4＝2(a1＋a4
5、)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d，
∴a1d＝－d2＜0，dS4＝－d2＜0，故選B.
4．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝( )
A. B．－
C. D．－
[答案] C
[解析] ∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，a3＝9a1＝a1q2，∴q2＝9，
又∵a5＝9，∴9＝a3·q2＝9a3，∴a3＝1，
又a3＝9a1，故a1＝.
[方法點撥] 求基本量的問題，熟記等差、等比數(shù)列的定義、通項及前n項和公式，利用公式、結(jié)合條件，建立方程求解．
5．(20xx·江西省質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1
6、，a2＝3，an＋2＝3an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前20xx項的和S20xx等于( )
A．31008－2 B．31008－3
C．320xx－2 D．320xx－3
[答案] A
[解析] 因為a1＝1，a2＝3，＝3，
所以S20xx＝(a1＋a3＋…＋a20xx)＋(a2＋a4＋…＋a20xx)＝＋＝31008－2.
6．(文)(20xx·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)設(shè){an}是等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，對任意正整數(shù)n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，則S101的值為( )
A．2 B．200
C．－2 D．0
[答案] A
[解析]
7、設(shè)公比為q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2，
∴S101＝＝＝2.
(理)(20xx·哈三中二模)等比數(shù)列{an}，滿足a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3，a＋a＋a＋a＋a＝15，則a1－a2＋a3－a4＋a5的值是( )
A．3 B.
C．－ D．5
[答案] D
[解析] 由條件知，∴＝5，
∴a1－a2＋a3－a4＋a5＝＝＝5.
7．(文)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，則此數(shù)列前20項的和等于( )
A．290
8、 B．300
C．580 D．600
[答案] B
[解析] 由a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87得，
a1＋a20＝30，
∴S20＝＝300.
(理)已知等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則＝( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
[答案] C
[解析] 由條件知a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，
∵a1≠0，∴q2－2q－1＝0，
∵q>0，∴q＝1＋，
∴＝q2＝3＋2.
8．(20xx·福建理，8)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點，且a，
9、b，－2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[答案] D
[解析] 由韋達定理得a＋b＝p，a·b＝q，因為p>0，q>0，則a＞0，b＞0，當(dāng)a，b，－2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時，－2必為等比中項，故a·b＝(－2)2＝4，故q＝4，b＝.當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時，－2必不是等差中項，當(dāng)a是等差中項時，2a＝－2，解得a＝1，b＝4，；當(dāng)b是等差中項時，＝a－2，解得a＝4，b＝1，綜上所述，a＋b＝p＝5，所以p＋q＝9，選D.
9．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝2，n
10、∈N＋，則數(shù)列{ban}的前10項的和為( )
A.(49－1) B.(410－1)
C.(49－1) D.(410－1)
[答案] D
[解析] 由a1＝1，an＋1－an＝2得，an＝2n－1，
由＝2，b1＝1得bn＝2n－1，
∴ban＝2an－1＝22(n－1)＝4n－1，
∴數(shù)列{ban}前10項和為＝(410－1)．
10．(文)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＝1，q＝2，則Tn＝＋＋…＋等于( )
A．1－ B.(1－)
C．1－ D.(1－)
[答案] B
[解析] 因為an＝1×2n－1＝2n－1，所以an·an＋1＝2n－1·
11、2n＝2×4n－1，
所以＝×()n－1，所以{}也是等比數(shù)列，
所以Tn＝＋＋…＋＝×＝(1－)，故選B.
(理)(20xx·唐山市一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，則( )
A．4n－1 B．4n－1
C．2n－1 D．2n－1
[答案] C
[解析] 設(shè)公比為q，則a1(1＋q2)＝，a2(1＋q2)＝，∴q＝，∴a1＋a1＝，∴a1＝2.
∴an＝a1qn－1＝2×()n－1，Sn＝＝4[1－()n]，∴＝＝2(2n－1－)
＝2n－1.
[點評] 用一般解法解出a1、q，計算量大，若注意到等比數(shù)列的性質(zhì)及求，可簡明解答如下
12、：
∵a2＋a4＝q(a1＋a3)，∴q＝，
∴＝＝＝＝2n－1.
11．給出數(shù)列，，，，，，…，，，…，，…，在這個數(shù)列中，第50個值等于1的項的序號是( )
A．4900 B．4901
C．5000 D．5001
[答案] B
[解析] 根據(jù)條件找規(guī)律，第1個1是分子、分母的和為2，第2個1是分子、分母的和為4，第3個1是分子、分母的和為6，…，第50個1是分子、分母的和為100，而分子、分母的和為2的有1項，分子、分母的和為3的有2項，分子、分母的和為4的有3項，…，分子、分母的和為99的有98項，分子、分母的和為100的項依次是：，，，…，，，…，，第50個1是其中第5
13、0項，在數(shù)列中的序號為1＋2＋3＋…＋98＋50＝＋50＝4901.
[點評] 本題考查歸納能力，由已知項找到規(guī)律，“1”所在項的特點以及項數(shù)與分子、分母的和之間的關(guān)系，再利用等差數(shù)列求和公式即可．
二、填空題
12．(文)(20xx·廣東理，10)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________.
[答案] 10
[解析] 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單運算，屬于容易題．
因為{an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25 即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.
(理)(20
14、xx·湖南理，14)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________.
[答案] 3n－1
[解析] 考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)．
∵3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，∴4S2＝3S1＋S3，∴4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3?a3＝3a2?q＝3.
又∵{an}為等比數(shù)列，∴an＝a1qn－1＝3n－1.
[方法點撥] 條件或結(jié)論中涉及等差或等比數(shù)列中的兩項或多項的關(guān)系時，先觀察分析下標之間的關(guān)系，再考慮能否應(yīng)用性質(zhì)解決，要特別注意等差、等比數(shù)列性質(zhì)的區(qū)別．
13．(文)(20xx·安徽理，14)已知數(shù)列{an}
15、是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項和等于________．
[答案] 2n－1
[解析] 考查1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前n項和公式．
由題意，∴解得a1＝1，a4＝8或者a1＝8，a4＝1，而數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，所以a1＝1，a4＝8，即q3＝＝8，所以q＝2，因而數(shù)列{an}的前n項和Sn＝＝＝2n－1.
(理)(20xx·江蘇，11)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列前10項的和為________．
[答案]
[解析] 考查數(shù)列通項，裂項求和．
由題意得：an＝(an－an－1)＋
16、(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，所以＝2(－)，Sn＝2(1－)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(1－)＝，S10＝.
三、解答題
14．(文)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝4an－p(n∈N*)，其中p是不為零的常數(shù)．
(1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)當(dāng)p＝3時，若數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，b1＝2，求數(shù)列{bn}的通項公式．
[解析] (1)證明：因為Sn＝4an－p(n∈N*)，
則Sn－1＝4an－1－p(n∈N*，n≥2)，
所以當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1
17、，
整理得an＝an－1.
由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－p，解得a1＝.
所以{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列．
(2)因為a1＝1，則an＝()n－1，
由bn＋1＝an＋bn(n＝1,2，…)，得bn＋1－bn＝()n－1，
當(dāng)n≥2時，由累加法得
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝2＋＝3()n－1－1，
當(dāng)n＝1時，上式也成立．∴bn＝3·()n－1－1.
[方法點撥] 證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列時，應(yīng)用定義分析條件，結(jié)合性質(zhì)進行等價轉(zhuǎn)化．
(理)(20xx·河南高考適應(yīng)性測試)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)
18、，且a1＝2，an＝a＋4an＋1＋2.
(1)令bn＝log2(an＋2)，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．
(2)設(shè)cn＝nbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
[解析] (1)由an＝a＋4an＋1＋2，得an＋2＝a＋4an＋1＋4＝(an＋1＋2)2.
因為an>0，所以＝an＋1＋2.
因為＝＝＝，
又b1＝log2(a1＋2)＝2，
所以數(shù)列{bn}是首項為2，公比為的等比數(shù)列．
(2)由(1)知，bn＝2·n－1，則cn＝2nn－1.
Sn＝2×0＋4×1＋…＋2(n－1)n－2＋2nn－1，①
Sn＝2×1＋4×2＋…＋2(n－1)n－1＋2nn.②
①－
19、②得：Sn＝2×0＋2×1＋2×2＋…＋2×n－1－2n·n
＝－2n·n＝4－(4＋2n)n.
所以Sn＝8－(n＋2)n－2.
15．(20xx·南昌市一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S3＝6，正項數(shù)列{bn}滿足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)若λbn>an對n∈N*均成立，求實數(shù)λ的取值范圍．
[解析] (1)等差數(shù)列{an}，a1＝1，S3＝6，∴d＝1，故an＝n
，(1)÷(2)得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，
b1＝2S1＝21＝2，滿足通項公式，故bn＝2n
(2
20、) 設(shè)λbn>an恒成立?λ>恒成立，設(shè)cn＝?＝
當(dāng)n≥2時，cn<1，{cn}單調(diào)遞減，
∴(cn)max＝c1＝，故λ>.
16．(文)(20xx·湖北理，18)已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．
[分析] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到a＝a1·a5，并用a1、d表示a2、a5，列等式求解公差d，進而求出通項，注意對公差d分類討論；(2)利用(1)的結(jié)論，對數(shù)列
21、{an}的通項分類討論，分別利用通項公式及等差數(shù)列的前n項和公式求解Sn，然后根據(jù)Sn>60n＋800列不等式求解．
[解析] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2,2＋d,2＋4d成等比數(shù)列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)．
化簡得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.
當(dāng)d＝0時，an＝2；
當(dāng)d＝4時，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
從而得數(shù)列{an}的通項公式為an＝2或an＝4n－2.
(2)當(dāng)an＝2時，Sn＝2n，顯然2n<60n＋800，
此時不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立，
當(dāng)an＝4n－2時，Sn＝＝2n2，
令2n2>60n＋8
22、00，即n2－30n－400>0，
解得n>40或n<－10(舍去)．
此時存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41.
綜上，當(dāng)an＝2時，不存在滿足題意的n；
當(dāng)an＝4n－2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.
[方法點撥] 存在型探索性問題解答時先假設(shè)存在，依據(jù)相關(guān)知識(概念、定理、公式、法則、性質(zhì)等)，結(jié)合所給條件進行推理或運算，直到得出結(jié)果或一個明顯成立或錯誤的結(jié)論，從而斷定存在與否．
(理)(20xx·新課標Ⅰ理，17)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)．
(1)證明：an＋2－an＝λ；
23、
(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．
[分析] (1)利用an＋1＝Sn＋1－Sn用配湊法可獲證；(2)假設(shè)存在λ，則a1，a2，a3應(yīng)成等差數(shù)列求出λ的值，然后依據(jù)an＋2－an＝λ推證{an}為等差數(shù)列．
[解析] (1)由題設(shè)：anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由題設(shè)，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1，
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得
{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
新編全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題9 等差數(shù)列與等比數(shù)列含解析
