高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第八章】立體幾何 平面解析幾何

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1、 精品資料 壓軸題目突破練——平面解析幾何 A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． 已知兩條直線l1：y＝x，l2：ax－y＝0，其中a為實數(shù)，當(dāng)這兩條直線的夾角在內(nèi)變動時，a的取值范圍是 (　　) A．(0,1) B. C.∪(1，) D．(1，) 答案　C 解析　直線l1的傾斜角為，依題意l2的傾斜角的取值范圍為∪，即∪，從而l2的斜率a的取值范圍為∪(1，)． 2． 若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，

2、則半徑r的取值范圍是 (　　) A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6] 答案　A 解析　因為圓心(3，－5)到直線4x－3y－2＝0的距離為＝5， 所以當(dāng)半徑r＝4時，圓上有1個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，當(dāng)半徑r＝6時，圓上有3個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1， 所以圓上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1時，4<r<6. 3． 已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)與拋物線y2＝8x有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若|PF|＝5，則雙曲線的漸近線

3、方程為 (　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　A 解析　設(shè)點P(x0，y0)．依題意得，焦點F(2,0)， 于是有x0＝3，y＝24； 由此解得a2＝1，b2＝3， 因此該雙曲線的漸近線方程是y＝±x＝±x. 4． 已知拋物線y2＝8x的焦點F到雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)漸近線的距離為，點P是拋物線y2＝8x上的一動點，P到雙曲線C的上焦點F1(0，c)的距離與到直線x＝－2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為 (　

4、　) A.－＝1 B．y2－＝1 C.－x2＝1 D.－＝1 答案　C 解析　由題意得，拋物線y2＝8x的焦點F(2,0)， 雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程為ax－by＝0， ∵拋物線y2＝8x的焦點F到雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)漸近線的距離為， ∴＝，∴a＝2b. ∵P到雙曲線C的上焦點F1(0，c)的距離與到直線x＝－2的距離之和的最小值為3， ∴|FF1|＝3，∴c2＋4＝9，∴c＝， ∵c2＝a2＋b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1. ∴雙曲線的方程為－x2＝1，故選C. 5． 已知橢圓E

5、的左、右焦點分別為F1、F2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點，若△PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF1F2＝2，∴＝2， 又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝，|PF2|＝. 根據(jù)勾股定理得2＋2＝(2c)2， 所以離心率e＝＝. 二、填空題 6． 如果＋＝－1表示焦點在y軸上的雙曲線，那么它的半焦距c的取值范圍是________． 答案　(1，＋∞) 解析　將原方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 由題意知k－1>0且k

6、－2>0，解得k>2. 又a2＝k－1，b2＝k－2，所以c2＝a2＋b2＝2k－3>1， 所以c>1，故半焦距c的取值范圍是(1，＋∞)． 7． 若點(3,1)是拋物線y2＝2px一條弦的中點，且這條弦所在直線的斜率為2，則p＝________. 答案　2 解析　設(shè)弦兩端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 則，兩式相減得，＝＝2. 又∵y1＋y2＝2，∴p＝2. 8． 已知拋物線x2＝4y的焦點為F，經(jīng)過F的直線與拋物線相交于A，B兩點，則以AB為直徑的圓在x軸上所截得的弦長的最小值是________． 答案　2 解析　由拋物線定義得以A

7、B為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦長的解析式，再求弦長的最小值．設(shè)以AB為直徑的圓的半徑為r，則|AB|＝2r≥4，r≥2，且圓心到x軸的距離是r－1，所以在x軸上所截得的弦長為2＝2≥2，即弦長的最小值是2. 三、解答題 9． 已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，一個長軸頂點為(0,2)，它的兩個短軸頂點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于異于橢圓頂點的兩點A，B，且＝2. (1)求橢圓的方程； (2)求m的取值范圍． 解　(1)由題意，知橢圓的焦點在y軸上， 設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意，知

8、a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，則b＝， 所以橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，知直線l的斜率存在， 設(shè)其方程為y＝kx＋m，與橢圓方程聯(lián)立， 即消去y，得 (2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0， Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0， 由根與系數(shù)的關(guān)系，知 又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)， 所以－x1＝2x2. 則所以＝－22. 整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2， 又9m2－4＝0時等式不成立， 所以k2＝>0，得<m2<4，此時Δ>0. 所以m的

9、取值范圍為∪. 10．已知中心在原點的橢圓C：＋＝1的一個焦點為F1(0,3)，M(x,4)(x>0)為橢圓C上一點，△MOF1的面積為. (1)求橢圓C的方程； (2)是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解　(1)因為橢圓C的一個焦點為F1(0,3)， 所以c＝3，b2＝a2＋9，則橢圓C的方程為＋＝1， 因為x>0，所以S△OMF1＝×3×x＝，解得x＝1. 故點M的坐標(biāo)為(1,4)． 因為點M(1,4)在橢圓上，所以＋＝1， 得

10、a4－8a2－9＝0， 解得a2＝9或a2＝－1(不合題意，舍去)， 則b2＝9＋9＝18，所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，其方程為y＝4x＋m(因為直線OM的斜率k＝4)， 由消去y化簡，得18x2＋8mx＋m2－18＝0. 進(jìn)而得到x1＋x2＝－，x1·x2＝. 因為直線l與橢圓C相交于A，B兩點， 所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)>0， 化簡得m2<162，解得－9<m<9. 因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點， 所以&#

11、183;＝0，所以x1x2＋y1y2＝0. 又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2， x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2 ＝－＋m2＝0. 解得m＝±.由于±∈(－9，9)， 所以符合題意的直線l存在，且所求的直線l的方程為 y＝4x＋或y＝4x－. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘) 1． 由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為 (　　) A．1 B．2 C. D．3 答案　C 解析　如圖所示， 設(shè)直線上一點P， 切點為

12、Q，圓心為M，則|PQ|即為切線長， MQ為圓M的半徑，長度為1， |PQ|＝＝， 要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值， 此題轉(zhuǎn)化為求直線y＝x＋1上的點到圓心M的最小距離， 設(shè)圓心到直線y＝x＋1的距離為d， 則d＝＝2.所以|PM|的最小值為2. 所以|PQ|＝≥＝. 2． 在拋物線y＝x2＋ax－5(a≠0)上取橫坐標(biāo)為x1＝－4，x2＝2的兩點，過這兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓5x2＋5y2＝36相切，則拋物線頂點的坐標(biāo)為 (　　) A．(－2，－9) B．(0，－5) C．(2，－9)

13、 D．(1，－6) 答案　A 解析　當(dāng)x1＝－4時，y1＝11－4a；當(dāng)x2＝2時，y2＝2a－1，所以割線的斜率k＝＝a－2.設(shè)直線與拋物線的切點橫坐標(biāo)為x0，由y′＝2x＋a得切線斜率為2x0＋a，∴2x0＋a＝a－2，∴x0＝－1. ∴直線與拋物線的切點坐標(biāo)為(－1，－a－4)，切線方程為y＋a＋4＝(a－2)(x＋1)，即(a－2)x－y－6＝0. 圓5x2＋5y2＝36的圓心到切線的距離d＝.由題意得＝，即(a－2)2＋1＝5.又a≠0， ∴a＝4，此時，y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9， 頂點坐標(biāo)為(－2，－9)． 3． 過橢圓＋＝1(a>b>0)的

14、左頂點A且斜率為1的直線與橢圓的另一個交點為M，與y軸的交點為B，若|AM|＝|MB|，則該橢圓的離心率為________． 答案　 解析　由題意知A點的坐標(biāo)為(－a,0)， 設(shè)直線的方程為y＝x＋a， ∴B點的坐標(biāo)為(0，a)，故M點的坐標(biāo)為， 代入橢圓方程得a2＝3b2，∴2a2＝3c2，∴e＝. 4． 設(shè)拋物線y2＝2x的焦點為F，過F的直線交該拋物線于A，B兩點，則|AF|＋4|BF|的最小值為________． 答案　 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由拋物線定義可得|AF|＋4|BF|＝x1＋＋4＝x1＋＋4＝x1＋4x2＋，設(shè)直線AB的方程為ky＝x

15、－，聯(lián)立拋物線方程得方程組消元整理得y2－2ky－1＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y2＝－1，又A，B在拋物線上，代入方程得yy＝2x1·2x2＝4x1x2＝1，即x1x2＝，因此根據(jù)基本不等式|AF|＋4|BF|＝x1＋4x2＋≥2＋＝2＋＝，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝4x2時取得最小值. 5． 已知拋物線C的方程為y2＝px(p>0)，直線l：x＋y＝m與x軸的交點在拋物線C準(zhǔn)線的右側(cè)． (1)求證：直線l與拋物線C恒有兩個不同交點； (2)已知定點A(1,0)，若直線l與拋物線的交點為Q，R，滿足·＝0，是否存在實數(shù)m，使得原點O到直線l的距離不大于，若存在，求出正實

16、數(shù)p的取值范圍；若不存在，請說明理由． (1)證明　由題意知m>－，聯(lián)立， 消去x可得y2＋py－pm＝0.(*) ∵p>0且m>－，∴Δ＝p2＋4pm>0. ∴直線與拋物線C恒有兩個不同的交點． (2)解　設(shè)點Q(x1，y1)，R(x2，y2)，由(*)可得 y1＋y2＝－p， y1y2＝－pm. 故·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2) ＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝(m－1－y1)(m－1－y2)＋y1y2 ＝2y1y2＋(1－m)(y1＋y2)＋(m－1)2 ＝－p(m＋1)＋(m－1)2＝0. 由題意知m＋1>0， ∴p＝＝m＋1＋－4. 又由原點O到直線l的距離不大于，則有≤， ∴－≤m≤. 由(1)有m>－，即m>－·， 結(jié)合－≤m≤， 化簡該不等式得5m2＋2m＋1>0，恒成立， ∴－≤m≤. 令t＝m＋1，則t∈. 而函數(shù)p＝t＋－4在上單調(diào)遞減， ∴≤p≤. ∴存在m且－≤m≤，實數(shù)p的取值范圍為.