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1、【導與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復習 第3篇 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應用課時訓練 理
【選題明細表】
知識點、方法
題號
用正、余弦定理解三角形
1、2、7、8、11
與面積有關的問題
6、10、15
判斷三角形形狀
3、13
實際應用問題
5、9
綜合應用
4、12、14、16
基礎過關
一、選擇題
1.(2014北京西城模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=3,b=2,cos(A+B)=13,則c等于( D )
(A)4 (B)15 (C)3 (D)17
解析:cos(A+B)=13=-cos C,
∴
2、cos C=-13,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,
所以c=17.故選D.
2.(2014高考江西卷)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則2sin2B-sin2Asin2A的值為( D )
(A)-19 (B)13 (C)1 (D)72
解析:由正弦定理可得
2sin2B-sin2Asin2A=2(sinBsinA)2-1=2(ba)2-1,
因為3a=2b,
所以ba=32,
所以2sin2B-sin2Asin2A=2(32)2-1=72.
故選D.
3.(2014江西省七校第一次聯(lián)考)在△ABC中,若sin(A-B)
3、=
1+2cos(B+C)sin(A+C),則△ABC的形狀一定是( D )
(A)等邊三角形
(B)不含60的等腰三角形
(C)鈍角三角形
(D)直角三角形
解析:sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cos Asin B,
sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,
所以sin Acos B+cos Asin B=1,
即sin(A+B)=1,
所以A+B=π2,
故三角形為直角三角形.故選D.
4.(2014煙臺模擬)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg 1b+c,
4、則A等于( C )
(A)π2 (B)π3 (C)2π3 (D)5π6
解析:由lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg 1b+c,
整理得,
lg(a+c)(a-c)=lg b(b+c),
∴(a+c)(a-c)=b(b+c),
得b2+c2-a2=-bc.
∴cos A=b2+c2-a22bc=-12,
又A∈(0,π),
∴A=2π3.故選C.
5. (2014廣州調研)如圖所示,長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則坡度值tan α等于( A )
(
5、A)2315 (B)516 (C)23116 (D)115
解析:由題意,可得在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且∠α+∠ACB=π.
由余弦定理,
可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB,
即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(π-α),
解得cos α=516,
所以sin α=23116,
所以tan α=sinαcosα=2315.故選A.
6.在△ABC中,三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若內角A、B、C依次成等差數(shù)列,且不等式-x2+6x-8>0的解集為{x|a
6、于( B )
(A)3 (B)23 (C)33 (D)43
解析:由于不等式-x2+6x-8>0的解集為{x|2
7、澤一模)在△ABC中,內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin C,則b= .
解析:根據(jù)正弦定理和余弦定理
由sin Acos C=3cos Asin C得:
a2Ra2+b2-c22ab=3b2+c2-a22bcc2R
∴a2+b2-c2=3(b2+c2-a2),a2-c2=b22.
解方程組a2-c2=2b,a2-c2=b22,
∴b=4.
答案:4
9. (2014大連聯(lián)考)如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰角為60,再由點C沿北偏東15方向走10米
8、到位置D,測得∠BDC=45,則塔AB的高是 .
解析:在△BCD中,CD=10,∠BDC=45,∠BCD=15+90=105,
∠DBC=30,BCsin45=CDsin30,
BC=CDsin45sin30=102.
在Rt△ABC中tan 60=ABBC,AB=BCtan 60=106.
答案:106
10.(2014高考新課標全國卷Ⅰ)已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則△ABC面積的最大值為 .
解析:把正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsi
9、n C代入已知得
(2+b)(a-b)=(c-b)c,
∴(2+b)(2-b)=(c-b)c.
∴4-b2=c2-bc,∴b2+c2-bc=4.
∴cos A=b2+c2-a22bc=4+bc-42bc=12.
∴A=60.
又b2+c2=4+bc≥2bc,∴bc≤4.
∴S△ABC=12bcsin A=1232bc=34bc≤344=3.
當且僅當b=c=2時取等號,故△ABC面積的最大值為3.
答案:3
三、解答題
11.(2014高考北京卷)如圖,在△ABC中,∠B=π3,AB=8,點D在BC邊上,且CD=2,cos∠ADC=17.
(1)求sin∠BAD;
10、
(2)求BD,AC的長.
解:(1)在△ADC中,因為cos∠ADC=17,
所以sin∠ADC=437.
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
=sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B
=43712-1732
=3314.
(2)在△ABD中,由正弦定理得
BD=ABsin∠BADsin∠ADB=83314437=3.
在△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B
=82+52-28512
=49.
所以AC=7.
12. (2014高考湖南卷)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,
AC=7.
11、
(1)求cos ∠CAD的值;
(2)若cos ∠BAD=-714,sin ∠CBA=216,求BC的長.
解:(1)在△ADC中,由余弦定理,得
cos ∠CAD=AC2+AD2-CD22ACAD.
故由題設知,cos ∠CAD=7+1-427=277.
(2)設∠BAC=α,則α=∠BAD-∠CAD.
因為cos ∠CAD=277,cos ∠BAD=-714,
所以sin ∠CAD=1-cos2∠CAD=1-(277)2=217,
sin ∠BAD=1-cos2∠BAD=1-(-714)2=32114.
于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin ∠BAD
12、cos ∠CAD-cos ∠BADsin ∠CAD
=32114277-(-714)217
=32.
在△ABC中,由正弦定理,BCsinα=ACsin∠CBA.
故BC=ACsinαsin∠CBA=732216=3.
能力提升
13.(2014咸陽三模)設△ABC的三個內角A,B,C成等差數(shù)列,且(BA→+BC→)AC→=0,則△ABC的形狀是( C )
(A)直角三角形 (B)鈍角三角形
(C)等邊三角形 (D)等腰非等邊三角形
解析:由題得2B=A+C,3B=π得B=π3,
設AC中點D,則(BA→+BC→)AC→=2BD→AC→=0
即BD→⊥AC→得a=c.
13、所以△ABC為等腰三角形,
又因為B=π6,
所以△ABC為等邊三角形.故選C.
14.(2014高考江蘇卷)若△ABC的內角滿足sin A+2sin B=2sin C,則cos C的最小值是 .
解析:由正弦定理可得a+2b=2c,
又cos C=a2+b2-c22ab
=a2+b2-14(a+2b)22ab
=3a2+2b2-22ab8ab
≥26ab-22ab8ab
=6-24,
當且僅當3a=2b時取等號,所以cos C的最小值是6-24.
答案:6-24
15.(2014德州模擬)已知a,b,c分別為△ABC的三個內角A,B,C的對邊,m=(sin A,
14、1),n=(cos A,3),且m∥n.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,b=22,求△ABC的面積.
解:(1)因為m∥n,
所以3sin A-cos A=0,tan A=33.
因為A∈(0,π),所以A=π6.
(2)由正弦定理可得sin B=bsinAa=22,
因為a
15、
所以S△ABC=12absin C=3-1.
故△ABC的面積為1+3或3-1.
探究創(chuàng)新
16.(2014咸陽二模)已知△ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且△ABC的面積為S=32accos B.
(1)若c=2a,求角A,B,C的大小;
(2)若a=2,且π4≤A≤π3,求邊c的取值范圍.
解:由三角形面積公式及已知得S=12acsin B=32accos B,
化簡得sin B=3cos B,
即tan B=3,
又0
【導與練】新課標高三數(shù)學一輪復習 第3篇 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應用課時訓練 理
