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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第6講 拋物線
一、選擇題
1．拋物線x2＝(2a－1)y的準(zhǔn)線方程是y＝1，則實數(shù)a＝( )
A. B. C．－ D．－
解析 根據(jù)分析把拋物線方程化為x2＝－2y，則焦參數(shù)p＝－a，
故拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝＝，則＝1，解得a＝－.
答案 D
2．若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點在圓x2＋y2＋2x－3＝0上，則p＝( )
A. B．1
C．2
2、D．3
解析 ∵拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為(，0)在圓x2＋y2＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)．
答案 C
3．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB＝ ( )．
A. B. C．－ D．－
解析 由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨設(shè)A(4,4)，B(1，－2)，則||＝5，||＝2，·＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝－.故選D.
答案 D
4．已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若
3、拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為
( )．
A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng)
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析 ∵－＝1的離心率為2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的焦點坐標(biāo)為，－＝1的漸近線方程為y＝±x，即y＝±x.由題意，得＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，選D.
答案 D
5．已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點，則△ABP的面積為( )．
A．18 B．24
4、 C．36 D．48
解析 如圖，設(shè)拋物線方程為
y2＝2px(p＞0)．
∵當(dāng)x＝時，|y|＝p，
∴p＝＝＝6.
又P到AB的距離始終為p，
∴S△ABP＝×12×6＝36.
答案 C
6．已知P是拋物線y2＝4x上一動點，則點P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是 ( )．
A. B. C．2 D.－1
解析 由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)．設(shè)點P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－
5、1.易知d＋|PF|的最小值為點F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為＝，所以d＋|PF|－1的最小值為－1.
答案 D
二、填空題
7．已知動圓過點(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為________．
解析 設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(1,0)的距離與其到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2＝4x.
答案 y2＝4x
8．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為M，N為拋物線上的一點，且滿足|NF|＝|MN|，則∠NMF＝________.
解析 過N作準(zhǔn)線的垂線，垂足是P，則有PN＝NF，∴
6、PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，
∴∠MNP＝，即∠NMF＝.
答案
9．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米．
解析 如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py.由題意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.設(shè)B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面寬為2米．
答案 2
10．過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|<|BF|，則|AF|＝________.
解析 設(shè)過拋物線焦點的直線為y＝k，聯(lián)立得，整理得，
7、k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得，k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得，12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝，x2＝，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋＝.
答案
三、解答題
11．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y＝x＋2相切．
(1)求a與b；
(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l1過F2且與x軸垂直，動直線l2與y軸垂直，l2交l1于點P.求線段PF1的垂直平分線與l2的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型．
解 (1)由e＝
8、＝ ＝，得＝.
又由原點到直線y＝x＋2的距離等于橢圓短半軸的長，得b＝，則a＝.
(2)法一 由c＝＝1，得F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．
設(shè)M(x，y)，則P(1，y)．
由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的軌跡方程為y2＝－4x，該曲線為拋物線．
法二 因為點M在線段PF1的垂直平分線上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距離等于M到l1的距離．此軌跡是以F1(－1,0)為焦點，l1：x＝1為準(zhǔn)線的拋物線，軌跡方程為y2＝－4x.
12．已知拋物線C：y2＝4x，過點A(－1,0)的直線交拋物線C于P、Q兩點，
9、設(shè)＝λ.
(1)若點P關(guān)于x軸的對稱點為M，求證：直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F；
(2)若λ∈，求|PQ|的最大值．
思維啟迪：(1)可利用向量共線證明直線MQ過F；(2)建立|PQ|和λ的關(guān)系，然后求最值．
(1)證明 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．
∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，
∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，
∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，
∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)，
∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)
＝λ＝λ，
∴直線MQ經(jīng)過拋物線C的
10、焦點F.
(2)由(1)知x2＝，x1＝λ，
得x1x2＝1，y·y＝16x1x2＝16，
∵y1y2>0，∴y1y2＝4，
則|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)
＝2＋4－12
＝2－16，
λ∈，λ＋∈，
當(dāng)λ＋＝，即λ＝時，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值為.
13．設(shè)拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面積為4 ，求p的值及圓F的方程；
(2)若A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，直線n與m
11、平行，且n與C只有一個公共點，求坐標(biāo)原點到m，n距離的比值．
解 (1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形，|BD|＝2p，圓F的半徑|FA|＝p.
由拋物線定義可知A到l的距離d＝|FA|＝ p.
因為△ABD的面積為4 ，所以|BD|·d＝4 ，
即·2p· p＝4 ，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以F(0,1)，圓F的方程為x2＋(y－1)2＝8.
(2)因為A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，∠ADB＝90°.
由拋物線定義知|AD|＝|FA|＝|AB|.
所以∠ABD＝30°，m的斜率為或－.
當(dāng)m的斜率為時，由已知可設(shè)n：y＝x＋b，代入x2＝
12、2py得x2－px－2pb＝0.
由于n與C只有一個公共點，故Δ＝p2＋8pb＝0，
解得b＝－.
因為m的縱截距b1＝，＝3，
所以坐標(biāo)原點到m，n距離的比值為3.
當(dāng)m的斜率為－時，由圖形對稱性可知，坐標(biāo)原點到m，n距離的比值為3.
綜上，坐標(biāo)原點到m，n距離的比值為3.
14．如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，點P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．
(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；
(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1＋y2的值及直線AB的斜率．
解 (1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)．
∵點P(1,2)在拋物線上，∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求拋物線的方程是y2＝4x，準(zhǔn)線方程是x＝－1.
(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，
則kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得
y＝4x1，①
y＝4x2，②
∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
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