全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)（初1）第01講 有理數(shù)的巧算[共6頁(yè)]

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1、 第一講 有理數(shù)的巧算 有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)．它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算．不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問題，從而提高運(yùn)算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性． 　　1．括號(hào)的使用　　 　　在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問題變得較簡(jiǎn)單． 　　例1 計(jì)算： 　　　　 　　分析 中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負(fù)數(shù)的引入，符號(hào)“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運(yùn)算符號(hào)，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)

2、符號(hào)．因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則，尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化． 　　　 　　　 注意 在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于計(jì)算． 　　例2 計(jì)算下式的值： 　　211555+445789+555789+211445． 　　分析 直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡(jiǎn)單．本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來計(jì)算． 　　解 原式=(211555+211445)+(445789+555789) 　　　　 　=211(555+445)+(445+555)789 　　　　 　=21

3、11000+1000789 　　　　 　=1000(211+789) 　　　　 　=1 000 000． 說明 加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧． 　　例3 計(jì)算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1n． 　　分析 不難看出這個(gè)算式的規(guī)律是任何相鄰兩項(xiàng)之和或?yàn)椤?”或?yàn)椤?1”．如果按照將第一、第二項(xiàng)，第三、第四項(xiàng)，…，分別配對(duì)的方式計(jì)算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號(hào)”的習(xí)慣，而取“添括號(hào)”之法． 　　解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1n． 　　下面需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論： 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，上式是n／2個(gè)(-1)的

4、和，所以有 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，上式是(n-1)／2個(gè)(-1)的和，再加上最后一項(xiàng)(-1)n+1n=n，所以有 　　例4 在數(shù)1，2，3，…，1998前添符號(hào)“+”和“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？ 　　分析與解 因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符號(hào)“+”或“-”，不會(huì)改變和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有19982個(gè)奇數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于1． 　　現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號(hào)“+”或“-”，顯然

5、n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．這啟發(fā)我們將1，2，3，…，1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號(hào)，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 　　所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1． 說明 本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化． 　　2．用字母表示數(shù) 　　我們先來計(jì)算(100+2)(100-2)的值： (100+2)(100-2)=100100-2100+2100-4=1002-22． 　　這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運(yùn)算

6、過程變?yōu)? (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2． 　　于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， ① 　　這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過程，可直接利用該公式計(jì)算． 　　例5 計(jì)算 30012999的值． 解 30012999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999． 　例6 計(jì)算 1039710 009的值． 解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919． 　　例7 計(jì)算

7、： 　　分析與解 直接計(jì)算繁．仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347．可設(shè)字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)．應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1， 即原式分母的值是1，所以原式=24 690． 　　例8 計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)． 　　分析 式子中2，22，24，…每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(gè)(2-1)，就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了．

8、　　解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) 　　 　　　=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) 　　　　　 =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…… 　　　　 　=(232-1)(232+1) =264-1． 　　例9 計(jì)算： 　　分析 在前面的例題中，應(yīng)用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2． 　　這個(gè)公式也可以反著使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)． 　　本題就是一個(gè)例子． 　　 　　 　　通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我

9、們的計(jì)算帶來很大的益處．下面再看一個(gè)例題，從中可以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡(jiǎn)化． 　　例10 計(jì)算： 　　 　　　 我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算． 　　　 3．觀察算式找規(guī)律 例11 某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦?，?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分． 　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88． 　　分析與解 若直接把20個(gè)數(shù)加起來，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20個(gè)數(shù)與90的差

10、，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算．所以總分為 　　9020+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3) 　　　　+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1) 　　　　+2+5+(-2) 　　=1800-1=1799， 平均分為 90+(-1)20=89.95． 　　例12 計(jì)算1+3+5+7+…+1997+1999的值． 　　分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000，于是可有如下解法． 　　解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+…+1997+1999．

11、① 　　再將S各項(xiàng)倒過來寫為 S=1999+1997+1995+…+3+1． ② 　　將①，②兩式左右分別相加，得 　　2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1) 　　　=2000+2000+…+2000+2000(500個(gè)2000) =2000500． 從而有 S=500 000． 說明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決． 　　例13 計(jì)算 1+5+52+53+…+599+510

12、0的值． 　　分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍．如果將和式各項(xiàng)都乘以5，所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì)算． 　　解 設(shè) S=1+5+52+…+599+5100， ① 　　所以 5S=5+52+53+…+5100+5101． ② 　　②—①得 4S=5101-1， 　　　　　　　 說明 如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯(cuò)位相減”法來解決． 　　例14 計(jì)算： 　　　　　　　　　　　　 　　分析 一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分．本

13、題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個(gè)關(guān)系式 來把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法． 　　解 由于 　　　 　　所以 　　　　 說明 本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用． 練習(xí)一 　　1．計(jì)算下列各式的值： (1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999； (2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100； (3)19911999-19902000； (4)4726342+472 6352-472 633472 635-472 634472 636； 　 (6)1+4+7+…+244； 　 　　2．某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?，試?jì)算他們的平均分． 　　81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．