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課時限時檢測(二十五) 平面向量的基本概念及線性運算
(時間：60分鐘 滿分：80分)命題報告
考查知識點及角度
題號及難度
基礎(chǔ)
中檔
稍難
平面向量的有關(guān)概念
1
平面向量的線性運算
2,3,7
8,11
共線向量定理的應(yīng)用
10
9
綜合應(yīng)用
4
5,6
12
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．若a＋c與b都是非零向量，則“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】
2、若a＋b＋c＝0，則b＝－(a＋c)，∴b∥(a＋c)；
若b∥(a＋c)，則b＝λ(a＋c)，當λ≠－1時，a＋b＋c≠0，因此“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的充分不必要條件．
【答案】 A
2．(2014天津模擬)已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是( )
A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b
C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b
【解析】 法一：(代數(shù)法)將原等式兩邊平方得|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2，
∴ab＝0，∴a⊥b，故選B.
法二：(幾何法)如圖所示，
在?ABCD中，設(shè)＝a，
3、＝b，∴＝a＋b，＝a－b.∵|a＋b|＝|a－b|，∴平行四邊形兩條對角線長度相等，即平行四邊形ABCD為矩形，∴a⊥b，故選B.
【答案】 B
圖4－1－2
3．如圖4－1－2，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B.
C. D.
【解析】 ?。剑剑?
【答案】 D
4．(2014青島模擬)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，一定能使＋＝0成立的是( )
A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b
C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)⊥b
【解析】 由＋＝0可知a與b必共線且反向，結(jié)合四個選項可知A正確．
【答案】 A
5．(2012浙江高考)設(shè)a，b是兩
4、個非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b
B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λa
D．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b|
【解析】 由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2ab＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，
∴ab＝－|a||b|.
∵ab＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，
∴〈a，b〉＝π，此時a與b反向共線，因此A錯誤．當a⊥b時，a與b不反向也不共線，因此B錯誤．
若|a＋b|＝|a|－
5、|b|，則存在實數(shù)λ＝－1，使b＝－a，滿足a與b反向共線，故C正確．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有當－1≤λ≤0時，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否則不能成立，故D錯誤．
【答案】 C
6．已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 由＋＋＝0易得M是△ABC的重心，且重心M分中線AE的比為AM∶ME＝2∶1，∴＋＝2＝m＝，∴＝2.∴m＝3.
【答案】 B
二、填空題(每小
6、題5分，共15分)
圖4－1－3
7．如圖4－1－3所示，向量a－b＝________(用e1，e2表示)．
【解析】 由圖知，a－b＝＝e1＋(－3e2)＝e1－3e2.
【答案】 e1－3e2
8．若||＝8，||＝5，則||的取值范圍是________．
【解析】 ∵＝－，當、同向時，||＝8－5＝3，當、反向時，||＝8＋5＝13，當、不共線時，3＜||＜13，綜上可知3≤||≤13.
【答案】 [3,13]
9．已知向量a，b是兩個非零向量，則在下列四個條件中，能使a、b共線的條件是________(將正確的序號填在橫線上)．
①2a－3b＝4e，且a＋2b
7、＝－3e；
②存在相異實數(shù)λ、μ，使λa＋μb＝0；
③xa＋yb＝0(實數(shù)x，y滿足x＋y＝0)．
【解析】 由①得10a－b＝0，故①對．②對．對于③，當x＝y(tǒng)＝0時，a與b不一定共線，故③不對．
【答案】?、佗?
三、解答題(本大題共3小題，共35分)
10．(10分)設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求證：A、B、C三點共線．
(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數(shù)k的值．
(3)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A、C、D三點共線，求k的值．
【解】 (1)證明 ＝－＝a＋2b，
＝－＝－a－2b.
所以
8、＝－，又因為A為公共點，
所以A、B、C三點共線．
(2)設(shè)8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
則?或
所以實數(shù)k的值為4.
(3)＝＋＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，
因為A、C、D三點共線，
所以與共線．
從而存在實數(shù)λ使＝λ，即3a－2b＝λ(2a－kb)，
得解得λ＝，k＝，
所以k＝.
圖4－1－4
11．(12分)如圖4－1－4所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一點，若＝m＋，求實數(shù)m的值．
【解】 如題圖所示，＝＋，
∵P為BN上一點，則＝k，
∴＝＋k＝＋k(－)
又＝，即＝，
因此＝(1－k)＋，
所以1－k＝m，且＝，
解得k＝，則m＝1－k＝.
12．(13分)設(shè)O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)．求點P的軌跡，并判斷點P的軌跡通過下述哪一個定點：
①△ABC的外心；②△ABC的內(nèi)心；③△ABC的重心；
④△ABC的垂心．
【解】 如圖，記＝，＝，則，都是單位向量，∴||＝||，＝＋，則四邊形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC，∵＝＋，由條件知＝＋λ，
∴＝λ(λ∈[0，＋∞))，∴點P的軌跡是射線AQ，且AQ通過△ABC的內(nèi)心．
高考數(shù)學復(fù)習精品
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高三數(shù)學理,山東版一輪備課寶典 【第4章】課時限時檢測25
