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課時限時檢測(五十二) 拋物線
(時間：60分鐘 滿分：80分)命題報告
考查知識點及角度
題號及難度
基礎
中檔
稍難
拋物線的定義及應用
4,5,7
拋物線的方程及幾何性質
1,2,3
8,9
直線與拋物線的位置關系
6,10
拋物線的綜合應用問題
11,12
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則p的值為( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【解析】 因為橢圓＋＝1的右焦點為(2,0)，
所以拋物
2、線y2＝2px的焦點為(2,0)，則p＝4.
【答案】 D
2．點M(5,3)到拋物線y＝ax2的準線的距離為6，那么拋物線的方程是( )
A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2
【解析】 將y＝ax2化為x2＝y(tǒng)，當a＞0時，準線y＝－，由已知得3＋＝6，∴＝12，∴a＝.當a＜0時，準線y＝－，由已知得＝6，∴a＝－或a＝(舍)．
∴拋物線方程為y＝或y＝－，故選D.
【答案】 D
3．(2013四川高考)拋物線y2＝8x的焦點到直線x－y＝0的距離是( )
A．2 B．2 C.
3、 D．1
【解析】 拋物線y2＝8x的焦點為F(2,0)，
則d＝＝1.故選D.
【答案】 D
4．已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為( )
A. B.
C．(1,2) D．(1，－2)
【解析】
如圖，∵點Q(2，－1)在拋物線的內部，
由拋物線的定義，|PF|等于點P到準線x＝－1的距離．
過Q作x＝－1的垂線QH交拋物線于點K，則點K為取最小值時的所求點．
當y＝－1時，由1＝4x得x＝.
所以點P的坐標為.
【答案】 A
5．(2013課標全國卷Ⅰ
4、)O為坐標原點，F為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4，則△POF的面積為( )
A．2 B．2 C．2 D．4
【解析】 設P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋＝4，∴x0＝3，
∴y＝4x0＝43＝24，∴|y0|＝2.
∵F(，0)，∴S△POF＝|OF||y0|＝2＝2.
【答案】 C
6．(2013大綱全國卷)已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點．若＝0，則k＝( )
A. B. C. D．2
【解析】 拋物
5、線C的焦點為F(2,0)，則直線方程為y＝k(x－2)，與拋物線方程聯立，消去y化簡得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因為＝(x1＋2，y1－2)(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，
將上面各個量代入，化簡得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.
【答案】 D
二、填空題(每小題5分，共15分)
6、
7．若點P到直線y＝－1的距離比它到點(0,3)的距離小2，則點P的軌跡方程是________．
【解析】 由題意可知點P到直線y＝－3的距離等于它到點(0,3)的距離，故點P的軌跡是以點(0,3)為焦點，以y＝－3為準線的拋物線，且p＝6，所以其標準方程為x2＝12y.
【答案】 x2＝12y
8．(2014濟南一中月考)若拋物線y2＝4x上一點P到其焦點F的距離為3，延長P交拋物線于Q，若O為坐標原點，則S△OPQ＝________.
【解析】 如圖所示，由題意知，拋物線的焦點F的坐標為(1,0)，又|PF|＝3，由拋物線定義知：點P到準線x＝－1的距離為3，∴點P的橫坐標為2.
7、
將x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由圖知點P的縱坐標y＝2，
∴P(2,2)，∴直線PF的方程為y＝2(x－1)．
聯立直線與拋物線的方程
解之得或
由圖知Q，∴S△OPQ＝|OF||yP－yQ|＝1|2＋|＝.
【答案】
9．(2013江西高考)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________.
【解析】 由于x2＝2py(p>0)的準線為y＝－，由
解得準線與雙曲線x2－y2＝3的交點為
，B，所以AB＝2 .
由△ABF為等邊三角形，得AB＝p，解得p＝6.
【答案】 6
三、解
8、答題(本大題共3小題，共35分)
10．(10分)拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經過焦點且傾斜角為135的直線，被拋物線所截得的弦長為8，試求該拋物線的方程．
【解】 依題意，設拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，則直線方程為y＝－x＋p.
設直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，過A、B分別作準線的垂線，垂足分別為C、D，則由拋物線定義得
|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|
＝x1＋＋x2＋，
即x1＋x2＋p＝8.①
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線和直線的交點，由消去y，
得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p.
將其
9、代入①得p＝2，所以所求拋物線方程為y2＝4x.
當拋物線方程設為y2＝－2px(p＞0)時，
同理可求得拋物線方程y2＝－4x.
綜上，所求拋物線方程為y2＝4x或y2＝－4x.
11．(12分)已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)兩點，且|AB|＝9.
(1)求該拋物線的方程．
(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值．
【解】 (1)直線AB的方程是y＝2，與y2＝2px聯立，
從而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.
由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
10、∴p＝4，
從而拋物線方程是y2＝8x.
(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化為x2－5x＋4＝0，
從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
從而A(1，－2)，B(4,4)．
設＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，
所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
12．(13分)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)，O為坐標原點，F為拋物線的焦點，直線y＝x與拋物線C相交于不同的兩點O、N，且|ON|＝4.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線l過點F交拋物
11、線于不同的兩點A，B，交x軸于點M，且＝a，＝b，對任意的直線l，a＋b是否為定值？若是，求出a＋b的值；否則，說明理由．
【解】 (1)聯立方程得x2－2px＝0，故O(0,0)，N(2p,2p)，∴|ON|＝＝2p，
由2p＝4得p＝2，∴拋物線C的方程為x2＝4y.
(2)顯然直線l的斜率一定存在且不等于零，設其方程為y＝kx＋1，則直線l與x軸交點為M，
記點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4kx－4＝0，
∴Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)＞0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
由＝a，得＝a(－x1,1－y1)，
∴a＝＝－，
同理可得b＝－，
∴a＋b＝－＝－＝－1，
∴對任意的直線l，a＋b為定值－1.
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高三數學理,山東版一輪備課寶典 【第八章】課時限時檢測52
