新編高三數(shù)學(xué)理,山東版一輪備課寶典 第五章　數(shù)列

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第五章　數(shù)列 第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示法 [考情展望]　1.以數(shù)列的前n項(xiàng)為背景寫數(shù)列的通項(xiàng).2.考查由數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系求數(shù)列的某一項(xiàng).3.考查已知數(shù)列的遞推關(guān)系或前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an. 一、數(shù)列的有關(guān)概念 概念 含義 數(shù)列 按照一定順序排列的一列數(shù) 數(shù)列的項(xiàng) 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù) 數(shù)列的通項(xiàng) 數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的通項(xiàng) 通項(xiàng)公式 數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表達(dá)，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和 數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和 二、數(shù)列的分類

2、分類標(biāo)準(zhǔn) 類型 滿足條件 項(xiàng)數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限 項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系 遞增數(shù)列 an＋1>an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an＋1

3、法 　數(shù)列有三種表示方法，它們分別是列表法、圖象法和解析法． 四、an與Sn的關(guān)系 　若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an， 則an＝ 已知Sn求an的注意點(diǎn) 利用an＝Sn－Sn－1求通項(xiàng)時(shí)，注意n≥2這一前提條件，易忽略驗(yàn)證n＝1致誤，當(dāng)n＝1時(shí)，a1若適合通項(xiàng)，則n＝1的情況應(yīng)并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)；否則an應(yīng)利用分段函數(shù)的形式表示． 1．已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)分別為2,0,2,0，則下列各式不可以作為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的一項(xiàng)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．a(chǎn)n＝1＋(－1)n＋1 B．a(chǎn)n＝2sin C．a(chǎn)n＝1－c

4、os nπ D．a(chǎn)n＝ 【解析】　根據(jù)數(shù)列的前3項(xiàng)驗(yàn)證． 【答案】　B 2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，則a5的值為(　　) A．30 B．31 C．32 D．33 【解析】　a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31. 【答案】　B 3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，則這個(gè)數(shù)列是(　　) A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 【解析】　∵an＝＞0，∴＝＝＞1. ∴{an}為遞增數(shù)列． 【答案】　A 4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)

5、和Sn＝n2＋1，則an＝________. 【解析】　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1] ＝n2－(n－1)2＝2n－1. ∴an＝ 【答案】　 5．(2011·浙江高考)若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k＝________. 【解析】　由題意可知 即 化簡得 解得≤k≤1＋. 又k∈N*，所以k＝4. 【答案】　4 6．(2013·課標(biāo)全國卷Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式是an＝________. 【解析】　當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＋，∴a1＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝

6、Sn－Sn－1＝an＋－ ＝(an－an－1)， ∴an＝－2an－1，即＝－2， ∴{an}是以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，其公比為－2， ∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1. 【答案】　(－2)n－1 考向一 [083]　由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)，，－，，－，，…. 【思路點(diǎn)撥】　歸納通項(xiàng)公式應(yīng)從以下四個(gè)方面著手： (1)觀察項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系； (2)符號(hào)與絕對(duì)值分別考慮； (3)規(guī)律不明顯，適當(dāng)變形．

7、 【嘗試解答】　(1)符號(hào)可通過(－1)n表示，后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面的數(shù)的絕對(duì)值大6， 故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)． (2)數(shù)列變?yōu)?1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an ＝. (3)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，…，易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)椋? 原數(shù)列化為－，，－，，…， ∴an＝(－1)n·. 規(guī)律方法1　1.求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征.,(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征；(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想. 2.根據(jù)數(shù)列的前

8、幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整. 考向二 [084]　由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式 　根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an. (1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n； (2)在數(shù)列{an}中，an＋1＝an，a1＝4； (3)在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1. 【思路點(diǎn)撥】　(1)求an＋1－an，利用累加法求解． (2)求，利用累乘法求解． (3)利用(an＋1＋1)＝2(an＋1)構(gòu)造等比數(shù)列求解． 【嘗

9、試解答】　(1)由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3，…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)個(gè)式子， 累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝， 即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1也符合， 所以an＝2n－1(n∈N*)． (2)由遞推關(guān)系an＋1＝an，a1＝4，有＝， 于是有＝3，＝，＝，…，＝， ＝，將這(n－1)個(gè)式子累乘，得＝. 所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＝2n(n＋1)．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)．

10、 (3)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)， 令bn＝an＋1， 所以{bn}是以2為公比的等比數(shù)列． 所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1， 所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)． 規(guī)律方法2　遞推式的類型 遞推式 方法 示例 an＋1＝an＋f(n) 疊加法 a1＝1，an＋1＝an＋2n ＝f(n) 疊乘法 a1＝1，＝2n an＋1＝pan＋q (p≠0,1，q≠0) 化為等比數(shù)列 a1＝1，an＋1＝2an＋1 an＋1＝pan＋q·pn＋1 (p≠0,1，q≠0) 化為等差數(shù)列 a1＝1，a

11、n＋1＝3an＋3n＋1 　 　考向三 [085]　由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an 　已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b.(b為常數(shù)) 【思路點(diǎn)撥】　先分n＝1和n≥2兩類分別求{an}，再驗(yàn)證a1是否滿足an(n≥2)． 【嘗試解答】　(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋b)－(3n－1

12、＋b)＝2·3n－1. 當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式． 當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式． ∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝2·3n－1； 當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝ 規(guī)律方法3　已知Sn求an時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn),(1)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n＝1和n≥2兩種情況討論；特別注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，當(dāng)n＝1時(shí)，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫” . (3)由Sn－Sn－1＝an推得an，當(dāng)n＝1時(shí)，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an＝ 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　若Sn滿足的條件變?yōu)槿缦滦问?，則又如何求an? (1)Sn＝n

13、2＋n＋1； (2)log2(2＋Sn)＝n＋1. 【解】　(1)①當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n＋1)－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n； ②當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3≠2×1，故a1＝3不滿足an＝2n. ∴an＝ (2)∵log2(2＋Sn)＝n＋1， ∴2＋Sn＝2n＋1，即Sn＝2n＋1－2， ①當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n， ②當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝22－2＝2＝21， 故a1＝2滿足an＝2n. ∴an＝2n. 易錯(cuò)易誤之十　明確數(shù)列中項(xiàng)的特征，慎用函數(shù)思想解題 ————　[1個(gè)示范例]　

14、————　[1個(gè)防錯(cuò)練]　———— 　　　(2014·安陽模擬)已知數(shù)列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}單調(diào)遞增，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，2]　　　　　 B．(－∞，3) C．(－∞，2) D．(－∞，3] 【解析】　∵an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}單調(diào)遞增， ∴an＋1－an＞0對(duì)?n∈N*都成立， 此處在求解時(shí)，常犯“an是關(guān)于n的二次函數(shù)，若{an}單調(diào)遞增，則必有≤1，k≤2”的錯(cuò)誤.,出錯(cuò)的原因是忽視了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性即自變量是正整數(shù). 又an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k， 所

15、以由2n＋1－k＞0，即k＜2n＋1恒成立可知 k＜(2n＋1)min＝3. 【防范措施】　1.明確函數(shù)單調(diào)性與數(shù)列單調(diào)性的關(guān)系,(1)若數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是單調(diào)的，則該數(shù)列一定單調(diào). (2)若數(shù)列是單調(diào)的，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)未必單調(diào)，原因是數(shù)列是定義在n∈N*上的特殊函數(shù). 2.數(shù)列單調(diào)性的判斷,一般通過比較an＋1與an的大小來判斷：,若an＋1＞an，則該數(shù)列為遞增數(shù)列；若an＋1＜an，則該數(shù)列為遞減數(shù)列. (2014·濟(jì)南模擬)已知{an}是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________． 【解析】　法一　(定義法)因?yàn)閧an}是遞增

16、數(shù)列，故對(duì)任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*) 因?yàn)閚≥1，故－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 法二　(函數(shù)法)設(shè)f(n)＝an＝n2＋λn，其對(duì)稱軸為n＝－，要使數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，只需滿足n＝－＜即可，即λ＞－3. 【答案】　(－3，＋∞) 第二節(jié)　等差數(shù)列 [考情展望]　1.運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問題.2.在解答題中對(duì)所求結(jié)論的運(yùn)算進(jìn)行等差數(shù)列的判斷與證明.3.在具體情景中能識(shí)別具有等差關(guān)系的數(shù)列，并會(huì)用等差數(shù)的性質(zhì)解決相應(yīng)問題． 一、

17、等差數(shù)列 1．定義：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)． 2．通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d. 3．前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋＝. 4．a(chǎn)、b的等差中項(xiàng)A＝. 證明{an}為等差數(shù)列的方法： (1)用定義證明：an－an－1＝d(d為常數(shù)，n≥2)?{an}為等差數(shù)列； (2)用等差中項(xiàng)證明：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數(shù)列； (3)通項(xiàng)法：an為n的一次函數(shù)?{an}為等差數(shù)列； (4)前n項(xiàng)和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝. 二、等差數(shù)列的性質(zhì) 　已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和． (1)若m、n、p

18、、q、k是正整數(shù)，且m＋n＝p＋q＝2k， 則am＋an＝ap＋aq＝2ak. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數(shù)列，公差為kd. (3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差數(shù)列． 等差數(shù)列的性質(zhì) (1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差． (2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1) ②S2n－1＝(2n－1)an. ③n為偶數(shù)時(shí)，S偶－S奇＝d；n為

19、奇數(shù)時(shí)，S奇－S偶＝a中． 1．在等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a3＝4，則a10＝(　　) A．12　　　 B．14　　　 C．16　　　 D．18 【解析】　由題意，公差d＝a3－a2＝2， ∴a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18. 【答案】　D 2．在等差數(shù)列{an}中，a2＝1，a4＝5，則{an}的前5項(xiàng)和S5＝(　　) A．7 B．15 C．20 D．25 【解析】　∵a2＝1，a4＝5，∴S5＝＝＝＝15. 【答案】　B 3．設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項(xiàng)和，若S10＝S11，則a1＝(　　) A．18 B．

20、20 C．22 D．24 【解析】　由S10＝S11得10a1＋×(－2)＝11a1＋×(－2)，解得a1＝20. 【答案】　B 4．已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝a－4，則an＝________. 【解析】　設(shè)等差數(shù)列公差為d，則由a3＝a－4，得1＋2d＝(1＋d)2－4， ∴d2＝4，∴d＝±2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，∴d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 【答案】　2n－1 5．(2013·重慶高考)若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則c－a＝________. 【解析】　由題意得該等差數(shù)列的公式d＝＝， 所以c－a＝2d＝.

21、 【答案】　 6．(2013·廣東高考)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________. 【解析】　法一　a3＋a8＝2a1＋9d＝10,3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝2×10＝20. 法二　a3＋a8＝2a3＋5d＝10,3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a3＋5d)＝2×10＝20. 【答案】　20 考向一 [086]　等差數(shù)列的判定與證明 　在數(shù)列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列． 【思路點(diǎn)撥

22、】　(1)分別令n＝2,3求a2，a3的值． (2)用定義法，證明bn＋1－bn為常數(shù)便可． 【嘗試解答】　(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2)． ∴a2＝2a1＋4＋3＝－6＋4＋3＝1. a3＝2a2＋23＋3＝13. (2)證明：對(duì)于任意n∈N*， ∵bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)－3]＝[(2n＋1＋3)－3]＝1， ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為＝＝0，公差為1的等差數(shù)列． 規(guī)律方法1　用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用的兩個(gè)式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時(shí)，a0無定義. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　

23、(1)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，＝＋，則a10＝________. (2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝. ①求證：是等差數(shù)列； ②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 【解析】　(1)由已知－＝，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又∵a1＝1，∴＝＋(n－1)＝. ∴＝＝4，∴a10＝. 【答案】　 (2)①證明　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又an＝－2Sn·Sn－1， ∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0， ∴－＝2(n≥2)． 又＝＝2， 故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列． ②由①知＝＋(n－1)d＝

24、2＋(n－1)×2＝2n， ∴Sn＝.當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝－2Sn×Sn－1＝－， 又∵a1＝，不適合上式， ∴an＝ 考向二 [087]　等差數(shù)列的基本運(yùn)算 　(1)(2013·課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝(　　) A．3　　　　 B．4　　　　 C．5　　　　 D．6 (2)(2013·四川高考)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＝8，且a4為a2和a9的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和． 【思路點(diǎn)撥】　(1)先由Sm－1，Sm，Sm＋1間的關(guān)系求得am和am＋1，進(jìn)而求得公差d，然后借助S

25、m及am求得a1及m的值． (2)先建立首項(xiàng)a1及公差d的方程組，解出a1，d后求Sn便可． 【嘗試解答】　(1)∵{an}是等差數(shù)列，Sm－1＝－2，Sm＝0， ∴am＝Sm－Sm－1＝2. ∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3， ∴d＝am＋1－am＝1. 又Sm＝＝＝0， ∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5. 【答案】　C (2)設(shè)該數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.由已知可得． 2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)， 所以a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0， 解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3，即數(shù)列{

26、an}的首項(xiàng)為4，公差為0，或首項(xiàng)為1，公差為3. 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝4n或Sn＝. 規(guī)律方法2　1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用. 2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法，稱為基本量法. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值． 【解】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1＝1，a3＝－3， 得1＋2d

27、＝－3，∴d＝－2. 從而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)知an＝3－2n，∴Sn＝＝2n－n2， 由Sk＝－35得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0， 解得k＝7或k＝－5， 又k∈N*，故k＝7. 考向三 [088]　等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 　(1)(2012·遼寧高考)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11＝(　　) A．58　　　 B．88　　　 C．143　　　 D．176 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn＝324(n＞6)，求數(shù)列{an}的項(xiàng)

28、數(shù)及a9＋a10. 【思路點(diǎn)撥】　(1)a4＋a8＝a1＋a11，直接套用S11＝求解． (2)利用倒序相加法求和得n，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求a9＋a10. 【嘗試解答】　(1)S11＝＝＝88. 【答案】　B (2)由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，② ①＋②得 (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216， ∴a1＋an＝36， 又Sn＝＝324， ∴18n＝324，∴n＝18. 由a1＋an＝36，n＝18. ∴a1＋a18＝36，從而a9＋a10＝a1＋a18＝36.

29、 規(guī)律方法3　1.在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，則am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性質(zhì)，本例(1)、(2)都用到了這個(gè)性質(zhì). 2.掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個(gè)性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認(rèn)真分析項(xiàng)數(shù)、序號(hào)、項(xiàng)的值的特征，這是解題的突破口. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為25，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(　　) A．10　　　 B．20　　　 C．30　　　 D．40 (2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________. 【解析】　(1)設(shè)這個(gè)數(shù)列有2

30、n項(xiàng)，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：偶數(shù)項(xiàng)之和減去奇數(shù)項(xiàng)之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10. (2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列， 且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20， ∴S30－30＝10＋2×10＝30， ∴S30＝60. 【答案】　(1)A　(2)60 考向四 [089]　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 　在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值． 【思路點(diǎn)撥】　由a1＝20及S10＝S15可求得d，進(jìn)而求得通項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)

31、為正，或利用等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷出數(shù)列從第幾項(xiàng)開始變號(hào)． 【嘗試解答】　法一　∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋d＝15×20＋d， ∴d＝－. ∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋. 令an≥0得n≤13，即當(dāng)n≤12時(shí)，an＞0；n≥14時(shí)，an＜0. ∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為 S12＝S13＝12×20＋×＝130. 法二　同法一得d＝－. 又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值， 且最大值為S12＝S13＝130. 規(guī)律方法4　求等

32、差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值常用的方法 (1)先求an，再利用求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，最后利用單調(diào)性確定最值. (2)①利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得前n項(xiàng)和的最值.②利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　已知{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通項(xiàng)an； (2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值． 【解】　(1)設(shè){an}的公差為d，由已知條件 解出a1＝3，d＝－2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2， 所以n＝2時(shí)，S

33、n取到最大值4. 規(guī)范解答之八　等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和問題 ———　[1個(gè)示范例]　————[1個(gè)規(guī)范練]　———— 　(12分)(2013·浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列． (1)求d，an； (2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 【規(guī)范解答】　(1)由題意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，由a1＝10，{an}為公差為d的等差數(shù)列得，d2－3d－4＝0，2分 解得d＝－1或d＝4.3分 所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*).5分 (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n

34、項(xiàng)和為Sn. 因?yàn)閐＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，6分 所以當(dāng)n≤11時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n；8分 當(dāng)n≥12時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.10分 綜上所述， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝12分 【名師寄語】　1.涉及求數(shù)列{|an|}前n項(xiàng)和的題目，其解題的關(guān)鍵是找到數(shù)列{an}的正負(fù)界點(diǎn)，因此借助絕對(duì)值的性質(zhì)，去掉絕對(duì)值符號(hào)是解題的著眼點(diǎn). 2.要正確區(qū)分“|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|”與“a1＋a2＋a3＋…＋an”的差異，明確兩者

35、間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，切忌邏輯混亂. (2012·湖北高考)已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為－3，前三項(xiàng)的積為8. (1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和． 【解】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，易求a2＝－1， 則a3＝a2＋d，a1＝a2－d， 由題意得 解之得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5，或an＝3n－7. (2)當(dāng)an＝－3n＋5時(shí)，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列，不合題設(shè)條件． 當(dāng)a

36、n＝3n－7時(shí)，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件． 故|an|＝|3n－7|＝ 記數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為Sn. 當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝|a1|＝4； 當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝|a1|＋|a2|＝5. 當(dāng)n≥3時(shí)，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7) ＝5＋＝n2－n＋10. 當(dāng)n＝2時(shí)，滿足此式． 綜上，Sn＝ 　 第三節(jié)　等比數(shù)列 [考情展望]　1.運(yùn)用基本量法求解等比數(shù)列問題.2.以等比數(shù)列的定義及等比中項(xiàng)為背景，考查等比數(shù)列的判定.3.客觀題以等比數(shù)列的性質(zhì)及基本量的運(yùn)算為主

37、，突出“小而巧”的特點(diǎn)，解答題注重函數(shù)與方程、分類討論等思想的綜合應(yīng)用． 一、等比數(shù)列 證明{an}是等比數(shù)列的兩種常用方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)且n≥2且n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． (2)中項(xiàng)公式法：在數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 二、等比數(shù)列的性質(zhì) 1．對(duì)任意的正整數(shù)m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，則am·an＝ap·aq＝a. 2．通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m(m，n∈N*) 3．公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等

38、比數(shù)列，其公比為qn；當(dāng)公比為－1時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定構(gòu)成等比數(shù)列． 4．若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍是等比數(shù)列． 等比數(shù)列的單調(diào)性 單調(diào)遞增 a1＞0，q＞1或者a1＜0,0＜q＜1 單調(diào)遞減 a1＞0,0＜q＜1或者a1＜0，q＞1 常數(shù)數(shù)列 a1≠0，q＝1 擺動(dòng)數(shù)列 q＜0 1．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q等于(　　) A．－　　　 B．－2　　　 C．2　　　 D. 【解析】　由題意知：q3＝＝，∴q＝. 【答案】　D 2．設(shè)S

39、n為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝(　　) A．－11 B．－8 C．5 D．11 【解析】　8a2＋a5＝0，得8a2＝－a2q3，又a2≠0，∴q＝－2，則S5＝11a1，S2＝－a1，∴＝－11. 【答案】　A 3．公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11＝16，則log2a10＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】　由題意a＝a3a11＝16，且a7＞0，∴a7＝4， ∴a10＝a7·q3＝4×23＝25，從而log2a10＝5. 【答案】　B 4．在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項(xiàng)

40、之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________. 【解析】　∵S3＝21，q＝4，∴＝21，∴a1＝1， ∴an＝4n－1. 【答案】　4n－1 5．(2013·大綱全國卷)已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和等于(　　) A．－6(1－3－10) B.(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 【解析】　由3an＋1＋an＝0，得＝－，故數(shù)列{an}是公比q＝－的等比數(shù)列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10). 【答案】　C 6．(2013·江西高考)等比數(shù)列x,3x＋3,

41、6x＋6，…的第四項(xiàng)等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 【解析】　由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項(xiàng)是－3，－6，－12，則第四項(xiàng)為－24. 【答案】　A 考向一 [090]　等比數(shù)列的基本運(yùn)算 　(1)(2013·北京高考)若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝______；前n項(xiàng)和Sn＝________. (2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列． ①求{an}的公比q；②若a1－a3＝3，求Sn. 【思

42、路點(diǎn)撥】　建立關(guān)于a1與公比q的方程，求出基本量a1和公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式． 【嘗試解答】　(1)設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用已知條件建立關(guān)于公比的方程求出公比，再利用前n項(xiàng)和公式求Sn. 設(shè)等比數(shù)例{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則： 由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.① 由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.② 由①②解得q＝2，a1＝2. 故Sn＝＝＝2n＋1－2. 【答案】　2,2n＋1－2 (2)①∵S1，S3，S2成等差數(shù)列， ∴a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)． 由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，

43、從而q＝－. ②由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4， 從而Sn＝＝. 規(guī)律方法1　1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用. 2.在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，此外在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(2012·遼寧高考)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. (2)(2014·晉州模擬)已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，

44、a1＝2，且a2，a4，a8成等比數(shù)列． ①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； ②求數(shù)列{3an}的前n項(xiàng)和． 【解析】　(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q， ∵a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1. ∴ 由①得a1＝q；由②知q＝2或q＝， 又?jǐn)?shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴a1＝q＝2，從而an＝2n. 【答案】　2n (2)①設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由題意得 a＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)． 又a1＝2，所以d＝2或d＝0(舍去)． ∴an＝2n. ②由①可知3an＝32n＝9n. 故數(shù)列{3an}的前n項(xiàng)和為＝(

45、9n－1) 考向二 [091]　等比數(shù)列的判定與證明 　(2014·荊州模擬)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列． 【思路點(diǎn)撥】　正確設(shè)出等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差d，從而求出數(shù)列{bn}的首項(xiàng)、公比；利用等比數(shù)列的定義可解決第(2)問． 【嘗試解答】　(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a－d，a，a＋d. 依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5. 所以{bn}中的b3，b4，b5依次

46、為7－d,10,18＋d. 依題意，(7－d)(18＋d)＝100， 解之得d＝2或d＝－13(舍去)， ∴b3＝5，公比q＝2，因此b1＝. 故bn＝·2n－1＝5·2n－3. (2)證明　由(1)知b1＝，公比q＝2， ∴Sn＝＝5·2n－2－， 則Sn＋＝5·2n－2， 因此S1＋＝，＝＝2(n≥2)． ∴數(shù)列{Sn＋}是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列． 規(guī)律方法2　1.本題求解常見的錯(cuò)誤：(1)計(jì)算失誤，不注意對(duì)方程的根(公差d)的符號(hào)進(jìn)行判斷；(2)不能靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)簡化運(yùn)算. 2.要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等比即可. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)

47、練　(1)在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，點(diǎn)(，)(n≥2)在直線x－y＝0上，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________. (2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1，求證：數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式． 【解析】　(1)由題意知－＝0， ∴an＝2an－1(n≥2)， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． ∴Sn＝＝＝2n＋1－2. 【答案】　2n＋1－2 (2)證明　∵an＋Sn＝n，∴a1＋S1＝1，得a1＝， ∴c1＝a1－1＝－. 又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，an＋Sn＝n， ∴2an＋1－an＝1，即

48、2(an＋1－1)＝an－1. 又∵a1－1＝－，∴＝，即＝， ∴數(shù)列{cn}是以－為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列． 則cn＝－×n－1＝－n， ∴{an}的通項(xiàng)公式an＝cn＋1＝1－n. 考向三 [092]　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6∶S3＝1∶2，則S9∶S3等于(　　) A．1∶2　　 B．2∶3　　 C．3∶4　　 D．1∶3 (2)(2014·衡水模擬)在等比數(shù)列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，則＋＋＋＝________. 【思路點(diǎn)撥】　(1)借助S3，S6－S3，S9－S6成等比求解． (2)

49、應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)a7a10＝a8a9求解． 【嘗試解答】　(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)：S3、S6－S3、S9－S6仍成等比數(shù)列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)， 將S6＝S3代入得＝. (2)法一　a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝a7a10＝－， ∴＋＋＋ ＝ ＝ ＝＝＝－. 法二　由題意可知 ①÷②得＝－， 即＋＋＋＝－， ∴＋＋＋＝－， 所以＋＋＋＝－. 【答案】　(1)C　(2)－ 規(guī)律方法3　在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要充分挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度. 對(duì)

50、點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(2012·課標(biāo)全國卷)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　) A．7　　　　 B．5　　　　 C．－5　　　　 D．－7 (2)(2014·大連模擬)已知等比數(shù)列{an}滿足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，則log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 【解析】　(1)由于a5·a6＝a4·a7＝－8，a4＋a7＝2， ∴a4，a7是方程x2－2x－8＝0的兩根， 解之得a4＝4，a7＝－2或a

51、4＝－2，a7＝4. ∴q3＝－或q3＝－2. 當(dāng)q3＝－時(shí)，a1＋a10＝＋a7·q3＝4×(－2)＋(－2)×(－)＝－7， 當(dāng)q3＝－2時(shí)，a1＋a10＝＋a7·q3＝＋4×(－2)＝－7. (2)∵a5·a2n－5＝a＝22n，且an＞0， ∴an＝2n， ∵a2n－1＝22n－1， ∴l(xiāng)og2a2n－1＝2n－1， ∴l(xiāng)og2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1) ＝＝n2. 【答案】　(1)D　(2)C 　 思想方法之十三　分類討論思想在等比數(shù)列求和中的應(yīng)用 分類討論的實(shí)質(zhì)是將整體化為部分來解決．其求解原則是不復(fù)重，不遺

52、漏，討論的方法是逐類進(jìn)行． 在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，也有多處知識(shí)涉及到分類討論思想 ，具體如下所示： (1)前n項(xiàng)和Sn與其通項(xiàng)an的關(guān)系：an＝ (2)等比數(shù)列的公比q是否為1； (3)在利用公式Sn求和時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)還是奇數(shù)等等． 求解以上問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)討論的切入點(diǎn)，分類求解． ———　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]　———— 　(2013·天津高考)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Tn＝Sn－(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大

53、項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值． 【解】　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 因?yàn)镾3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5， 即4a5＝a3，于是q2＝＝. 又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝，所以q＝－. 故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝×n－1＝(－1)n－1·. (2)由(1)得Sn＝1－n＝ 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1＜Sn≤S1＝，故0＜Sn－≤S1－＝－＝. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以＝S2≤Sn＜1，故0＞Sn－≥S2－＝－＝－. 所以數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為－.

54、 (2014·青島模擬)已知數(shù)列{dn}滿足dn＝n，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，n∈N*. (1)求an； (2)令cn＝1－(－1)nan，不等式ck≥2014(1≤k≤100，k∈N*)的解集為M，求所有dk＋ak(k∈M)的和． 【解】　(1)設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，所以(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝q， 又因?yàn)?(an＋an＋2)＝5an＋1，所以2(an＋anq2)＝5anq， 則2(1＋q2)＝5q,2q2－5q＋2＝0，解得q＝(舍)或q＝2，所以an＝2×2n－1＝2n. (2)cn＝1－(－1)na

55、n＝1－(－2)n，dn＝n， 當(dāng)n為偶數(shù)，cn＝1－2n≥2 014，即2n≤－2 013，不成立； 當(dāng)n為奇數(shù)，cn＝1＋2n≥2 014，即2n≥2 013， 因?yàn)?10＝1 024,211＝2 048，所以n＝2m＋1,5≤m≤49， 則{dk}組成首項(xiàng)為11，公差為2的等差數(shù)列， {ak}(k∈M)組成首項(xiàng)為211，公比為4的等比數(shù)列， 則所有dk＋ak(k∈M)的和為 ＋＝2 475＋＝. 第四節(jié)　數(shù)列求和 [考情展望]　1.考查等差、等比數(shù)列的求和.2.以數(shù)列求和為載體，考查數(shù)列求和的各種方法和技巧． 一、公式法與分組求和法 1．公式法 直接利用等差數(shù)

56、列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和 (1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝ 2．分組求和法 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減． 二、錯(cuò)位相減法 　如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法． 三、裂項(xiàng)相消法 　把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和． 常用的拆項(xiàng)方法 (1)＝ (2)＝(－) (3)＝ (4)＝ 四、倒序相加法和并項(xiàng)求和法 1

57、．倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的． 2．并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 1．等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，其前n項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為(　　) A．120　　 　 B．70　　 　 C．7

58、5　　 　 D．100 【解析】　∵Sn＝＝n(n＋2)，∴＝n＋2. ∴數(shù)列前10項(xiàng)的和為：(1＋2＋…＋10)＋20＝75. 【答案】　C 2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，前n項(xiàng)和為9，則n等于(　　) A．9 B．99 C．10 D．100 【解析】　∵an＝＝－， 又a1＋a2＋…＋an ＝－(1－＋－＋…＋－) ＝－1＝9， ∴n＝99. 【答案】　B 3．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10＝(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 【解析】　∵an＝(－1)n(3n

59、－2)， ∴a1＋a2＋…＋a10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 【答案】　A 4．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為(　　) A. B. C. D. 【解析】　設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d. ∵a5＝5，S5＝15， ∴∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ∴＝＝－， ∴數(shù)列的前100項(xiàng)和為1－＋－＋…＋－＝1－＝. 【答案】　A 5．(2013·遼寧高考)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩

60、個(gè)根，則S6＝________. 【解析】　因?yàn)閍1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，且數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝＝63. 【答案】　63 6．(2013·重慶高考)已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________. 【解析】　借助等比中項(xiàng)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出等差數(shù)列的公差后，再利用等差數(shù)列的求和公式直接求S8. ∵a1，a2，a5成等比數(shù)列， ∴a＝a1a5 ∴(1＋d)2＝1×(4d＋1)， ∴d2－2d＝0， ∵d≠0，∴d＝2. ∴S8＝8

61、×1＋×2＝64. 【答案】　64 考向一 [093]　分組轉(zhuǎn)化求和 　已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝3an－1＋2n－1(n≥2)． (1)證明{an＋2n}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 【思路點(diǎn)撥】　(1)證明：＝q(q為非零常數(shù))便可． (2)求an的通項(xiàng)公式，分組求和求Sn. 【嘗試解答】　(1)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，由an＝3an－1＋2n－1，得＝＝3. 又∵a1＝1，∴a1＋21＝3 ∴數(shù)列{an＋2n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列． (2)由(1)知an＋2n＝3n，∴an＝3n－2n. ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(3

62、1－21)＋(32－22)＋(33－23)＋…＋(3n－2n)＝(31＋32＋33＋…＋3n)－(21＋22＋23＋…＋2n)＝－＝－2n＋1＋. 規(guī)律方法1　分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和. (2)通項(xiàng)公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，則S20等于(　　) A．2 246　　　　　 B．2 148 C．2 146 D．2 248 (2)若數(shù)列{

63、an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 【解析】　(1)S20＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝(1＋3＋5＋…＋19)＋(21＋22＋23＋…＋210)＝＋＝100＋211－2＝2 146. (2)Sn＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝＋＝2n＋1＋n2－2. 【答案】　(1)C　(2)C 考向二 [094]　裂項(xiàng)相消法求和 　(2013·課標(biāo)全

64、國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3＝0，S5＝－5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【思路點(diǎn)撥】　(1)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組求解；(2)裂項(xiàng)求和，但要注意裂項(xiàng)后的系數(shù)． 【嘗試解答】　(1)設(shè){an}的公差為d，則Sn＝na1＋d. 由已知可得解得 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－n. (2)由(1)知＝ ＝， 從而數(shù)列的前n項(xiàng)和為 ＝. 規(guī)律方法2　1.本例第(2)問在求解時(shí)，常因“裂項(xiàng)”錯(cuò)誤，導(dǎo)致計(jì)算失誤． 2．利用裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意以下兩點(diǎn) (1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也

65、有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)； (2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等．如：若{an}是等差數(shù)列，則＝，＝. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　已知等差數(shù)列{an}中，a2＝8，S6＝66. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)設(shè)bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn. 【解】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則 由題意得解之得 ∴an＝6＋(n－1)·2＝2n＋4. (2)bn＝＝＝－， ∴Tn＝＋＋…＋ ＝－＝， 考向三 [095]　錯(cuò)位相減法求和 　(2013·山東高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2

66、n＝2an＋1. (1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 【思路點(diǎn)撥】　(1)由于已知{an}是等差數(shù)列，因此可考慮用基本量a1，d表示已知等式，進(jìn)而求出{an}的通項(xiàng)公式． (2)先求出，進(jìn)而求出{bn}的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求{bn}的前n項(xiàng)和． 【嘗試解答】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d. 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得 解得 因此an＝2n－1，n∈N*. (2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*， 當(dāng)n＝1時(shí)，＝； 當(dāng)n≥2時(shí)，＝1－－＝. 所以＝，n∈N*. 由(1)知an＝2n－1，n∈N*， 所以bn＝，n∈N*. 所以Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋. 兩式相減，得 Tn＝＋－ ＝－－， 所以Tn＝3－. 規(guī)律方法3　1.正確認(rèn)識(shí)等式“”是求解本題的關(guān)鍵，其含義是數(shù)列的前n項(xiàng)的和. 2.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法.,3.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，