【考前三個月】高考數學（江蘇專用文科）高考必會題型：專題8 概率與統計 第35練

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1、 第35練　用樣本估計總體 題型一　頻率分布直方圖的應用 例1　某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求圖中a的值； (2)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分； (3)若這100名學生語文成績某些分數段的人數(x)與數學成績相應分數段的人數(y)之比如下表所示，求數學成績在[50,90)之外的人數. 分數段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4

2、 4∶5 破題切入點　(1)根據樣本頻率之和為1，求出參數a的值． (2)根據頻率分布直方圖和平均值的計算公式，求出樣本平均值． (3)由直方圖可計算語文成績在每分段上的頻數，再根據語文和數學成績在同一段上的人數比，便可計算數學成績在[50,90)之間的人數，進而求解． 解　(1)由頻率分布直方圖知(2a)×10＝1，解得a＝0.005. (2)由頻率分布直方圖知這100名學生語文成績的平均分為55××10＋65××10＋75××10＋85××10＋95××10＝73(分)． (3)由頻率分布直方圖知語文成績在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)×10×1

3、00＝5,×10×100＝40,×10×100＝30,×10×100＝20. 由題中給出的比例關系知數學成績在上述各分數段的人數依次為5,40×＝20,30×＝40,20×＝25. 故數學成績在[50,90)之外的人數為 100－(5＋20＋40＋25)＝10. 題型二　莖葉圖的應用 例2　從甲、乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統計，統計數據用莖葉圖表示(如圖所示)．設甲乙兩組數據的平均數分別為甲，乙，中位數分別為m甲，m乙，則它們的大小關系分別為________． 破題切入點　由莖葉圖觀察求解比較兩組數據的平均數和中位數． 答案　甲<乙，m甲

4、解析　由莖葉圖可知甲數據集中在10至20之間，乙數據集中在20至40之間，明顯甲＜乙，甲的中位數為20，乙的中位數為29，即m甲＜m乙． 題型三　用樣本的數字特征估計總體的數字特征 例3　甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績如下表(單位：環(huán))： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應是________． 破題切入點　計算樣本的方差直接作為總體的方差． 答案　甲 解析　甲＝乙＝9環(huán)，s＝[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝，

5、 s＝[(10－9)2＋(10－9)2＋(7－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝>s，故甲更穩(wěn)定，故填甲． 總結提高　(1)眾數、中位數、平均數的異同 ①眾數、中位數及平均數都是描述一組數據集中趨勢的量，平均數是最重要的量． ②平均數的大小與一組數據里每個數據均有關系，任何一個數據的變動都會引起平均數的變動，而中位數和眾數都不具備此性質． ③眾數考查各數據出現的頻率，當一組數據中有不少數據多次出現時，眾數往往更能反映問題． ④中位數僅與數據的排列位置有關，中位數可能出現在所給數據中，也可能不在所給數據中，當一組數據中的個別數據變動較大時，可用中位數描述其集中趨勢． (2)莖葉

6、圖刻畫數據的優(yōu)點 ①所有數據信息都可以在莖葉圖中看到． ②莖葉圖便于記錄和表示，且能夠展示數據的分布情況． (3)利用頻率分布直方圖估計樣本的數字特征 ①中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數的值． ②平均數：平均數的頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和． ③眾數：在頻率分布直方圖中，眾數是最高的矩形底邊的中點的橫坐標． 1．某校對高三年級的學生進行體檢，現將高三男生的體重(kg)數據進行整理后分成五組，并繪制頻率分布直方圖(如圖)．根據一般標準，高三男生的體重超過65 kg屬于偏胖，低于

7、55 kg屬于偏瘦．已知圖中從左到右第一、第三、第四、,,,，第二小組的頻數為400，則該校高三年級的男生總數和體重正常的頻率分別為________． 答案　1 000, 解析　據題意，得第二小組的頻率為1－()＝0.40， 且其頻數為400，設高三年級男生總數為n， 則有＝0.40，∴n＝1 000. 體重正常的學生所占的頻率為第二和第三小組頻率之和， 即0.20＋0.40＝0.60. 2. 已知記錄7名運動員選手身高(單位：cm)的莖葉圖如圖，其平均身高為177 cm，因有一名運動員的身高記錄看不清楚，設其末位數為x，那么推斷x的值為________． 答案　8

8、 解析　據莖葉圖可知 ＝177， 解得x＝8. 3．在樣本的頻率分布直方圖中，一共有n個小矩形．若中間一個小矩形的面積等于其余(n－1)個小矩形面積之和的，且樣本容量為240，則中間一組的頻數是________． 答案　40 解析　設中間小矩形的面積為S，則由題意知＝， 解得S＝，即頻率為， 所以中間一組的頻數為×240＝40. 4．樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為________． 答案　2 解析　由題意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1， 所以樣本方差為s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(

9、2－1)2＋(3－1)2]＝2. 5．(2014·山東)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數據(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數為________． 答案　12 解析　志愿者的總人數為＝50， 所以第三組人數為50×0.36＝18， 有療效的人數為18－6＝12. 6．在樣本的頻率分布直方圖中，共有4

10、個小長方形，這4個小長方形的面積由小到大構成等比數列{an}，已知a2＝2a1，且樣本容量為300，則小長方形面積最大的一組的頻數為________． 答案　160 解析　∵小長方形的面積由小到大構成等比數列{an}，且a2＝2a1， ∴樣本的頻率構成一個等比數列，且公比為2， ∴a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝300，∴a1＝20， ∴小長方形面積最大的一組的頻數為8a1＝160. 7．(2014·江蘇)為了了解一片經濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數據均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有_

11、_______株樹木的底部周長小于100 cm. 答案　24 解析　底部周長在[80,90)×10＝0.15， 底部周長在[90,100)×10＝0.25， 樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100 cm的株數為()×60＝24. 8．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數分別是________． 答案　18,23 解析　根據莖葉圖分別將甲、乙得分按從小到大順序排起來，根據中位數定義易知甲、乙中位數分別為18,23. 9．甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產量如下(單位：t/hm2) 品種 第1年

12、第2年 第3年 第4年 第5年 甲 10 乙 其中產量比較穩(wěn)定的小麥品種是________． 答案　甲 解析　甲＝()＝10.0， 乙＝()＝10.0； s＝(2＋…2)－102＝0.02， s＝(2＋…2)－102＝0.244>0.02. 10．為了解某校今年準備報考飛行員學生的體重(單位：kg)情況，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數為12，則報考飛行員的總人數是________． 答案　48 解析　據頻率分布直方圖可得第四與第五小組的頻率

13、之和為5×()×＝0.25，又其頻數為12，故總人數為＝48人． 11．(2014·北京)從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間(單位：小時)的數據，整理得到數據分組及頻數分布表和頻率分布直方圖： 組號 分組 頻數 1 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18) 2 合計 100 (1)從該校隨機選取一名學生，試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概

14、率； (2)求頻率分布直方圖中的a，b的值； (3)假設同一組中的每個數據可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數在第幾組．(只需寫出結論) 解　(1)根據頻數分布表，100名學生中課外閱讀時間不少于12小時的學生共有6＋2＋2＝10(名)， 所以樣本中的學生課外閱讀時間少于12小時的頻率是1－＝0.9. 從該校隨機選取一名學生，估計其課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9. (2)課外閱讀時間落在組[4,6) 的有17人，頻率為0.17， 所以a＝＝＝0.085. 課外閱讀時間落在組[8,10)的有25人，頻率為0.25， 所以b＝＝＝0

15、.125. (3)樣本中的100名學生課外閱讀時間的平均數在第4組． 12．(2014·廣東)某車間20名工人年齡數據如下表： (1)求這20名工人年齡的眾數與極差； (2)以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖； (3)求這20名工人年齡的方差． 解　(1)這20名工人年齡的眾數為30；這20名工人年齡的極差為40－19＝21. (2)以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖如下： (3)這20名工人年齡的平均數為：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30； 所以這20名工人年齡的方差為： (30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.