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1、第三講第三講 直線與方程直線與方程一、學習目標1.掌握直線的傾斜角的概念、斜率公式；掌握直線的方程的幾種形式及其相互轉(zhuǎn)化，以及直線方程知識的靈活運用；掌握兩直線位置關(guān)系的判定，點到直線的距離公式及其公式的運用； 2.充分理解解析思想（坐標法），加強數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)和應用意識的培養(yǎng)；3.積極主動，認真研究，以極大的熱情投入學習中去。二、知識梳理（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是 . （2）直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率
2、常用k表示。即 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。 tank 0180 當 時， ；當 時， ； 當 時， 。過兩點的直線的斜率公式：注意下面四點： (1)當 時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90； (2)k與P1、P2的順序無關(guān)； (3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得； (4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。0 ,900k180,900k90k)(211212xxxxyyk21xx 不存在（3）直線方程點斜式： ，直線斜率k，且過點注意：當直線的斜率為0時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜
3、式表示但因 上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式： ，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b)(11xxkyy11,yxbkxyl兩點式： （ ）截矩式：其中直線 與 軸交于點 ,與軸交于點 。一般式 ： （A，B不全為0） 注意：各式的適用范圍；特殊的方程，如：平行于x軸的直線： （b為常數(shù)）；平行于y軸的直線： （a為常數(shù)）；112121yyxxyyxx1212,xxyy1xyablx( ,0)a(0, )b0CByAxby ax （5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線 平行直線系平行于已知直線 （ 是不全為0的常數(shù)）的直線系： （C為常數(shù)） 過定點的直線系（）斜率
4、為k的直線系 ： ，直線過定點 ；（）過兩條直線 ， 的交點的直線系方程為（ 為參數(shù)），其中直線 不在直線系中。0000CyBxA00,BA000CyBxA00 xxkyy00, yx0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl0222111CyBxACyBxA2l（6）兩直線平行與垂直當 ， 時， ；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點 ， 相交交點坐標即方程組 的一組解。111:bxkyl222:bxkyl212121,/bbkkll12121kkll0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl00222111CyBxACyBxA方程組無
5、解 ；方程組有無數(shù)解 重合（8）兩點間距離公式：設 是平面直角坐標系中的兩個點，則 （9）點到直線距離公式：（10）兩平行直線距離公式 在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。21/ll12ll 與1122( ,),A x yB xy，（）222121|()()ABxxyy2200BACByAxd三、典型例題例1.過點A(5，4)作一直線 ，使它與兩坐標軸相交且與兩軸所圍成的三角形的面積為5，求直線 的方程【解析】由題意知，直線 的斜率存在設直線為y4k(x5)，交x軸于點 ，交y軸于點 (0,5k4) ， ，解得所以所求直線l的方程為2x5y100，或8x5y200.【方法規(guī)律
6、】求直線的方程，可先設方程，然后根據(jù)條件求系數(shù)。ll4(5,0)kl1455452Skk2855kk或變式練習1過點P(1,0)，Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們在x軸上截距之差的絕對值為1，求這兩條直線的方程【解析】(1)當兩條直線的斜率不存在時，兩條直線的方程分別為x1，x0，它們在x軸上截距之差的絕對值為1，滿足題意；(2)當直線的斜率存在時，設其斜率為k，則兩條直線的方程分別為yk(x1)，ykx2. 令y0，分別得x1，x2/k.由題意得 ，即k1.則直線的方程為yx1，yx2，即xy10，xy20.綜上可知，所求的直線方程為x1，x0，或xy10，xy20.211k 【
7、答案】x1，x0，或xy10，xy20.例2.已知直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.【解析】法一:當m0或2時，兩直線既不平行，也不垂直；當m0且m2時，直線l1，l2的斜率分為： .(1)若l1l2，則 ，解得 .(2)若l1l2，則由 ，得m1或m3.又當m3時，l1與l2重合，故m3舍去故l1l2時，m1.1 2,3mm1 213mm 12m 123mm法二(1)l1l2，m23m0， .(2)l1l2，3m(m2)0且2m6(m2)，故m1.12m 【方法規(guī)律】已知兩直線的方程中都含有參數(shù)，求不同的位置關(guān)系時參數(shù)的取值，可
8、以利用平行(或垂直)的條件列方程求解變式練習2已知點A(2,2)和直線l：3x4y200.(1)求過點A，且和直線l平行的直線方程；(2)求過點A，且和直線l垂直的直線方程【答案】(1)3x4y140 (2)4x3y20【解析】(1)因為所求直線與l：3x4y200平行，所以設所求直線方程為3x4ym0.又因為所求直線過點A(2,2)，所以3242m0，所以m14， 所以所求直線方程為3x4y140.(2)因為所求直線與直線l：3x4y200垂直，所以設所求直線方程為4x3yn0.又因為所求直線過點A(2,2)，所以4232n0，所以n2，所以所求直線方程為4x3y20.例3.一條光線經(jīng)過P(
9、2,3)點，射在直線l：xy10上，反射后穿過點Q(1,1)(1)求入射光線的方程；(2)求這條光線從P 到Q 的長度.【解析】(1)設點Q(x，y)為Q關(guān)于直線l的對稱點且QQ交l于M點kl1，kQQ1.QQ所在直線方程為y11(x1)，即xy0. 由 解得l與QQ的交點M的坐標 . 100 xyxy 11(,)22又M為QQ的中點，由此得 ，解之得 Q點的坐標為(2，2)設入射光線與l的交點為N，則P、N、Q共線又P(2,3)，Q(2，2)，得入射光線方程為 ，即5x4y20.11221122xy 22xy 223222yx(2)l是QQ的垂直平分線，從而|NQ|NQ|，|PN|NQ|PN
10、|NQ|PQ| . 即這條光線從P到Q的長度是 .2232224141【方法規(guī)律】利用入射線與反射線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線l的對稱問題，即求Q點關(guān)于直線l的對稱點變式練習3求直線l1：2xy40關(guān)于直線l：3x4y10的對稱直線l2的方程.【答案】2x11y160.【解析】解方程組 ，得 所以直線l1與l相交，且交點為E(3，2)，E也在直線l2上，在直線l1：2xy40上取點A(2,0)，設點A關(guān)于直線l的對稱點為B(x0，y0)，3410240 xyxy 32xy 于是有 ，解得 ，即 .故由兩點式得直線l2的方程為 2x11y160.0000203410220423xyyx 00458
11、5xy 48( ,)55B例4.點P(2，1)到直線l：(13)x(1)y250的距離為d，求d的最大值【解析】直線l的方程可化為xy2(3xy5)0，由 ，解得 ，直線l過定點 .如圖，d|PA|； 當PAl時，d取最大值|PA|. ，d的最大值為 .35020 xyxy3212xy3 1( , )2 2A223158( 2)( 1)222PA 582變式練習4直線l1過點P(1,2)，斜率為 ，把l1繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)30得直線l2，求直線l1和l2的方程【解析】設直線l1的斜率為k，傾斜角為.由題意，知直線l1的方程是 ，即x3y60. k1tan 1，l1的傾斜角1150.如圖，l
12、1繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)30，得到直線l2的傾斜角215030120，直線l2的斜率k2tan 120，l2的方程為 ，即 .333213yx 23(1)yx 3230 xy四、課堂練習2.已知點A(0,2)，B(2,0)若點C在函數(shù)yx2的圖象上，則使得ABC的面積為2的點C的個數(shù)為()A4 B3 C2 D1五、課后練習【答案】C【解析】當a0時，A，B，C，D均不成立；當a0時，只有C成立4.直線過點 (3,2)且在兩坐標軸上的截距相等，則這直線方程為 。5.已知光線從點M(-1,0)射出，經(jīng)直線x-y-1 =0反射，其反射光線通過點N(0,1),則入射光線所在直線方程為 。【答案】x+3y+1=0【解析】先求點N關(guān)于直線x-y-1 =0對稱后的點N（2，-1），則連接點N和M即為入射光線所在的直線方程，由兩點式可得直線方程為x+3y+1=0。
高二數(shù)學上學期期末復習備考講練 專題03 直線與方程課件 理
