高中數(shù)學(xué)北師大版選修21：第2章 單元綜合檢測(cè)2 Word版含解析

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1、2019版數(shù)學(xué)精品資料（北師大版） 第二章　單元綜合檢測(cè)(二) (時(shí)間120分鐘　　滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于(　　) A． B． C． D． 解析：∵＋＋－＝＋＝. 答案：A 2．若向量a，b是平面α內(nèi)的兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量c在直線l上，則ca＝0且bc＝0是l⊥α的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：用向量的數(shù)量積考查線線垂直與線面垂直．當(dāng)a∥b時(shí)，由ca＝0且cb＝0得不出l⊥α；反之，由l⊥

2、α一定有ca＝0且cb＝0，故選B. 答案：B 3．[2014山東省濟(jì)寧市質(zhì)檢]已知向量a＝(2，－3,5)與b＝(4，x，y)平行，則x，y的值分別為(　　) A．6和－10 B．－6和10 C．－6和－10 D．6和10 解析：本題主要考查空間兩向量平行的坐標(biāo)表示．因?yàn)橄蛄縜＝(2，－3,5)與b＝(4，x，y)平行，所以＝＝，解得x＝－6，y＝10，故選B. 答案：B 4．[2014四川省成都七中期末考試]已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0，－1)，平行于向量a＝(2,1,1)，平面α過(guò)直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面α的法向量不可能是(　　) A．(1，－4,2) B．(

3、，－1，) C．(－，1，－) D．(0，－1,1) 解析：本題主要考查平面的法向量．因?yàn)椋?0,2,4)，直線l平行于向量a，若n是平面α的法向量，則必須滿足，把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有選項(xiàng)D不滿足，故選D. 答案：D 5．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，則向量a＋b與a－b的夾角是(　　) A．90 B．60 C．30 D．0 解析：因?yàn)閨a|＝|b|，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，則(a＋b)⊥(a－b)． 答案：A 6．如右圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A、B、C

4、、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論： ①＋＋＋＝0； ②＋－－＝0； ③－＋－＝0； ④＝； ⑤＝0， 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因?yàn)椋剑?，所以③正確；又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以＝22cos∠ASB，＝22cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是＝，因此④正確，其余三個(gè)都不正確． 答案：B 7．空間四邊形ABCD的各邊及對(duì)角線長(zhǎng)均為1，E是BC的中點(diǎn)，則(　　) A．< B．＝ C．> D．與不能比較大小 解析：如右圖，易證AE⊥BC，故＝0，取BD中點(diǎn)F，連接EF，

5、AF，則EF∥CD.在△AEF中，AE＝AF＝，EF＝，得∠AEF是銳角，所以〈，〉是鈍角，即〈，〉是鈍角，所以<0，故選C. 答案：C 8．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱BB1、B1C1的中點(diǎn)，若∠CMN＝90，則異面直線AD1與DM所成的角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 解析：建立如圖所示坐標(biāo)系．設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則 A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，C(0，a，c)，B1(b，a,0)，D(0,0，c)，N，M. ∵∠CMN＝90，∴⊥， ∴＝ ＝－b2＋c2＝0， ∴c＝b.

6、 ∴＝(－b，0，－b) ＝－b2＋b2＝0， ∴AD1⊥DM，即異面直線AD1與DM所成的角為90. 答案：D 9．[2014陜西省高新一中期末考試]如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，則點(diǎn)B到直線A1C的距離為(　　) A． B． C． D．1 解析：本題主要考查空間點(diǎn)到直線的距離．過(guò)點(diǎn)B作BE垂直A1C，垂足為E，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y，z)，則A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)． 因?yàn)?，所以? 解得，所以＝(－，，)， 所以

7、點(diǎn)B到直線A1C的距離||＝，故選B. 答案：B 10．[2014安徽省合肥一中月考]設(shè)O－ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，則(x，y，z)為(　　) A．(，，) B．(，，) C．(，，) D．(，，) 解析：本題主要考查空間向量的基本定理．因?yàn)镚1是△ABC的重心，所以＝＝(＋)＝(－＋－)＝(＋－2)，因G是OG1上的一點(diǎn)，且OG＝3GG1，所以＝＝(＋)＝＋(＋－2)＝＋(＋－2)＝＋＋，所以x＝y(tǒng)＝z＝，故選A. 答案：A 11．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平

8、面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(　　) A． B． C． D． 解析：以A為原點(diǎn)建系，設(shè)棱長(zhǎng)為1.則A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝(1,0，－)． 設(shè)平面A1ED的法向量為n1＝(1，y，z)， 則∴ ∴n1＝(1,2,2)， ∵平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1)． ∴cos〈n1，n2〉＝＝. 即所成的銳二面角的余弦值為. 答案：B 12．如右圖，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD.則下列結(jié)論中不正確的是(　　) A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA與平面SBD所成的角

9、等于SC與平面SBD所成的角 D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角 解析：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. 又∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC. 其中SD∩BD＝D，∴AC⊥面SDB，從而AC⊥SB.故A正確；易知B正確；設(shè)AC與DB交于O點(diǎn)，連接SO.則SA與平面SBD所成的角為∠ASO，SC與平面SBD所成的角為∠CSO，又OA＝OC，SA＝SC，∴∠ASO＝∠CSO.故C正確；由排除法可知選D. 答案：D 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．[2014清華附中月考]在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，已知A(1，－2,3)、B(2,1，－1

10、)，若直線AB交平面xOz于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：本題主要考查空間直角坐標(biāo)系中，直線與平面相交的交點(diǎn)坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí)．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0，z)，則＝(x－1,2，z－3)，＝(1,3，－4)，因?yàn)榕c共線，所以＝＝，解得，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，0，)． 答案：(，0，) 14．[2014湖南省長(zhǎng)沙一中期末考試]如圖，在三棱錐A－BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC，E為BC中點(diǎn)，則等于________． 解析：本題主要考查求空間兩向量的數(shù)量積．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以＝－＝(＋)－，因?yàn)樵谌忮FA－BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC，

11、所以＝[(＋)－](－)＝(－)＝0. 答案：0 15．如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90，∠BAA1＝∠DAA1＝60，則對(duì)角線AC1的長(zhǎng)度等于________． 解析：＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2＋2＋2 ＝16＋9＋25＋243cos90＋245cos60＋235cos60 ＝50＋20＋15＝85， ∴||＝. 答案： 16．正四棱錐S—ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是__________． 解析：如右圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)

12、系O－xyz. 設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 則A(a,0,0)，B(0，a,0)， C(－a,0,0)，P(0，－，)， 則＝(2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)， 設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n＝(0,1,1)， 則cos〈，n〉＝＝＝， ∴〈，n〉＝60， ∴直線BC與平面PAC所成的角為90－60＝30. 答案：30 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，CM＝2MA，A1N＝2ND，且＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示向量. 解：∵＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－(＋

13、)＋＋(＋) ＝－－＋＋ ＝－a＋b＋c， ∴＝－a＋b＋c. 18．(12分)已知{e1，e2，e3}為空間的一個(gè)基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3. (1)判斷P，A，B，C四點(diǎn)是否共面； (2)能否以{，，}作為空間的一個(gè)基底？若不能，說(shuō)明理由；若能，試以這一基底表示向量. 解：(1)假設(shè)四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，z使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1. 即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)． 比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)，得一關(guān)于x，y，z的方程組 解得

14、 與x＋y＋z＝1矛盾，故四點(diǎn)不共面； (2)若向量，，共面，則存在實(shí)數(shù)m，n使＝m＋n，同(1)可證，這不可能，因此{(lán)，，}可以作為空間的一個(gè)基底，令＝a，＝b，＝c， 由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c聯(lián)立得到方程組： 從中解得 所以＝17－5－30. 19. (12分)[2014陜西高考]四面體ABCD及其三視圖如圖所示，過(guò)棱AB的中點(diǎn)E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點(diǎn)F，G，H. (1)證明：四邊形EFGH是矩形； (2)求直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值． 解：(1)證明：由該四面體的三視圖

15、可知， BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1. 由題設(shè)，BC∥平面EFGH， 平面EFGH∩平面BDC＝FG， 平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形． 又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC， ∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四邊形EFGH是矩形． (2)法一：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， ＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1

16、)． 設(shè)平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)， ∵EF∥AD，F(xiàn)G∥BC， ∴n＝0，n＝0， 得取n＝(1,1,0)， ∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. 法二：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 則D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， ∵E是AB的中點(diǎn)，∴F，G分別為BD，DC的中點(diǎn)， 得E，F(xiàn)(1,0,0)，G(0,1,0)． ∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－2,0,1)． 設(shè)平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)， 則n＝0，n＝0， 得取n＝(1,1,0)， ∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. 20．(

17、12分)如圖，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱DS上的點(diǎn)． (1)求證：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小； (3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由． 解：(1)證明：連接BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，由題意知SO⊥平面ABCD，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高SO＝a. 于是S(0,0，a)，D(－a,0,0)，C(0，a,0)，B(a,0,0)， ＝(0

18、，a,0)， ＝(－a,0，－a)， ＝0.故OC⊥SD，因此AC⊥SD. (2)由題意知，平面PAC的一個(gè)法向量＝(a,0，a)，平面DAC的一個(gè)法向量＝(0,0，a)， 設(shè)所求二面角為θ， 則cosθ＝＝， 故所求二面角P－AC－D的大小為30. (3)在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC. 由(2)知是平面PAC的一個(gè)法向量，且＝(a,0，a)， ＝(0，－a，a)， ＝(－a，a,0)，設(shè)＝t， 則＝＋＝＋t ＝(－a，a(1－t)，at)． 由＝0，得t＝， 即當(dāng)SE∶EC＝2∶1時(shí)，⊥. 而B(niǎo)E不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC. 21．(12分

19、)如右圖所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCD—A′B′C′D′的對(duì)角線BD′上，∠PDA＝60. (1)求DP與CC′所成角的大小； (2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小． 解：(1)如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD′分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)DA＝1. 則＝(1,0,0)，′＝(0,0,1)． 連接BD，B′D′. 在平面BB′D′D中， 延長(zhǎng)DP交B′D′于H. 設(shè)＝(m，m,1)(m>0)， 由已知〈，〉＝60 ， 由＝||||cos〈，〉， 可得2m＝. 解得m＝，所以＝(，，1)． 因?yàn)閏os〈，′〉 ＝＝，

20、所以〈，〉＝45， 即DP與CC′所成的角為45. (2)平面AA′D′D的一個(gè)法向量是＝(0,1,0)， 因?yàn)閏os〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60， 可得DP與平面AA′D′D所成的角為30. 22．(12分)如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45. (1)求證：平面PAB⊥平面PAD； (2)設(shè)AB＝AP. ①若直線PB與平面PCD所成的角為30，求線段AB的長(zhǎng)； ②在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說(shuō)明理由． 解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，

21、AB?平面ABCD，所以PA⊥AB. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系(如右圖)． 在平面ABCD內(nèi)，作CE∥AB交AD于點(diǎn)E，則CE⊥AD. 在Rt△CDE中， DE＝CDcos45＝1. CE＝CDsin45＝1.設(shè)AB＝AP＝t，則B(t,0,0)，P(0,0，t)． 由AB＋AD＝4，得AD＝4－t.所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t，0)，D(0,4－t,0)，＝(－1,1,0)，＝(0，4－t，－t)． ①設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z

22、)，由n⊥，n⊥，得 取x＝t，得平面PCD的一個(gè)法向量n＝(t，t,4－t)． 又＝(t,0，－t)，故由直線PB與平面PCD所成的角為30得 cos60＝||， 即＝， 解得t＝或t＝4(舍去，因?yàn)锳D＝4－t>0)，所以AB＝. ②假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等． 設(shè)G(0，m,0)(其中0≤m≤4－t)． 則＝(1,3－t－m,0)，＝(0,4－t－m,0)，＝(0，－m，t)． 由||＝||得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m；　 (1) 由||＝||得(4－t－m)2＝m2＋t2.　 (2) 由(1)、(2)消去t，化簡(jiǎn)得m2－3m＋4＝0.　 (3) 由于方程(3)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，C，D的距離都相等．從而，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等．