高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第八章】立體幾何 8.2

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1、 精品資料 8.2　兩直線的位置關(guān)系 1． 兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1、l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2平行． (2)兩條直線垂直 如果兩條直線l1，l2斜率存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直． 2． 兩直線相交 交點(diǎn)：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對(duì)應(yīng)．

2、相交?方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解； 平行?方程組無(wú)解； 重合?方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解． 3． 三種距離公式 (1)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)間的距離： |AB|＝ . (2)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離： d＝ . (3)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)間的距離為d＝. 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2. (　　) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.

3、 (　　) (3)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2為常數(shù))， 若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0. (　√　) (4)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為. (　　) (5)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離． (　√　) (6)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對(duì)稱，則直線AB的斜率等于－，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上． (　√　) 2． 若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，a)、(－2,0)的直線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)且斜率為的直

4、線垂直，則a的值為(　　) A. B. C．10 D．－10 答案　D 解析　∵＝－2，∴a＝－10. 3． 直線Ax＋3y＋C＝0與直線2x－3y＋4＝0的交點(diǎn)在y軸上，則C的值為_(kāi)_______． 答案?。? 解析　因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在y軸上，所以點(diǎn)在第一條直線上，所以C＝－4. 4． 已知直線l1與l2：x＋y－1＝0平行，且l1與l2的距離是，則直線l1的方程為_(kāi)_______________． 答案　x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 解析　設(shè)l1的方程為x＋y＋c＝0，則＝. ∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3. 5． 直線2x＋2y＋1＝0，x

5、＋y＋2＝0之間的距離是________． 答案　 解析　先將2x＋2y＋1＝0化為x＋y＋＝0， 則兩平行線間的距離為d＝＝. 題型一　兩條直線的平行與垂直 例1　已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等． 思維啟迪　本題考查兩直線平行或垂直成立的充分必要條件，解題易錯(cuò)點(diǎn)在于忽略斜率不存在的情況． 解　(1)由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a. 若k2＝0，則1－a＝0，a＝1. ∵l1⊥l2，直線l1的斜

6、率k1必不存在，即b＝0. 又∵l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)． ∴此種情況不存在，∴k2≠0. 即k1，k2都存在，∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， ∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1. ① 又∵l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0. ② 由①②聯(lián)立，解得a＝2，b＝2. (2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直線l1的斜率存在， k1＝k2，即＝1－a. ③ 又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b，

7、 ④ 聯(lián)立③④，解得或 ∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 思維升華　當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x、y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件． 　已知兩直線l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2xsin α＋y＋1＝0，求α的值，使得： (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2. 解　(1)方法一　當(dāng)sin α＝0時(shí)，直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，顯然l1不平行于l2. 當(dāng)sin α≠0時(shí)，k1＝－，k2＝－2sin α. 要使l1∥l2，需－＝－2sin α， 即sin α＝. 所以α＝kπ

8、，k∈Z，此時(shí)兩直線的斜率相等． 故當(dāng)α＝kπ，k∈Z時(shí)，l1∥l2. 方法二　由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0， 所以sin α＝. 又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 所以α＝kπ，k∈Z. 故當(dāng)α＝kπ，k∈Z時(shí)，l1∥l2. (2)因?yàn)锳1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要條件， 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故當(dāng)α＝kπ，k∈Z時(shí)，l1⊥l2. 題型二　兩直線的交點(diǎn) 例2　過(guò)點(diǎn)P(3,0)作一直線l，使它被兩直線l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的線

9、段AB以P為中點(diǎn)，求此直線l的方程． 思維啟迪　求直線的方程一般需要兩個(gè)已知條件，本例已知直線l過(guò)一定點(diǎn)P(3,0)，還需要尋求另一個(gè)條件．這一條件可以是斜率k或另一個(gè)定點(diǎn)，因此，有兩種解法． 解　方法一　設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)， 將此方程分別與l1，l2的方程聯(lián)立， 得和 解之，得xA＝和xB＝， ∵P(3,0)是線段AB的中點(diǎn)，由xA＋xB＝6得 ＋＝6，解得k＝8. 故直線l的方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 方法二　設(shè)l1上的點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，y1)， ∵P(3,0)是線段AB的中點(diǎn)， 則l2上的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6－x1，－y1)， ∴

10、 解這個(gè)方程組，得 ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，由兩點(diǎn)式可得l的方程為8x－y－24＝0. 思維升華　(1)兩直線交點(diǎn)的求法 求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn)． (2)常見(jiàn)的三大直線系方程 ①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． ②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． ③過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 　如圖，設(shè)一

11、直線過(guò)點(diǎn)(－1,1)，它被兩平行直線l1：x ＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的線段的中點(diǎn)在直線l3：x－y －1＝0上，求其方程． 解　與l1、l2平行且距離相等的直線方程為x＋2y－2＝0. 設(shè)所求直線方程為(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0， 即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直線過(guò)(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)1－2－λ＝0. 解得λ＝－.∴所求直線方程為2x＋7y－5＝0. 題型三　距離公式的應(yīng)用 例3　正方形的中心在C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程． 思維啟迪　借助平行直線

12、系和垂直直線系設(shè)出其他三邊所在直線的方程，利用正方形的中心到各邊距離相等列出方程求直線系中的參數(shù)． 解　點(diǎn)C到直線x＋3y－5＝0的距離d＝＝. 設(shè)與x＋3y－5＝0平行的一邊所在直線的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)， 則點(diǎn)C到直線x＋3y＋m＝0的距離d＝＝， 解得m＝－5(舍去)或m＝7， 所以與x＋3y－5＝0平行的邊所在直線的方程是x＋3y＋7＝0. 設(shè)與x＋3y－5＝0垂直的邊所在直線的方程是3x－y＋n＝0， 則點(diǎn)C到直線3x－y＋n＝0的距離d＝＝， 解得n＝－3或n＝9， 所以與x＋3y－5＝0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝

13、0. 思維升華　正方形的四條邊兩兩平行和垂直，設(shè)平行直線系和垂直直線系可以較方便地解決，解題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行有效取舍．本題的解法可以推廣到求平行四邊形和矩形各邊所在直線的方程． 運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，需把直線方程化為一般式；運(yùn)用兩平行線的距離公式時(shí)，需先把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式． 　已知點(diǎn)P(2，－1)． (1)求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程； (2)求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，并求出最大距離． (3)是否存在過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)過(guò)P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，

14、－1)，可見(jiàn)，過(guò)P(2，－1)垂直于x軸的直線滿足條件． 此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2. 若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0. 由已知，得＝2，解之得k＝. 此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0. 綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0. (2)作圖可證過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過(guò)P點(diǎn)且與PO垂直的直線， 由l⊥OP，得klkOP＝－1. 所以kl＝－＝2. 由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0， 即直線2x－y－5＝0是過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為＝. (3)由(2)

15、可知，過(guò)P點(diǎn)不存在到原點(diǎn)距離超過(guò)的直線，因此不存在過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線． 題型四　對(duì)稱問(wèn)題 例4　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程； (3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程． 思維啟迪　解決對(duì)稱問(wèn)題，不管是軸對(duì)稱還是中心對(duì)稱，一般都要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)之間的對(duì)稱問(wèn)題． 解　(1)設(shè)A′(x，y)，再由已知. 解得∴A′(－，)． (2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)， 則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m′上． 設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′

16、(a，b)，則 解得M′(，)． 設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由 得N(4,3)． 又∵m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)， ∴由兩點(diǎn)式得直線方程為9x－46y＋102＝0. (3)設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)， 則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)， ∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0. 思維升華　解決成中心對(duì)稱問(wèn)題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對(duì)稱問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題，在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上，即抓住“垂直平分”，由垂直

17、列一方程，由平分列一方程，聯(lián)立求解． 　光線沿直線l1：x－2y＋5＝0射入，遇直線l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光線所在的直線方程． 解　方法一　由 得 ∴反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1,2)． 又取直線x－2y＋5＝0上一點(diǎn)P(－5，0)，設(shè)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′(x0，y0)，由PP′⊥l 可知，kPP′＝－＝. 而PP′的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為， Q點(diǎn)在l上，∴3－2＋7＝0. 由得 根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x－2y＋33＝0. 方法二　設(shè)直線x－2y＋5＝0上任意一點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x，y)，則＝－， 又PP′

18、的中點(diǎn)Q在l上， ∴3－2＋7＝0， 由 可得P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為 x0＝，y0＝， 代入方程x－2y＋5＝0中，化簡(jiǎn)得29x－2y＋33＝0， ∴所求反射光線所在的直線方程為29x－2y＋33＝0.  轉(zhuǎn)化與化歸思想在對(duì)稱問(wèn)題中的應(yīng)用 典例：(14分)已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點(diǎn)A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直線l上求一點(diǎn)P，使||PB|－|PA||最大． 思維啟迪　處理此類解析幾何最值問(wèn)題時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算． 規(guī)范解答 解　(1)設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A′(m，

19、n)， 則， 解得，故A′(－2,8)． [3分] P為直線l上的一點(diǎn)， 則|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 當(dāng)且僅當(dāng)B，P，A′三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PB|取得最小值， 為|A′B|，點(diǎn)P即是直線A′B與直線l的交點(diǎn)， [6分] 解得， 故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,3)． [8分] (2)A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，P是直線l上的一點(diǎn)， 則||PB|－|PA||≤|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)， ||PB|－|PA||取得最大值，為|AB|，點(diǎn)P即是直線AB與直線l的交點(diǎn)， [11分]

20、又直線AB的方程為y＝x－2， 解得， 故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,10)． [14分] 溫馨提醒　在直線l上找一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和最小，則點(diǎn)P必在線段AB′上，故將l同側(cè)的點(diǎn)利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為異側(cè)的點(diǎn)；若點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之差最大，則點(diǎn)P必在AB′的延長(zhǎng)線、或BA′的延長(zhǎng)線上，故將l異側(cè)的點(diǎn)利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為同側(cè)的點(diǎn)(A′，B′為點(diǎn)A，B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)). 方法與技巧 1． 兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合．對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1、l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1k2＝－1.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的

21、斜率一定要特別注意． 2． 對(duì)稱問(wèn)題一般是將線與線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱．利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法． 失誤與防范 1． 在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無(wú)斜率，要單獨(dú)考慮． 2． 在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d＝時(shí)，一定要注意將兩方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． (2012浙江)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必

22、要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若直線l1與l2平行，則a(a＋1)－21＝0， 即a＝－2或a＝1， 所以“a＝1”是“直線l1與直線l2平行”的充分不必要條件． 2． 從點(diǎn)(2,3)射出的光線沿與向量a＝(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為 (　　) A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0 答案　A 解析　由直線與向量a＝(8,4)平行知：過(guò)點(diǎn)(2,3)的直線的斜率k＝，所以直線的方程為y－3＝(x

23、－2)，其與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，又點(diǎn)(2,3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－2,3)，所以反射光線過(guò)點(diǎn)(－2,3)與(0,2)，由兩點(diǎn)式知A正確． 3． 已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(－2，2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為(　　) A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0 C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0 D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0 答案　D 解析　設(shè)所求直線方程為y－4＝k(x－3)， 即kx－y＋4－3k＝0， 由已知，得＝， ∴k＝2或k＝－. ∴所求直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0. 4． 設(shè)

24、a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線xsin A＋ay＋c＝0與bx－ysin B＋sin C＝0的位置關(guān)系是 (　　) A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 答案　C 解析　由＝，得bsin A－asin B＝0. ∴兩直線垂直． 5． 如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反 射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光 線所經(jīng)過(guò)的路程是 (　　) A．2 B．6 C．3 D．2 答案　A 解析　由題意知點(diǎn)P

25、關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2)，關(guān)于y軸的 對(duì)稱點(diǎn)為C(－2,0)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程PMN的長(zhǎng)為|CD|＝2. 二、填空題 6． 已知直線l1：ax＋3y－1＝0與直線l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直， 則實(shí)數(shù)a＝________. 答案　 解析　由兩直線垂直的條件得2a＋3(a－1)＝0， 解得a＝. 7． 若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長(zhǎng)為2，則m的傾斜角可以是 ①15?、?0　③45?、?0?、?5 其中正確答案的序號(hào)是________． 答案?、佗? 解析　兩直線x－y＋1＝0與x－y＋3＝0之間的距離為＝，又

26、動(dòng)直線l1與l2所截得的線段長(zhǎng)為2，故動(dòng)直線與兩直線的夾角應(yīng)為30，因此只有①⑤適合． 8． 將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝________. 答案　 解析　由題意可知紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，于是， 解得，故m＋n＝. 三、解答題 9． 若直線l過(guò)點(diǎn)A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)，且|AB|＝5，求直線l的方程． 解　過(guò)點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1. 解方程組， 求得B點(diǎn)坐標(biāo)為

27、(1,4)，此時(shí)|AB|＝5， 即x＝1為所求． 設(shè)過(guò)A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)， 解方程組， 得兩直線交點(diǎn)為. (k≠－2，否則與已知直線平行)． 則B點(diǎn)坐標(biāo)為(，)． 由已知(－1)2＋(＋1)2＝52， 解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)， 即3x＋4y＋1＝0. 綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0. 10．已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程． 解　依題意知：kAC＝－2，A(5,1)， ∴l(xiāng)AC為2x＋

28、y－11＝0， 聯(lián)立lAC、lCM得∴C(4,3)． 設(shè)B(x0，y0)，AB的中點(diǎn)M為(，)， 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0， ∴∴B(－1，－3)， ∴kBC＝，∴直線BC的方程為y－3＝(x－4)， 即6x－5y－9＝0. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘) 1． (2013天津)已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a等于 (　　) A．－ B．1 C．2 D. 答案　C 解析　圓心為O(1,0)， 由于P(2,2)在圓(x－1)2＋y2＝5上

29、， ∴P為切點(diǎn)，OP與P點(diǎn)處的切線垂直． ∴kOP＝＝2， 又點(diǎn)P處的切線與直線ax－y＋1＝0垂直． ∴a＝kOP＝2，選C. 2． 已知直線l1：y＝xsin α和直線l2：y＝2x＋c，則直線l1與l2 (　　) A．通過(guò)平移可以重合 B．可能垂直 C．可能與x軸圍成等腰直角三角形 D．通過(guò)繞l1上某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以重合 答案　D 解析　l1的斜率sin α∈[－1,1]，l2的斜率為2，積可能為－1，即兩直線可能垂直，斜率不可能相等，所以必相交，l1繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可與l2重合． 3． 如圖，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A是l1，l2之間的定點(diǎn)，點(diǎn)A到l1，l2之間

30、的距離分別為3和2，點(diǎn)B是l2上的一動(dòng)點(diǎn)，作AC⊥AB，且AC與l1 交于點(diǎn)C，則△ABC的面積的最小值為_(kāi)_______． 答案　6 解析　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于l1的直線為x軸，建立如圖所示的直 角坐標(biāo)系，設(shè)B(a，－2)，C(b,3)． ∵AC⊥AB，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝. Rt△ABC的面積S＝ ＝＝ ≥＝6. 4． 點(diǎn)P(2,1)到直線l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距離是________． 答案　2 解析　直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(0，－3)，如圖所示． 由圖知，當(dāng)PQ⊥l時(shí)，點(diǎn)P(2,1)到直線l的距離取得最大值|PQ|＝ ＝2， 所以點(diǎn)P(2

31、,1)到直線l的最大距離為2. 5． (2013四川)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 答案　(2,4) 解析　設(shè)平面上任一點(diǎn)M，因?yàn)閨MA|＋|MC|≥|AC|，當(dāng)且僅當(dāng)A，M，C共線時(shí)取等號(hào)， 同理|MB|＋|MD|≥|BD|，當(dāng)且僅當(dāng)B，M，D共線時(shí)取等號(hào)，連接AC，BD交于一點(diǎn)M， 若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，則點(diǎn)M為所求． 又kAC＝＝2， ∴直線AC的方程為y－2＝2(x－1)， 即2x－y＝0. ① 又kBD＝＝－1， ∴

32、直線BD的方程為y－5＝－(x－1)， 即x＋y－6＝0. ② 由①②得∴∴M(2,4)． 6． 如圖，函數(shù)f(x)＝x＋的定義域?yàn)?0，＋∞)．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù) 圖象上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作直線y＝x和y軸的垂線，垂足 分別為M，N. (1)證明：|PM||PN|為定值； (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值． (1)證明　設(shè)P (x0>0)． 則|PN|＝x0，|PM|＝＝，因此|PM||PN|＝1. (2)解　直線PM的方程為y－x0－＝－(x－x0)， 即y＝－x＋2x0＋. 解方程組得x＝y(tǒng)＝x0＋， S四邊形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝|PN||ON|＋|PM||OM| ＝x0＋＝＋≥1＋， 當(dāng)且僅當(dāng)x0＝，即x0＝1時(shí)等號(hào)成立， 因此四邊形OMPN面積的最小值為1＋.