高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)20 空間向量與空間角 新人教A版選修21

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1、課時(shí)分層作業(yè)(二十) 空間向量與空間角(建議用時(shí)：40分鐘)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練一、選擇題1若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2所成的角為()A30°B150°C30°或150°D以上均不對Al1與l2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補(bǔ)，且異面直線所成角的范圍為.應(yīng)選A2已知二面角­l­的兩個(gè)半平面與的法向量分別為a，b，若a，b，則二面角­l­的大小為()A BC或 D或C由于二面角的范圍是0，而二面角的兩個(gè)半平面與的法向量都有兩個(gè)方向，因此二面角­l­的大

2、小為或，故選C3.如圖3­2­27，空間正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成角的大小是()圖3­2­27A B C DD以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為坐標(biāo)軸建系(圖略)，則，cos，0.，.4已知在正四面體A­BCD中，E為棱AD的中點(diǎn)，則CE與平面BCD的夾角的正弦值為()【導(dǎo)學(xué)號：46342179】A BCDB作AO平面BCD于點(diǎn)O，則O是BCD的中心，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OD為y軸，直線OA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)AB2，則O(0,0,0)，A，C，

3、E，cos，.CE與平面BCD的夾角的正弦值為.5如圖3­2­28所示，已知四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA平面ABCD，PAADAC，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，則二面角C­BF­D的正切值為()圖3­2­28A B C DD如圖所示，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接OF.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OF所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)PAADAC1，則BD，所以O(shè)(0,0,0)，B，F(xiàn)，C，易知為平面BDF的一個(gè)法向量，由，可得平面BCF的一個(gè)法向量為n(1，)所以cosn，sinn，所以tann

4、，.故二面角C­BF­D的正切值為.二、填空題6若直線l的方向向量a(2,3,1)，平面的一個(gè)法向量n(4,0,1)，則直線l與平面所成角的正弦值為_由題意，得直線l與平面所成角的正弦值為.7已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于_如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長為1，平面ABC的法向量為n1(0,0,1)，平面AEF的法向量為n2(x，y，z)所以A(1,0,0)，E，F(xiàn)，所以，則即取x1，則y1，z3.故n2(1，1,3)所以cosn1，n2.

5、所以平面AEF與平面ABC所成的二面角的平面角滿足cos ，sin ，所以tan .8如圖3­2­29，正三角形ABC與正三角形BCD所在的平面互相垂直，則直線CD與平面ABD所成角的正弦值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：46342180】圖3­2­29取BC的中點(diǎn)O，連接AO，DO，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)BC1，則A，B，C，D，所以，.設(shè)平面ABD的法向量為n(x，y，z)，則，所以，取x1，則y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，因此直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.三、解答題9.如圖3­2­30，平面ABDE平面A

6、BC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四邊形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BDAE2，O，M分別為CE，AB的中點(diǎn)圖3­2­30(1)求異面直角AB與CE所成角的大??；(2)求直線CD與平面ODM所成角的正弦值解(1)DBBA，平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，DB平面ABCBDAE，EA平面ABC如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB所在直線為x，y軸，以過點(diǎn)C且與EA平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)CBC4，C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，(4,4,0)，(4,0,4)c

7、os，異面直線AB與CE所成角的大小為.(2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，(0,4,2)，(2,4,0)，(2,2,2)設(shè)平面ODM的法向量為n(x，y，z)，則由，可得，令x2，則y1，z1，n(2,1,1)設(shè)直線CD與平面ODM所成的角為，則sin |cosn，|，直線CD與平面ODM所成角的正弦值為.10如圖3­2­31，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4.圖3­2­31(1)求證：M為PB的中點(diǎn)；(2)求二面角B&#

8、173;PD­A的大??；(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：46342181】解(1)證明：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)E，連接ME，因?yàn)镻D平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以E為BD的中點(diǎn)，所以M為PB的中點(diǎn)(2)如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OE.因?yàn)镻APD，所以O(shè)PAD又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，且OP平面PAD，所以O(shè)P平面ABCD因?yàn)镺E平面ABCD，所以O(shè)POE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)EAD如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz，則P(0,0，)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，(4，

9、4,0)，(2,0，)設(shè)平面BDP的法向量為n(x，y，z)，則即令x1，則y1，z.于是n(1,1，)平面PAD的法向量為p(0,1,0)，所以cosn，p.由題意知二面角B­PD­A為銳角，所以它的大小為.(3)由題意知M，C(2,4,0)，.設(shè)直線MC與平面BDP所成角為，則sin |cosn，|，所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為.能力提升練1.如圖3­2­32，在三棱柱ABC­A1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，ACB90°，側(cè)棱AA12，D，E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD

10、上的射影是ABD的重心G.則A1B與平面ABD所成角的正弦值為()圖3­2­32A BCDA以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，CC1所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)CACBa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，E，G，(0，a,1)點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，·0，解得a2，(2，2,2)，平面ABD，為平面ABD的一個(gè)法向量又cos，A1B與平面ABD所成角的正弦值為.2如圖3­2­33，已知矩形ABCD與矩形ABEF全等，二面角D&#

11、173;AB­E為直二面角，M為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)M與BD所成的角為，且cos ，則()圖3­2­33A1 B C DC不妨設(shè)BC1，AB，則.記a，b，c，則ba，cb，根據(jù)題意，|a|c|1，|b|，a·bb·cc·a0，·b22，而|，|，|cos，|，得.故選C3在空間中，已知平面過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0，a)(a0)，如果平面與平面xOy的夾角為45°，則a_.平面xOy的法向量為n(0,0,1)，設(shè)平面的法向量為u(x，y，z)，則即3x4yaz，取z1，則u.而cosn，u，又

12、a0，a.4如圖3­2­34，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD且PDAD1，AB2，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，當(dāng)二面角P­EC­D為時(shí)，AE_. 【導(dǎo)學(xué)號：46342182】圖3­2­342設(shè)AEa(0a2)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz(圖略)，則D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，則(1，a，1)，(0,2，1)，設(shè)平面PEC的法向量為m(x，y，z)，則，即，令y1，可得x2a，z2，則m(2a,1,2)，易知平面

13、DEC的一個(gè)法向量為(0,0,1)，則|cosm，|，解得a2或2(舍去)，所以AE2.5如圖3­2­35，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD圖3­2­35(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D­AE­C的余弦值解(1)證明：由題設(shè)可得ABDCBD，從而ADCD又ACD是直角三角形，所以ADC90°.取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，則DOAC，DOAO.又因?yàn)锳BC是正三角形，故BOAC，所以D

14、OB為二面角D­AC­B的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2，又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90°.所以平面ACD平面ABC(2)由題設(shè)及(1)知，OA，OB，OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O­xyz，則A(1,0,0)，B(0，0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得E，故(1,0,1)，(2,0,0)，.設(shè)n(x，y，z)是平面DAE的法向量，則即可取n.設(shè)m是平面AEC的法向量，則同理可取m(0，1，)，則cosn，m.所以二面角D­AE­C的余弦值為.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375