高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;4 第1課時 平面向量的坐標表示 平面向量線性運算的坐標表示 Word版含答案

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1、 第 1 課時 平面向量的坐標表示 平面向量線性運算的坐標表示 核心必知 1平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系中，如圖，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i i，j j作為基底，a a為坐標平面內(nèi)的任意向量，以坐標原點O為起點作OPa a.由平面向量基本定理可知 ，有且只有一對實數(shù)x，y，使得OPxi iyj j，因此a axi iyj j.把實數(shù)對(x，y)叫作向量a a的坐標，記作a a(x，y) 2平面向量線性運算的坐標表示 已知a a(x1，y1)，b b(x2，y2) 運算 坐標表示 語言敘述 加法 a ab b(x1x2，y1y2) 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐

2、標的和 減法 a ab b(x1x2，y1y2) 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的差 數(shù)乘 a a(x1，y1) 實數(shù)與向量積的坐標分別等于實數(shù)與向量的相應(yīng)坐標的乘積 3向量AB的坐標表示 設(shè)定點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB(x2x1，y2y1)， 即：一個向量的坐標等于其終點的相應(yīng)坐標減去始點的相應(yīng)坐標 問題思考 1相等向量的坐標相同，對嗎？ 提示：正確相等向量經(jīng)過平移可以具有共同的始點O(O為坐標原點)，這時其終點相同，而終點的坐標即是這些向量的坐標，所以正確 2向量的坐標與點的坐標有何區(qū)別？ 提示：平面向量的坐標與該向量的始點、終點的坐標都有關(guān)，它的坐標等于終點

3、坐標減去始點坐標， 只有始點在原點時， 向量的坐標才與終點坐標相等 當實數(shù)對(x，y)表示點時可記為P(x，y)，表示向量時可記為a a(x，y) 3若i i，j j分別是與x軸，y軸同方向的單位向量，則i i，j j的坐標分別是什么？ 提示：根據(jù)平面向量的坐標定義，i i(1，0)，j j(0，1) 講一講 1如圖所示，試分別用基底i i，j j表示向量a a，b b，c c，d d，并求出它們的坐標 嘗試解答 由圖可知， a a2i i3j j，a a(2,3)， 同理，b b2i i3j j，b b(2,3) c c3i i0j j，c c(3,0) d d3i i2j j，d d(3，

4、2) 1求向量的坐標的一般方法： (1)利用平行四邊形(或三角形)法則，將向量用基底i i，j j(i i，j j分別是與x，y軸同方向的單位向量)表示，然后確定其坐標 (2)求起點和終點的坐標，并用終點的坐標減去起點的相應(yīng)坐標 2向量的坐標表示是給出向量的又一種形式，它的坐標只與始點、終點的相對位置有關(guān)，三者中給出任意兩個，都可以求出第三個 練一練 1已知O是坐標原點，點A，B在第一象限，4 3，xOAyOB30，求向量的坐標 解： 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1y2|OA|cos 306， y1x2|OA|sin 302 3. A(6,2 3)，B(2 3，6) OA(6,

5、2 3)， AB(2 3，6)(6,2 3)(62 3，62 3) 講一講 2 已 知A( 2,4) ，B(3 ， 1) ，C( 3 ， 4) 設(shè)OAa a， (1)求 3a ab b3c c的坐標； (2)求滿足a amb bnc c的實數(shù)m，n； (3)求M、N的坐標及向量MN的坐標 嘗試解答 由已知得a a(5，5)，b b(6，3)，c c(1，8) (1)3a ab b3c c3(5，5)(6，3)3(1，8) (1563，15324)(6，42) (2)mb bnc c(6mn，3m8n)(5，5)， 6mn5，3m8n5，解得m1，n1. 1向量線性運算的坐標表示實際上是相應(yīng)坐標

6、的加、減、乘、除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵 2用坐標表示的向量，線性運算后的結(jié)果仍用坐標表示 3解題過程中要注意方程思想的運用 練一練 2(1)已知a a(2，1)，b b(3，4)， 求：3a a4b b；a a3b b；12a a14b b. (2)已知點A、B、C的坐標分別為A(2， 4)、B(0,6)、C(8， 10)， 求向量的坐標； 解：(1)3a a4b b3(2，1)4(3，4) (6，3)(12，16)(6，19) a a3b b(2，1)3(3，4) (2，1)(9，12)(11，11) 12a a14b b12(2，1)14(3，4) 1，1234，1 74，

7、12. (2)由A(2，4)，B(0,6)，C(8,10)， (2,10)2(8,4)12(10,14) (2,10)(16,8)(5,7) (18,18)(5,7)(13,11) 講一講 3. 如圖所示，已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是(2，1)、(1，3)、(3，4)，試求頂點D的坐標 嘗試解答 法一：(待定系數(shù)法) 設(shè)頂點D的坐標為(x，y) (1,3)(2,1)(1,2)， (3x,4y) 由，得(1,2)(3x,4y) 13x，24y， x2，y2. 頂點D的坐標為(2,2) 法二： (直接法) 如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知 (2,1)(1,3)(3,4

8、)(1，3) (1，2)(4,1) (3，1) 而 (1,3)(3，1)(2,2)， 頂點D的坐標為(2,2) 有了向量的坐標表示，就可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決向量用坐標表示，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想借助于向量的坐標表示，向量的線性運算可轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算，其中正確分清向量的坐標與點的坐標的區(qū)別和聯(lián)系是關(guān)鍵，同時還應(yīng)熟練掌握用坐標表示的向量的運算法則 練一練 3多維思考 若把本題條件改為“已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)”，所求問題不變，結(jié)果如何？ 解： 設(shè)點D坐標為(x，y) 若平行四邊形四個頂點的順序為ABCD， 得 11x，42y，解得 x2，y

9、2. 故頂點D的坐標為(2,2) 若平行四邊形四個頂點的順序為ACBD， 解得 x6，y4. 故頂點D的坐標為(6,4) 若平行四邊形四個頂點的順序為ABDC， 解得 x0，y6. 故頂點D的坐標為(0，6) 綜上，頂點D的坐標是(2,2)，(6,4)或(0，6). 已知點A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若 (R R)，試求當點P在第三象限時的取值范圍 錯解 由已知得(52,43)(72,103)(3,1)(5,7)(35，17)，又點P在第三象限， 350，170，35，故的取值范圍為(，35) 錯因 錯解中誤把向量AP的坐標當作P點的坐標，實質(zhì)是對向量的坐標表示的概念理解不清，

10、只有當向量的始點是坐標原點時，向量的坐標才等于終點的坐標 正解 由已知得(52,43)(72,103) (3,1)(5,7)(35，17)， 設(shè)點P(x，y)，則AP(x2，y3)， 于是(x2，y3)(35，17)， 即 x235，y317. 又點P在第三象限，所以 x550，y470.解得0，x2x1(x12)2340. 點A位于第四象限 答案：四 6已知向量a a(2,3)，b b(1,2)，ABma anb b，CDa a2b b，若AB2CD，則m_，n_. 解析：AB(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)； CD(2,3)(2,4)(4，1) AB2CD，即(2mn,3m2

11、n)(8,2) 2mn8，3m2n2，解得 m2，n4. 答案：2 4 7已知a ab b(2，8)，a ab b(8，16)，則a a_， b b_ 解析：聯(lián)立a ab b（2，8） a ab b（8，16） 得 2a a(2，8)(8，16)(6，8) a a(3，4)， 而b b(2，8)a a(2，8)(3，4) (23，84)(5，12) a a(3，4)，b b(5，12) 答案：(3，4) (5，12) 8在ABC中，點P在BC上，且，點Q是AC的中點，若(4,3)，_. 解析：Q是AC的中點， (6,21) 答案：(6,21) 三、解答題 9已知點A(0,2)，B(2,4)及，

12、求點C，D和CD的坐標 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2) ， x11，y121， x26，2y26. 得 x11，y13， x26，y28. C，D的坐標分別為(1,3)，(6,8) CD(6,8)(1,3)(5,5) 10在平行四邊形ABCD中，點A(1,1)，AB(6,0) (1)若AD(3,5)，求點C的坐標； (2)若AC與BD交于一點M(2,2)，求點D的坐標 解：(1)設(shè)點C的坐標為(x0，y0)， 則AC(x01，y01) ACADAB(3,5)(6,0)(9,5)， 即(x01，y01)(9,5)， x019，y015. x010，y06，即點C(10,6) (2)設(shè)D(x，y)，則AD(x1，y1)， 四邊形ABCD是平行四邊形， M為BD的中點， ABAD2AM，又AM(1,1)， 即(x5，y1)(2,2) x3，y3. 故D的坐標為(3,1)