2020高中數(shù)學(xué) 3.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義練習(xí) 北師大版選修11

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1、 北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 3.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．如果函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(3,4)處的切線與直線2x＋y＋1＝0平行，則f′(3)等于(　　) A．2 B．－ C．－2 D． [答案]　C [解析]　∵切線的斜率為－2，∴f′(3)＝－2，故選C. 2．如果曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么(　　) A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＜0 C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在 [答案]　B [解析]　由導(dǎo)數(shù)的幾何意

2、義可知f ′(x0)＝－<0，故選B. 3．曲線y＝x3－2在點(diǎn)(－1，－)處切線的傾斜角為(　　) A．30° B．45° C．135° D．60° [答案]　B [解析]　Δy＝(－1＋Δx)3－×(－1)3＝Δx－(Δx)2＋(Δx)3，＝1－Δx＋(Δx)2， ＝ (1－Δx＋(Δx)2)＝1， ∴曲線y＝x3－2在點(diǎn)處切線的斜率是1，傾斜角為45°. 4．函數(shù)y＝x＋在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是(　　) A．2 B． C．1 D．0 [答案]　D [解析]　Δy＝(Δx＋1)＋－1－1＝Δx＋， ＝1

3、－， ＝ ＝1－1＝0， ∴函數(shù)y＝x＋在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為0. 5．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則(　　) A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1 [答案]　A [解析]　由已知點(diǎn)(0，b)是切點(diǎn)． Δy＝(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－b ＝(Δx)2＋aΔx， ∴＝Δx＋a，y′|x＝0＝ ＝a. ∵切線x－y＋1＝0的斜率為1，∴a＝1. 又切點(diǎn)(0，b)在切線上，∴b＝1. 6．如果某物體做運(yùn)動(dòng)方程為s＝2(1－t2)的直線運(yùn)動(dòng)(s的單位為m，t的單位為s)，那么其在

4、1.2s末的瞬時(shí)速度為(　　) A．－4.8m/s B．－0.88m/s C．0.88m/s D．4.8m/s [答案]　A [解析]?。? ＝－4.8－2Δt， 當(dāng)Δt趨于0時(shí)，趨于－4.8，故物體在t＝1.2s末的瞬時(shí)速度為－4.8m/s. 二、填空題 7．已知函數(shù)f(x)＝x3＋2，則f ′(2)＝________. [答案]　12 [解析]　f ′(2)＝ ＝ ＝[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4] ＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12. 8．若拋物線y＝x2與直線2x＋y＋m＝0相切，則m＝________. [答案]　1 [解析]　設(shè)切點(diǎn)為P

5、(x0，y0)，易知，y′|x＝x0＝2x0. 由，得，即P(－1,1)， 又P(－1,1)在直線2x＋y＋m＝0上， 故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1. 三、解答題 9．直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：y＝x3－x2＋1相切． (1)求切點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求a的值． [答案]　(1)或(1,1)　(2) [解析]　(1)設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)． f ′(x)＝ ＝ ＝3x2－2x. 由題意知，k＝1，即3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1. 于是切點(diǎn)的坐標(biāo)為或(1,1)． (2)當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，＝－＋a，∴a＝； 當(dāng)切

6、點(diǎn)為(1,1)時(shí)，1＝1＋a，∴a＝0(舍去)． ∴a的值為，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)． 10．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)求函數(shù)y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)； (2)求y＝x2＋ax＋b(a，b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)． [答案]　(1)y′|x＝1＝　(2)y′＝2x＋a [解析]　(1)解法一：(導(dǎo)數(shù)定義法)：Δy＝－1， ＝＝. ＝＝，∴y′|x＝1＝. 解法二：(導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法)：Δy＝－， ＝＝. ∴ ＝ ＝. ∴y′＝，∴y′|x＝1＝. (2)y′＝ ＝ ＝ ＝ (2x＋a＋Δx) ＝2x＋a. 一、選擇題 1．曲線y＝x2－2在點(diǎn)(1，－)處切線的傾斜角為

7、(　　) A．1 B． C.π D．－ [答案]　B [解析]　由導(dǎo)數(shù)的定義可知f′(x)＝x， 所以f′(1)＝1＝tanθ，故θ＝. 2．已知直線ax－by－2＝0與曲線y＝x3在點(diǎn)P(1,1)處的切線互相垂直，則的值為(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　D [解析]　由導(dǎo)數(shù)的定義可得y′＝3x2， ∴y＝x3在點(diǎn)P(1,1)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝3， 由條件知，3×＝－1，∴＝－. 3．已知函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖，f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(　　) A．0>f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA

8、)<f′(xB)<0 C．f′(xA)＝f′(xB) D．f′(xA)>f′(xB)>0 [答案]　B [解析]　f′(xA)和f′(xB)分別表示函數(shù)圖像在點(diǎn)A，B處的切線斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0. 4．曲線y＝x3－2x＋1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為(　　) A．y＝x－1 B．y＝－x＋1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2 [答案]　A [解析]　 ∵f′(x)＝ ＝ ＝ ((Δx)2＋3x·Δx＋3x2－2) ＝3x2－2， ∴f′(1)＝3－2＝1， ∴切線的方程為y＝x－1. 二、填

9、空題 5．函數(shù)y＝f(x)的圖像在點(diǎn)P(5，f(5))處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f ′(5)＝________. [答案]　2 [解析]　由條件知，f(5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f(5)＋f ′(5)＝2. 6．如圖，函數(shù)f(x)的圖像是折線段ABC，其中A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,4)、(2,0)、(6,4)，則f[f(0)]＝__________； ＝________.(用數(shù)字作答) [答案]　2?。? [解析]　考查函數(shù)的基本概念、圖像與導(dǎo)數(shù)的定義． 易知f(x)＝， ∴f(0)＝4，f[f(0)]＝f(4)＝2(也可直接由圖示得知)

10、 由導(dǎo)數(shù)的定義知 ＝f′(1)＝－2. 三、解答題 7．已知曲線C：y＝經(jīng)過點(diǎn)P(2，－1)，求 (1)曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率． (2)曲線在點(diǎn)P處的切線的方程． (3)過點(diǎn)O(0,0)的曲線C的切線方程． [答案]　(1)1　(2)x－y－3＝0　(3)y＝4x [解析]　(1)將P(2，－1)代入y＝中得t＝1， ∴y＝. ∴＝＝ ＝， ∴ ＝， ∴曲線在點(diǎn)P處切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝2＝＝1. (2)曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0. (3)∵點(diǎn)O(0,0)不在曲線C上，設(shè)過點(diǎn)O的曲線C的切線與曲線C相切于點(diǎn)M(

11、x0，y0)，則切線斜率k＝＝， 由于y0＝，∴x0＝，∴切點(diǎn)M(，2)，切線斜率k＝4，切線方程為y－2＝4(x－)，即y＝4x. 8．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2. (1)求直線l2的方程； (2)求由直線l1、l2和x軸圍成的三角形的面積 [答案]　(1)y＝－x－　(2) [解析]　(1)y′＝ ＝ ＝ (2x＋Δx＋1)＝2x＋1. ∴f′(1)＝2×1＋1＝3， ∴直線l1的方程為y＝3(x－1)，即y＝3x－3. 設(shè)直線l2過曲線y＝x2＋x－2上的點(diǎn)B(b，b2＋b－2)， 則l2的方程為y＝(2b＋1)x－b2－2. ∵l1⊥l2，則有2b＋1＝－，b＝－. ∴直線l2的方程為y＝－x－. (2)解方程組，得. 故直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)． l1，l2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0)、(－，0)． 所以所求三角形的面積S＝××|－|＝.