新編高三數(shù)學理,山東版一輪備課寶典 【第八章】課時限時檢測51

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1、新編高考數(shù)學復習資料 課時限時檢測(五十一)　雙曲線 (時間：60分鐘　滿分：80分)命題報告 考查知識點及角度 題號及難度 基礎(chǔ) 中檔 稍難 雙曲線的定義及應(yīng)用 1,5 6 雙曲線的標準方程 4,7 11 雙曲線的幾何性質(zhì) 2,3 8,9,10 直線與雙曲線的位置關(guān)系 12 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，若點P在雙曲線上，且|PF1|＝5，則|PF2|＝(　　) A．5　　　　B．3　　　　C．7　　　　D．3或7 【解析】　由雙曲線方程知a＝1，由雙曲線的定義知： |

2、|PF1|－|PF2||＝2，又|PF1|＝5，∴|PF2|＝7或3. 【答案】　D 2．(2013·課標全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解析】　由e＝，得＝， ∴c＝a，b＝＝a. 而－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x， ∴所求漸近線方程為y＝±x. 【答案】　C 3．(2013·福建高考)雙曲線－y2＝1的頂點到其漸近線的距離等于(　　) A. B. C. D. 【解析】　雙曲線的漸近線

3、為直線y＝±x，即x±2y＝0，頂點為(±2,0)，∴所求距離為d＝＝. 【答案】　C 4．(2013·湖北高考)已知0<θ<，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的(　　) A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 【解析】　雙曲線C1和C2的實半軸長分別是sin θ和cos θ，虛半軸長分別是cos θ和sin θ，則半焦距c都等于1，故選D. 【答案】　D 5．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－＝1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△ PF1F2的面積等于(　　) A．4 B．8 C．24 D

4、．48 【解析】　由已知|PF1|＝|PF2|，代入到|PF1|－|PF2|＝2中得|PF2|＝6，故|PF1|＝8.又雙曲線的焦距|F1F2|＝10，所以△PF1F2為直角三角形，所求的面積為×8×6＝24. 【答案】　C 6．已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】　設(shè)點P在雙曲線C的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2， 在△PF1F2中，由余弦定理知 4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|c

5、os 60°， 即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝8， 又|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝8， ∴|PF1|·|PF2|＝8－22＝4. 【答案】　B 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝2，且它的一個頂點到較近焦點的距離為1，則雙曲線C的方程為________． 【解析】　在雙曲線中，頂點與較近焦點距離為c－a＝1，又e＝＝2，兩式聯(lián)立得a＝1，c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3. ∴方程為x2－＝1. 【答案】　x2－＝1

6、 8．設(shè)雙曲線－＝1的右頂點為A，右焦點為F，過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為________． 【解析】　∵－＝1，∴A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，漸近線方程為y＝±x. 設(shè)l：y＝(x－5)，與－＝1聯(lián)立可求得xB＝， ∴yB＝－， ∴S△AFB＝|AF||yB|＝×(c－a)×＝×2×＝. 【答案】　 9．(2013·湖南高考)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________． 【解析】　設(shè)點P在雙曲線右支上，F(xiàn)1

7、為左焦點，F(xiàn)2為右焦點，則|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. ∵在雙曲線中c>a， ∴在△PF1F2中|PF2|所對的角最小且為30°. 在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 30°，即4a2＝16a2＋4c2－8ac，即3a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0， ∴c＝a，即＝.∴e＝. 【答案】　 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)設(shè)雙曲線－＝1(b＞a＞0)的半焦距為c，直線l過(a,0)，(0，b)兩點，且原點

8、到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率． 【解】　由l過兩點(a,0)、(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0. 由原點到l的距離為c，得＝c. 將b＝代入，平方后整理，得 34－162＋16＝0， 即3e4－16e2＋16＝0，又e＞1， 故e＝或e＝2. 又∵0＜a＜b，∴e＝＝＝ ＞， ∴應(yīng)舍去e＝，故所求離心率e＝2. 11．(12分)已知雙曲線關(guān)于兩坐標軸對稱，且與圓x2＋y2＝10相交于點P(3，－1)，若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程． 【解】　切點為P(3，－1)的圓x2＋y2＝10的切線方程是3x－y＝10. ∵雙曲線的一

9、條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標軸對稱， ∴兩漸近線方程為3x±y＝0. 設(shè)所求雙曲線方程為9x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵點P(3，－1)在雙曲線上，代入上式可得λ＝80. ∴所求的雙曲線方程為－＝1. 12．(13分)已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，一條漸近線方程為y＝x，右焦點F(5,0)，雙曲線的實軸為A1A2，P為雙曲線上一點(不同于A1，A2)，直線A1P，A2P分別與直線l：x＝交于M，N兩點 (1)求雙曲線的方程； (2)·是否為定值，若為定值，求出該值；若不為定值，說明理由． 【解】　(1)由雙曲線的漸近線方程為y＝x， 焦點F(5,0)可得：＝，c＝5，又c2＝a2＋b2 ∴a2＝9，b2＝16，∴雙曲線方程為－＝1. (2)A1(－3,0)，A2(3,0)，F(xiàn)(5,0)，設(shè)P(x，y)，M， ∴＝(x＋3，y)，. 因為A1，P，M三點共線，∴(x＋3)y0－y＝0， ∴y0＝， ∴M，同理N， ∴＝，＝， ·＝－·，∵＝， ∴·＝0， 故·為定值0.