新編新課標高三數(shù)學一輪復習 第3篇 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應用課時訓練 理

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1、 【導與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學一輪復習 第3篇 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應用課時訓練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 用正、余弦定理解三角形 1、2、7、8、11 與面積有關(guān)的問題 6、10、15 判斷三角形形狀 3、13 實際應用問題 5、9 綜合應用 4、12、14、16 基礎過關(guān) 一、選擇題 1.(20xx北京西城模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=3,b=2,cos(A+B)=13,則c等于(　D　) (A)4 (B)15 (C)3 (D)17 解析:cos(A+B)=13=-cos C,

2、 ∴cos C=-13,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C, 所以c=17.故選D. 2.(20xx高考江西卷)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則2sin2B-sin2Asin2A的值為(　D　) (A)-19 (B)13 (C)1 (D)72 解析:由正弦定理可得 2sin2B-sin2Asin2A=2(sinBsinA)2-1=2(ba)2-1, 因為3a=2b, 所以ba=32, 所以2sin2B-sin2Asin2A=2×(32)2-1=72. 故選D. 3.(20xx江西省七校第一次聯(lián)考)在△ABC中,若sin(A

3、-B)= 1+2cos(B+C)sin(A+C),則△ABC的形狀一定是(　D　) (A)等邊三角形 (B)不含60°的等腰三角形 (C)鈍角三角形 (D)直角三角形 解析:sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cos Asin B, sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B, 所以sin Acos B+cos Asin B=1, 即sin(A+B)=1, 所以A+B=π2, 故三角形為直角三角形.故選D. 4.(20xx煙臺模擬)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg 1

4、b+c,則A等于(　C　) (A)π2 (B)π3 (C)2π3 (D)5π6 解析:由lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg 1b+c, 整理得, lg(a+c)·(a-c)=lg b(b+c), ∴(a+c)·(a-c)=b(b+c), 得b2+c2-a2=-bc. ∴cos A=b2+c2-a22bc=-12, 又A∈(0,π), ∴A=2π3.故選C. 5. (20xx廣州調(diào)研)如圖所示,長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則坡度值tan α等于(　A　)

5、 (A)2315 (B)516 (C)23116 (D)115 解析:由題意,可得在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且∠α+∠ACB=π. 由余弦定理, 可得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB, 即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α), 解得cos α=516, 所以sin α=23116, 所以tan α=sinαcosα=2315.故選A. 6.在△ABC中,三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列,且不等式-x2+6x-8>0的解集為{x|a

6、c},則 S△ABC等于(　B　) (A)3 (B)23 (C)33 (D)43 解析:由于不等式-x2+6x-8>0的解集為{x|2

7、:π3或2π3 8.(20xx菏澤一模)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin C,則b=　　　　.? 解析:根據(jù)正弦定理和余弦定理 由sin Acos C=3cos Asin C得: a2R·a2+b2-c22ab=3·b2+c2-a22bc·c2R ∴a2+b2-c2=3(b2+c2-a2),a2-c2=b22. 解方程組a2-c2=2b,a2-c2=b22, ∴b=4. 答案:4 9. (20xx大連聯(lián)考)如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰

8、角為60°,再由點C沿北偏東15°方向走10米到位置D,測得∠BDC=45°,則塔AB的高是　　　　.? 解析:在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°, ∠DBC=30°,BCsin45°=CDsin30°, BC=CDsin45°sin30°=102. 在Rt△ABC中tan 60°=ABBC,AB=BCtan 60°=106. 答案:106 10.(20xx高考新課標全國卷Ⅰ)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則△ABC面積的最大值為　　　　　.

9、? 解析:把正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C代入已知得 (2+b)(a-b)=(c-b)·c, ∴(2+b)(2-b)=(c-b)·c. ∴4-b2=c2-bc,∴b2+c2-bc=4. ∴cos A=b2+c2-a22bc=4+bc-42bc=12. ∴A=60°. 又b2+c2=4+bc≥2bc,∴bc≤4. ∴S△ABC=12bc·sin A=12×32bc=34bc≤34×4=3. 當且僅當b=c=2時取等號,故△ABC面積的最大值為3. 答案:3 三、解答題 11.(20xx高考北京卷)如圖,在△ABC中,∠B=π3,AB=8

10、,點D在BC邊上,且CD=2,cos∠ADC=17. (1)求sin∠BAD; (2)求BD,AC的長. 解:(1)在△ADC中,因為cos∠ADC=17, 所以sin∠ADC=437. 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B =437×12-17×32 =3314. (2)在△ABD中,由正弦定理得 BD=AB·sin∠BADsin∠ADB=8×3314437=3. 在△ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B =82+52-2×8×5×12 =49. 所以AC=7.

11、 12. (20xx高考湖南卷)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2, AC=7. (1)求cos ∠CAD的值; (2)若cos ∠BAD=-714,sin ∠CBA=216,求BC的長. 解:(1)在△ADC中,由余弦定理,得 cos ∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD. 故由題設知,cos ∠CAD=7+1-427=277. (2)設∠BAC=α,則α=∠BAD-∠CAD. 因為cos ∠CAD=277,cos ∠BAD=-714, 所以sin ∠CAD=1-cos2∠CAD=1-(277)?2=217, sin ∠BAD=1-cos2∠B

12、AD=1-(-714)?2=32114. 于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD) =sin ∠BADcos ∠CAD-cos ∠BADsin ∠CAD =32114×277-(-714)×217 =32. 在△ABC中,由正弦定理,BCsinα=ACsin∠CBA. 故BC=AC·sinαsin∠CBA=7×32216=3. 能力提升 13.(20xx咸陽三模)設△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且(BA→+BC→)·AC→=0,則△ABC的形狀是(　C　) (A)直角三角形 (B)鈍角三角形 (C)等邊三角形 (D)等腰非等邊三角形 解析:由題得2B=A+C

13、,3B=π得B=π3, 設AC中點D,則(BA→+BC→)·AC→=2BD→·AC→=0 即BD→⊥AC→得a=c. 所以△ABC為等腰三角形, 又因為B=π6, 所以△ABC為等邊三角形.故選C. 14.(20xx高考江蘇卷)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A+2sin B=2sin C,則cos C的最小值是　　　　.? 解析:由正弦定理可得a+2b=2c, 又cos C=a2+b2-c22ab =a2+b2-14(a+2b)22ab =3a2+2b2-22ab8ab ≥26ab-22ab8ab =6-24, 當且僅當3a=2b時取等號,所以cos C的最小值是6-2

14、4. 答案:6-24 15.(20xx德州模擬)已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,m=(sin A,1),n=(cos A,3),且m∥n. (1)求角A的大小; (2)若a=2,b=22,求△ABC的面積. 解:(1)因為m∥n, 所以3sin A-cos A=0,tan A=33. 因為A∈(0,π),所以A=π6. (2)由正弦定理可得sin B=bsinAa=22, 因為a

15、n C=1+3; 當B=3π4時,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=2(3-1)4, 所以S△ABC=12absin C=3-1. 故△ABC的面積為1+3或3-1. 探究創(chuàng)新 16.(20xx咸陽二模)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且△ABC的面積為S=32accos B. (1)若c=2a,求角A,B,C的大小; (2)若a=2,且π4≤A≤π3,求邊c的取值范圍. 解:由三角形面積公式及已知得S=12acsin B=32accos B, 化簡得sin B=3cos B, 即tan B=3, 又0