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1、
（人教版）精品數學教學資料
課時提升作業(yè)(二十七)
圓與圓的位置關系
(25分鐘 60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(2015平頂山高一檢測)圓x2+y2-2x=0與圓x2+y2+4y=0的位置關系是 ( )
A.外離 B.外切 C.相交 D.內切
【解析】選C.圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1;圓x2+y2+4y=0的圓心為(0,-2),半徑為2.因為圓心距為5,且2-1<5<1+2,所以兩圓相交.
2.(2015鄂州高一檢測)過兩圓x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交點的直線的方程是 (
2、)
A.x+y+2=0 B.x+y-2=0
C.5x+3y-2=0 D.不存在
【解析】選A.將兩圓的方程相減,可得直線方程x+y+2=0,此直線即為過兩圓交點的直線方程.
【補償訓練】已知兩圓C1:x2+y2=10,C2:x2+y2+2x+2y-14=0.則經過兩圓交點的公共弦所在的直線方程為 ( )
A.x+y=2 B.x-y=2
C.2x-y=1 D.x-2y=1
【解析】選A.將兩圓C1與C2的方程相減,即得到經過兩圓交點的公共弦所在的直線方程,即x+y=2.
3.兩圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0,C2:x2+y2-4x-2y+1=
3、0的公切線有且僅有 ( )
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
【解析】選B.兩圓的圓心分別是(-1,-1),(2,1),半徑分別是2,2,兩圓圓心距離|C1C2|=(-1-2)2+(-1-1)2=13,由于0<13<4,說明兩圓相交,因而公切線只有兩條.
4.(2015重慶高一檢測)圓C1:(x+2)2+(y-m)2=9與圓C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,則m的值為 ( )
A.2 B.-5
C.2或-5 D.不確定
【解析】選C.圓C1:(x+2)2+(y-m)2=9的圓心為(-2,m),半徑長為3,圓C2:(x-m)2+
(y+
4、1)2=4的圓心為(m,-1),半徑長為2.依題意有(-2-m)2+(m+1)2=3+2,即m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.
5.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圓C上存在點P,使得∠APB=90,則m的最大值為 ( )
A.7 B.6
C.5 D.4
【解題指南】點P在以AB為直徑的圓上,此圓與圓C有公共點P,當圓半徑最大時,m最大.
【解析】選B.點P在以AB為直徑的圓O:x2+y2=m2上,當圓O與圓C內切時,圓O的半徑最大,m最大,此時m=5+1=6.
二、填空題(每小題5分,共15分)
5、
6.(2015長沙高一檢測)圓C1:x2+y2=4和C2:x2+y2-6x+8y-24=0的位置關系是 .
【解析】圓C1的半徑是2,圓心為(0,0),圓C2的半徑是7,圓心為(3,-4),所以兩圓心之間的距離為5,半徑差也為5,所以兩圓關系為內切.
答案:內切
【補償訓練】圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2;x2+y2-4y=0的位置關系是 .
【解析】化圓O1,圓O2方程為標準方程知,它們的圓心分別為O1(1,0),半徑為1;圓O2(0,2),半徑為1,因為O1O2=5,R+r=3,R-r=1,所以1
6、2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相外切,則常數a的值為 .
【解析】兩圓的圓心距為d=42+(-a)2,半徑分別為1和5.由于兩圓外切,則42+(-a)2=1+5,解得a=25.
答案:25
【補償訓練】(2015保定高一檢測)若x2+y2-2ax+4y+a2+3=0與x2+y2-14x-2y+14=0所表示的曲線相互內切,則a的值為 .
【解析】由x2+y2-2ax+4y+a2+3=0可得(x-a)2+(y+2)2=1,圓心為(a,-2),半徑為1.由x2+y2-14x-2y+14=0可得(x-7)2+(y-1)2=36,圓心為(7,1),半徑為6,由于
7、兩圓相互內切,故(7-a)2+(1+2)2=6-1,解得a=11或a=3.
答案:11或3
8.(2015徐州高一檢測)圓x2+y2-16=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦長為 .
【解析】因為兩圓公共弦所在的直線方程為x-y-1=0,由于圓x2+y2-16=0的圓心(0,0)到直線x-y-1=0的距離為d=-11+1=22,該圓的半徑為4,則公共弦長為242-222=62.
答案:62
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.已知圓C1:x2+y2+2x+6y+9=0,圓C2:x2+y2-6x+2y+1=0,試確定兩圓公切線的條數.
【解析】兩圓化為標準方
8、程分別為:
圓C1:(x+1)2+(y+3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y+1)2=9,所以兩圓圓心為C1(-1,-3),
C2(3,-1).半徑r1=1,r2=3.因為|C1C2|=25>1+3,所以兩圓相外離,故兩圓有四條公切線.
10.(2015舟山高一檢測)圓O1的方程為x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心O2(2,1).
(1)若圓O2與圓O1外切,求圓O2的方程.
(2)若圓O2與圓O1交于A,B兩點,且|AB|=22,求圓O2的方程.
【解析】(1)圓O2半徑為r1.
由兩圓外切,所以|O1O2|=r1+2,
r2=|O1O2|-2=2(2-1),
故圓O2
9、的方程是(x-2)2+(y-1)2=4(2-1)2.
(2)設圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=r22,
因為圓O1的方程為x2+(y+1)2=4,將兩圓的方程相減,即得兩圓公共弦AB所在直線的方程:4x+4y+r22-8=0.
作O1H⊥AB,則|AH|=12|AB|=2,O1H=2,
由圓心O1(0,-1)到直線4x+4y+r22-8=0的距離得|r22-12|42=2,
得r22=4或r22=20,故圓O2的方程為:
(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
(20分鐘 40分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.圓:x2+y2-
10、4x+6y=0和圓:x2+y2-6x=0交于A,B兩點,則AB的垂直平分線的方程是 ( )
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
【解析】選C.將兩圓方程相減,得公共弦AB所在直線的方程為x+3y=0,AB的垂直平分線的斜率為3且過圓心(3,0),所以其方程為y=3(x-3),即3x-y-9=0.
【拓展延伸】求解相交弦問題的技巧
把兩個圓的方程進行相減得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,
即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0, ①
當兩圓
11、C1,C2相交時,方程①表示兩圓公共弦所在的直線方程;
當兩圓C1,C2相切時,方程①表示過圓C1,C2切點的公切線方程.
2.(2015溫州高一檢測)圓C1:(x+2)2+(y-2)2=m(m>0)與圓C2:x2+y2-4x-10y+13=0有3條公切線,則m= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解題指南】因為兩圓有3條公切線,由此可知兩圓外切,則兩圓的圓心距應等于兩圓半徑之和,建立等式求解m.
【解析】選A.C1(-2,2),r1=m;C2(2,5),r2=4.
因為兩圓有3條公切線,所以兩圓外切,
即|C1C2|=r1+r2,
所以(-2
12、-2)2+(2-5)2=4+m,解得m=1.
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(2015青島高一檢測)若a2+b2=4,則兩圓(x-a)2+y2=1與x2+(y-b)2=1的位置關系是 .
【解析】因為兩圓的圓心分別為O1(a,0),O2(0,b),半徑r1=r2=1,所以O1O2=a2+b2=2=r1+r2,故兩圓外切.
答案:外切
4.(2015滁州高一檢測)集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中r>0,若A∩B中有且僅有一個元素,則r的值是 .
【解題指南】明確兩集合的含義,由A∩B中有且僅有一個
13、元素,可知兩圓相切,可分為外切和內切.
【解析】因為A∩B中有且僅有一個元素,
所以圓x2+y2=4與圓(x-3)2+(y-4)2=r2相切.
當內切時,32+42=|2-r|,解得r=7.
當外切時,32+42=2+r,解得r=3.
答案:3或7
【延伸探究】若本題中將“A∩B中有且僅有一個元素”改為“A∩B中有兩個元素”,又如何求r的范圍?
【解析】因為A∩B中有兩個元素,所以圓x2+y2=4與圓(x-3)2+(y-4)2=r2相交.則有r-2<32+42
14、2mx-2ny+m2-1=0與圓N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A,B兩點,且這兩點平分圓N的圓周,求圓心M的軌跡方程.
【解題指南】將兩圓方程相減,可得公共弦AB所在的直線方程,又A,B兩點平分圓N的圓周,則直線AB經過圓N的圓心.
【解析】兩圓方程相減,得公共弦AB所在的直線方程為2(m+1)x+2(n+1)y-m2-1=0,由于A,B兩點平分圓N的圓周,所以A,B為圓N直徑的兩個端點,即直線AB過圓N的圓心N,而N(-1,-1),所以-2(m+1)-2(n+1)-m2-1=0,即m2+2m+2n+5=0,即(m+1)2=-2(n+2)(n≤-2),由于圓M的圓心M(m,n),從
15、而可知圓心M的軌跡方程為
(x+1)2=-2(y+2)(y≤-2).
【補償訓練】求圓心在直線x-y+1=0上,且經過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0的交點的圓的方程.
【解析】設圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0的交點為A,B,解方程組:
x2+y2+6x-4=0,x2+y2+6y-28=0?x=-1,y=3或x=-6,y=-2,
不妨設A(-1,3),B(-6,-2),
因此直線AB的垂直平分線方程為x+y+3=0,
x-y+1=0與x+y+3=0聯(lián)立,解得:x=-2,y=-1,即所求圓心C為(-2,-1),半徑r=|AC|=17
16、.故所求圓C的方程為:(x+2)2+(y+1)2=17.
6.(2015金華高一檢測)已知圓O:x2+y2=1和定點A(2,1),由圓O外一點P(a,b)向圓O引切線PQ,切點為Q,PQ=PA成立.
(1)求a,b間關系.
(2)求PQ的最小值.
(3)以P為圓心作圓,使它與圓O有公共點,試在其中求出半徑最小的圓的方程.
【解析】(1)連接OQ,OP,則△OQP為直角三角形,又PQ=PA,所以OP2=OQ2+PQ2=1+PA2,所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2,
故2a+b-3=0.
(2)由(1)知,P在直線l:2x+y-3=0上,
所以PQmin=PAmin,此為A到直線l的距離,
所以PQmin=22+1-322+12=255.
(3)以P為圓心的圓與圓O有公共點,半徑最小時為與圓O外切的情形,而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑,圓心P為過原點與l垂直的直線l′與l的交點P0,所以r=322+12-1=355-1,又l′:x-2y=0,與l:x+2y-3=0聯(lián)立得P032,34.所以所求圓的方程為x-322+y-342=355-12.
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【人教A版】高中數學必修二：全冊作業(yè)與測評 課時提升作業(yè)(二十七)4.2.2
