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1、專題06 數(shù)列
一．基礎題組
1. 【2013課標全國Ⅱ，理3】等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝( )．
A． B． C． D．
【答案】：C
2. 【2012全國，理5】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列{}的前100項和為( )
A． B． C． D．
【答案】 A
＝.
3. 【2010全國2，理4】如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14 B．21 C．28
2、 D．35
【答案】：C
4. 【2006全國2，理14】已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且AB=1,BC=4,則邊BC上的中線AD的長為 .
【答案】:
5. 【2014新課標，理17】（本小題滿分12分）
已知數(shù)列滿足=1，.
（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；
（Ⅱ）證明：.
【解析】：（Ⅰ）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，首項為，公比為3，所以，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，所以，
因為當時，，所以，于是=，
所以.
6. 【2011新課標，理17】等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，.
(1)求
3、數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前n項和．
7. 【2015高考新課標2，理16】設是數(shù)列的前n項和，且，，則________．
【答案】
【解析】由已知得，兩邊同時除以，得，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以．
【考點定位】等差數(shù)列和遞推關系．
8.
二．能力題組
1. 【2013課標全國Ⅱ，理16】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為__________．
【答案】：－49
2. 【2010全國2，理18】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝(n2＋n)
4、3n.
(1)求 ；
(2)證明＞3n.
【解析】： (1)解： ＝＝
＝1－，
＝＝，
所以＝.
3. 【2005全國3，理20】(本小題滿分12分)
在等差數(shù)列中，公差的等差中項.已知數(shù)列成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項
4. 【2005全國2，理18】(本小題滿分12分)
已知是各項為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，、、成等差數(shù)列．又，．
(Ⅰ) 證明為等比數(shù)列；
(Ⅱ) 如果無窮等比數(shù)列各項的和，求數(shù)列的首項和公差．
(注：無窮數(shù)列各項的和即當時數(shù)列前項和的極限)
三．拔高題組
1. 【2006全國2，理11】設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若=,則等于（ ）
5、
A. B. C. D.
【答案】:A
【解析】:由已知設a1+a2+a3=T,a4+a5+a6=2T,a7+a8+a9=3T,
a10+a11+a12=4T.
∴=.
∴選A.
2. 【2005全國2，理11】如果為各項都大于零的等差數(shù)列，公差，則（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
3. 【2012全國，理22】函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，定義數(shù)列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是過兩點P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標．
(1)證明：2≤xn＜xn＋1＜3；
6、
(2)求數(shù)列{xn}的通項公式．
由歸納假設知；
xk＋2－xk＋1＝，
即xk＋1＜xk＋2.
所以2≤xk＋1＜xk＋2＜3，即當n＝k＋1時，結論成立．
由①②知對任意的正整數(shù)n,2≤xn＜xn＋1＜3.
4. 【2006全國2，理22】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1,n= 1,2,3,….
(1)求a1,a2;
(2)求{an}的通項公式.
由①可得S3=.
由此猜想Sn=,n=1,2,3,….
下面用數(shù)學歸納法證明這個結論.
(ⅰ)n=1時已知結論成立.
(ⅱ)假設n=k時結論成立,即Sk=,
當n=k+1時,由①得Sk+1=,
即Sk+1=,故n=k+1時結論也成立.
綜上,由(ⅰ)(ⅱ)可知Sn=對所有正整數(shù)n都成立.
于是當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-=,
又n=1時,a1==,所以{an}的通項公式為an=,n=1,2,3,….
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