【數(shù)學(xué)課件】車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案

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1、一、問題重述一、問題重述為保證汽車夜間行駛要求汽車的車燈能照亮汽車行駛正前方一定距離內(nèi)的一定寬度范圍，但為了節(jié)省能源，這一寬度范圍不必太大（沿寬度方向有一定的衰減率）。各類車燈的工業(yè)設(shè)計(jì)規(guī)范正是據(jù)此而制定的。由于車燈的照明主要靠反射光，又考慮到汽車通常的速度，我們采用的設(shè)計(jì)規(guī)范為，在水平放置的車燈的反射面焦點(diǎn)F點(diǎn)正前方25米處（A點(diǎn)）放置一個(gè)測(cè)試屏，與FA垂直，在該測(cè)試屏上過A點(diǎn)引出一條與地面相平行的直線，在該直線A點(diǎn)的同側(cè)取B點(diǎn)和C點(diǎn)，使AC=2Ab=2.6米，要求在測(cè)試屏上B點(diǎn)與C點(diǎn)的反射光強(qiáng)度分別超過2H和H，其中H表示某一額定的光強(qiáng)度。我們考察的汽車車燈的形狀為一個(gè)水平放置的旋轉(zhuǎn)拋物面

2、，其開口半徑為36毫米，深度為21.6毫米，焦點(diǎn)里開口平面的距離為6.6毫米。該車燈安裝愛汽車的頭部，對(duì)稱軸指向水平正前方。經(jīng)過車燈的焦點(diǎn)F，在于對(duì)稱軸相垂直的水平方向?qū)ΨQ地放置長(zhǎng)度為毫米且均勻分布的線光源。即線光源的總功率為W，在測(cè)試屏上B與C點(diǎn)的反射光強(qiáng)度可分別記為hB（l）與hC（l），設(shè)計(jì)規(guī)范可表示為現(xiàn)在問題就是求出最優(yōu)的線光源長(zhǎng)度，滿足此規(guī)范并使功率W最小。 2,BChl WH hl WH二、基本假設(shè)二、基本假設(shè)1.不考慮光在空氣中傳播時(shí)的損耗。2.點(diǎn)光源發(fā)光時(shí)，在各個(gè)方向上產(chǎn)生的光強(qiáng)度是一樣的。三、參數(shù)說明三、參數(shù)說明P：旋轉(zhuǎn)拋物面的焦參數(shù) 2R：線光源長(zhǎng)度 W：線光源半軸長(zhǎng)發(fā)光的

3、總強(qiáng)度：線光源光能線密度，可以表示單位長(zhǎng)度光源產(chǎn)生的光強(qiáng)度量I（B）：B點(diǎn)接收到的光強(qiáng)度（光強(qiáng)度量的面密度）I（C）：C點(diǎn)接收到的光強(qiáng)度（光強(qiáng)度量的面密度）I（h）：光仔空間傳播時(shí)在距離光源h除的光強(qiáng)度d：旋轉(zhuǎn)拋物面的深度 Q：某點(diǎn)光源的發(fā)光強(qiáng)度量 n：每個(gè)發(fā)光點(diǎn)向空間發(fā)射的光線數(shù)r：每個(gè)離散點(diǎn)光源的長(zhǎng)度m：每束光線可以產(chǎn)生的光強(qiáng)度量E（P）：拋物面上可以講光線反射到P點(diǎn)的所有點(diǎn)的集合O：光屏上每個(gè)小網(wǎng)格的面積 ：測(cè)試屏的單位法向量（沿z軸負(fù)方向）v四、問題的分析四、問題的分析1. 本問題是個(gè)面鏡反射的幾何光學(xué)問題。2. 要求滿足（ ）時(shí)對(duì)線光源的長(zhǎng)度（2R）和單位發(fā)光密度（ ）進(jìn)行優(yōu)化，使線

4、光源發(fā)光總強(qiáng)度量最小。 3. 對(duì)于其中的考察點(diǎn)，根據(jù)它們和相應(yīng)的發(fā)射點(diǎn)之間的位置關(guān)系算出從線光源上某點(diǎn)射出的光線在到達(dá)考察點(diǎn)時(shí)考察點(diǎn)所接收到的光的強(qiáng)度。4. 再對(duì)該考察點(diǎn)上所接收到的所有光的強(qiáng)度進(jìn)行積分，計(jì)算出相應(yīng)的光強(qiáng)度，利用問題給出的約束條件，將問題變成一個(gè)帶約束條件的優(yōu)化問題。2,1IBIC五、模型的構(gòu)建五、模型的構(gòu)建5.1 反射點(diǎn)和發(fā)光點(diǎn)以及受光點(diǎn)之間的關(guān)系考慮線光源上一點(diǎn)H（0，r，p/2）發(fā)射一條光線經(jīng)過拋物面上一點(diǎn)G（x1，y1，z1）射到光屏上某點(diǎn) P（x0，y0，z0）的情況。xyOGHzP222xypzxyOGHzP如圖，拋物面的方程為G點(diǎn)的單位內(nèi)發(fā)向量為1122211,G

5、xyplxypGP GH010101222101010,G Pxxyyzzxxyyzz將向量 和 單位化得111222111,22G Hpxryzpxryz GPGH 令，可以將原方程化簡(jiǎn)為10011010101012211101021022xyarx yapxzazppxapyzazppyarzdxypz 這個(gè)方程組（*）的前三個(gè)方程中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，則在前兩個(gè)方程中可以任意去掉一個(gè)，方程組就決定了H、P和G三點(diǎn)之間的位置關(guān)系。 1sincos,sinsin,cosu5.2 光線經(jīng)光屏反射過程的數(shù)學(xué)描述 在線光源上取一點(diǎn)H（0，r，p/2），過該點(diǎn)沿單位向量做一條直線交拋物面于G（x1，y

6、1，z1），則又G在拋物面上，則推出：11120s inc o ss ins inc o spzxyrt22222cossin sinsin sin 2sincossinprprprt于是得到111sincossinsincos2xtyrtpzt1122211,GxyplxypG點(diǎn)的單位內(nèi)法向量為211G2Guuull 則經(jīng)拋物面反射的單位向量5.3 光在傳播過程中的發(fā)散 光在空間傳播時(shí)是在整個(gè)空間上均勻發(fā)散的。我們用光強(qiáng)度量來表示光源在整個(gè)空間發(fā)射出去的光能，用光強(qiáng)度量的面密度來度量光發(fā)散到某個(gè)點(diǎn)在該點(diǎn)產(chǎn)生的光強(qiáng)度。 當(dāng)發(fā)光強(qiáng)度量為Q的點(diǎn)光源發(fā)出的光傳播到空間某點(diǎn)時(shí)，可知 24QI hh長(zhǎng)度

7、為 d r 的線光源從 H 發(fā)出的光傳播到 G 時(shí)，G 點(diǎn)所接受到的光強(qiáng)度為24drdI GGH112211111xydSzzdx dy在 G 周圍去一個(gè)小的面積微元從方程組（*）中可以確定11001100,xxxyyyxy11001100 xyxxJxyyy則 x1，y1 對(duì)于 x0，y0 的 Jacobi 行列式為則可得到1100dx dyJ dxy00dSdx dy 1122111xydSzzJdS由于dx0dy0 為光屏上的面積微元，不妨記為 dS，即從而可以推出G 點(diǎn)接收到的光強(qiáng)度量為1Gdm Gu ldI G dS 又由于 dS 上的所有光線全反射到 dS ，即它們兩個(gè)面積微元上的

8、光強(qiáng)度量相等，于是得到1111122111221112114GGxyGxydmGdmPdIPdSuldSdIPdIGdSulzzJ dIGulzzJdrGH 得到 P 點(diǎn)的光強(qiáng)度 1122111214RGxyRu lzzJdrI PPGH 1122111214RGxyRu lzzJdrI BBGH 于是分別得到 B 點(diǎn)和 C 點(diǎn)的光強(qiáng)度為1122111214RGxyRu lzzJdrI CCGH 21I BI C5.4 非線性規(guī)劃問題根據(jù)題意，本問題的約束條件為而我們的目標(biāo)是使線光源半軸發(fā)光的總強(qiáng)度量最小，即minWR最終，本問題歸結(jié)為一個(gè)求非線性規(guī)劃最優(yōu)解的問題 11112211122211

9、12min124. .114RGxyRRGxyRWRu lzzJdrI BBGHstu lzzJdrI CCGH rmn六、模型的簡(jiǎn)化和求解6.1 光源發(fā)光的離散化 我們將模型中連續(xù)的線光源離散成許多點(diǎn)光源，而且將光的均勻發(fā)散離散化，考慮點(diǎn)光源以 n 條光線的形式對(duì)外發(fā)散。 若每個(gè)離散點(diǎn)光源的長(zhǎng)度為 ，則該離散點(diǎn)發(fā)出的一條光線可以產(chǎn)生的光強(qiáng)度量r122222GS luS u vSu v 2u v6.2 光傳播過程中發(fā)散的一個(gè)近似處理 對(duì)于光在傳播過程中的散射對(duì)射到光屏上后強(qiáng)度的影響模型中是用 Jacobi 行列式體現(xiàn)的。但是這個(gè) Jacobi 行列式的表達(dá)式是很復(fù)雜的，所以我們用一種近似處理這

10、種散射影響的方法。（取負(fù)號(hào)是由于 和 夾角超過 ）90又由于 S2 和 S1 上通過的光強(qiáng)度量相等，得到12212GGu lu vI SI Slu GEPmPIPO那么，P點(diǎn)的光強(qiáng)度為1111122GGGGE PGGGuluullvrn luullO minWR11111222GGGGE BGGGu luu llvrn luu llIBO 6.3 問題的求解根據(jù)以上對(duì)模型的離散簡(jiǎn)化得到一個(gè)離散優(yōu)化模型 11111221GGGG E CGGGu luu llvrn luu llI CO s.t.minWT R. .st為方便計(jì)算機(jī)求解，我們對(duì)上面的優(yōu)化模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到2BIBTN1CICT N

11、其中，T為每條光線帶的光強(qiáng)，NB為打到以B為圓心，以2cm為半徑的圓內(nèi)的光線條數(shù)，NC為打到以C為圓心，以2cm為半徑的圓內(nèi)的光線條數(shù)。對(duì)于這個(gè)問題的求解采取分步等長(zhǎng)搜索的方法。對(duì)于這個(gè)問題的求解采取分步等長(zhǎng)搜索的方法。 步驟一 將線光源細(xì)化成許多個(gè)小的光源，每個(gè)小光源的長(zhǎng)度r=0.01mm。將整個(gè)空間的立體角4分成n=40000份。在B和C點(diǎn)的周圍分別做一個(gè)半徑2cm的圓。 步驟二 將每個(gè)小光源發(fā)射出的光離散為40000條光線，每條可以射到拋物面上的光線經(jīng)拋物面反射后會(huì)在光屏上打下唯一一個(gè)點(diǎn)。如果該點(diǎn)在B或C為圓心的圓內(nèi)，將降大在這個(gè)區(qū)域的光線條數(shù)加1。 步驟三 首先在 R （0，30mm）

12、內(nèi)以0.1mm步長(zhǎng)對(duì) R 進(jìn)行搜索，得到 W-R 的圖像如下圖對(duì)上頁(yè)圖中劃在圓圈內(nèi)部的 W-R 曲線進(jìn)行放大，得到下圖從圖中可以看出，最優(yōu)的 R 出現(xiàn)在1.5mm到3mm區(qū)域內(nèi)。所以，將進(jìn)一步搜索的區(qū)域定義為1.5,3Rmmmm 步驟四 在區(qū)間 內(nèi)以0.005mm為步長(zhǎng)進(jìn)行搜索，得到關(guān)于線光源半軸長(zhǎng) R 圖形。1.5,3Rmmmm利用 NB、NC 的值，對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得到在 區(qū)間內(nèi) W-R 圖線1.5,3Rmmmm則圖中最優(yōu)化解附近點(diǎn) W-R-T 的數(shù)據(jù)列表如下作者的數(shù)據(jù)：最優(yōu)的線光源長(zhǎng)度為最優(yōu)的線光源長(zhǎng)度為 2R = 3.39 mm。我們的數(shù)據(jù)：我們的結(jié)論是，最優(yōu)的線光源長(zhǎng)度為我們的結(jié)

13、論是，最優(yōu)的線光源長(zhǎng)度為 2R = 3.28 mm。八、設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性驗(yàn)證8.1 合理性分析 本題涉及的燈是車的前照燈。合理的設(shè)計(jì)規(guī)范應(yīng)該具有以下照明效果：a) 車燈正前方為了照亮車道，應(yīng)該亮度很大。b) 前照燈也要照亮鄰道，故車兩側(cè)附近也應(yīng)該有較高的亮度。c) 而更遠(yuǎn)一點(diǎn)的距離，亮度則要較低。8.2 設(shè)計(jì)規(guī)范的隨機(jī)模擬驗(yàn)證 我們用計(jì)算機(jī)對(duì)線光源經(jīng)過拋物面反射光進(jìn)行隨機(jī)模擬試驗(yàn)。 具體步驟為： 步驟一 用 Matlab 隨機(jī)數(shù)函數(shù) UNIFRND（ ）產(chǎn)生點(diǎn)光源像空間發(fā)射光線的隨機(jī)單位方向向量。步驟二 用這些隨機(jī)單位方向向量對(duì)上文求出的最佳光源發(fā)光進(jìn)行模擬，作出光強(qiáng)度分布圖它的俯視圖為九、優(yōu)

14、缺點(diǎn)分析 這個(gè)模型在前面理論推導(dǎo)過程中完成得十分出色，他們用Jacobi行列式來描述散射結(jié)果，成功地推出了B,C兩點(diǎn)光強(qiáng)關(guān)于線光源長(zhǎng)度的精確積分表達(dá)式，從而得到一個(gè)非線性規(guī)劃的問題。 但這個(gè)模型有個(gè)致命的缺點(diǎn)，就是這樣的求解在實(shí)際操作中幾乎是不可行的，它的計(jì)算要求太高了。所以作者最終沒有很好的應(yīng)用之前的理論推導(dǎo)，用離散的方法解決這個(gè)問題。從理論上講，只要離散的足夠細(xì)，結(jié)論可以充分接近真實(shí)值的，但實(shí)現(xiàn)的過程中發(fā)現(xiàn)，如果分的太細(xì)，運(yùn)算量將大得驚人，甚至到了無法實(shí)現(xiàn)的地步。事實(shí)上，這個(gè)模型中要達(dá)到一個(gè)可信值的計(jì)算量是不可承受的。 如果在作者給出的細(xì)分的程度上再加倍，就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者之間的誤差是很大的。肚

15、松肚松衯衯宸宸&愮鐝愮鐝D)姄姄?Y 煃煃顓宄顓宄翺翺? ?鼇蒘鼇蒘祹祹 譗鸙譗鸙5企企d =弶弶泫泫嫋湡榿嫋湡榿q轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) p欳欳 ?e啟啟!睟睟Q囧囧? 懺懺a ?d?貁貁h$3艡艡尟尟堷堷?3隮衳隮衳_S敫倥敫倥I袣塭袣塭腋腋F 4?qg?檀檀6?堆堆?砨镸砨镸僦僦胔胔T嬒郖嬒郖?h釁讑釁讑v玈玈3?揪揪w龝龝+蹺蹺=?Y(醖醖?#叝叝佟佟r?x 瑭瑭旛旛ib?棕棕橋橋擈擈(!捂捂y戌戌y)帺帺E萛萛櫇?rùn)濅z鋤?蚱蚱 瑸瑸 繫繫r? 披堿浸披堿浸 ?鰝鰝sP,?駉駉S瑔瑔 蔾蔾!鼇羳鼇羳_為為$_%?婯婯慮慮hrAgr/?岉岉 n鶇鶇遴遴7p 喢喢蔸蔸 ?j耭耭奎奎斔斔 ?;裛鋻裛鋻失失黨黨f

16、嫹嫹?鵉鵉rq袽許喤袽許喤P飇飇閑閑凗凗xg瀑瀑噰噰九九?備備X昅昅3煰蒥煰蒥催催?UhM懣懣秛秛s 謱謱?杭杭Y1G鮫鮫e鳛賍鳛賍_hh?砘己砘己蛢蛢s S+E輺焤輺焤W4t 穙穙蹄蹄F?劷儚劷儚 缽缽癡嬟癡嬟W 塳塳酢酢 Zb Z飇飇擠擠tsh劮汏劮汏h - 脪脪w淁淁(! 鴍櫶鴍櫶+5?蘦蘦n觶觶sI縐縐9?l &苃苃N變變 ?棱佛棱佛傝傝嵻嵻 綱綱fC ?驕驕:襆襆P芤嬉芤嬉橸橸 軿軿C?桐桐WUC?:骴骴 r:/2%?級(jí)級(jí)h崍崍x/腔腔敋敋看看撜撜&l汙汙r?硨硨騕騕 鶰鶰剞剞? 艂艂? 匰匰4?觀觀d?F?戀戀 -_欐欐爝禽爝禽+?=啯啯 ;鞠鞠 |焱焱邍邍d窪孻穘窪孻穘u88%躩

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