【數(shù)學課件】數(shù)值計算方法(第4章)21

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1、第一章1. 1. 解下列方程組, 并在直角坐標系中作出圖示.1);2);3).解: 1) 將第一個方程減去第二個方程, 得2y=-1, y=-1/2, 再代入第個方程解得x=1+1/2=3/2, 繪出圖示如下圖所示, 兩直線相將于一點方程有唯一解.2) 將第二個方程除以3得, 與第一個方程相比較知此方程組為矛盾方程組, 無解, 繪出圖示如下圖所示3) 將第2個方程除以2, 可以得到第一個方程, 令y=t為任意實數(shù), 則x=1+t, 方程組的解集為(1+t, t), 圖示如下圖所示, 方程的解集為一條直線.2. 用Gauss消元法解下列線性方程組.1)2)3)4)解: 1) 對增廣矩陣進行變換:

2、則x3為自由變量, 令x3=t為任意實數(shù), 則x1=10-3t, x2=5t-7, 方程有無窮多解, 解集為(10-3t, 5t-7, t).2) 對增廣矩陣進行變換:則x3為自由變量, 令x3=t為任意實數(shù), 則x1=-t, x2=2t-1, 解集為(-t, 2t-1, t).3) 對增廣矩陣進行變換:方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1.4) 此為齊次方程, 對系數(shù)矩陣進行變換可知方程有唯一零解x1=x2=x3=0.3. 確定下列線性方程組中k的值滿足所要求的解的個數(shù).1) 無解:2) 有唯一解:3) 有無窮多解:解:1) 對增廣矩陣作變換:因此, 要使方程組無解, 須使8-3k=0,

3、解得k=8/3, 即當k取值為8/3時, 方程無解.2) 對增廣矩陣作變換:因此, 如要方程組有唯一解, 必須有, 即.3) 對增廣矩陣作變換因此, 如要方程組有無窮多解, 必須4-4k=0, 即當k=1時, 方程組才有無窮多解.4. 證明: 如果對所有的實數(shù)x均有ax2+bx+c=0, 那么a=b=c=0.證: 既然對所有的實數(shù)x都有ax2+bx+c=0成立, 那么具體地分別取x=0, x=1, x=2代入上式也成立, 則有, 這是關(guān)于a,b,c的齊次線性方程組, 對其系數(shù)矩陣作變換:看出此方程只有唯一零解, 因此有a=b=c=0.5. 討論以下述階梯矩陣為增廣矩陣的線性方程組是否有解; 如

4、有解區(qū)分是唯一解還是無窮多解.1)2)3)4)解: 1) 方程組有一個自由變元x2, 因此方程組有無窮多解.2) 方程組的三個變元均為首項變元, 因此方程組有唯一解.3) 第三個方程0=4說明此方程無解.4) 方程組的三個變元均為首項變元, 因此方程組有唯一解.6. 對給定方程組的增廣矩陣施行行初等變換求解線性方程組.1)2)3)解: 1) 對增廣矩陣進行變換:方程組無解.2) 對增廣矩陣進行變換可以看出y和w為自由變元, 則令y=s, w=t, s與t為任意常數(shù), 則x=100-3s+96t,z=54+52t. 方程的解集表示為(100-3s+96t, s, 54+52t, t).3) 對增

5、廣矩陣進行變換可知y與z為自由變元, 令y=s, z=t, s與t均為任意實數(shù), 則, 方程組的解集為7. 對給定齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行行初等變換求解下列方程組.1) 2)解: 1) 對系數(shù)矩陣作初等變換.方程只有零解, x=y=z=0.2) 對系數(shù)矩陣作初等變換因此, w為自由變元, 令w=t為任意實數(shù), 則x=-2t, y=0, z=t, 方程組的解集為(2t, 0, t, t).8. 設一線性方程組的增廣矩陣為求的值使得此方程組有唯一解.解: 對增方矩陣求初等變換因此, 此方程組要有唯一解, 就必須滿足+20, 即-2.9. 設一線性方程組的增廣矩陣為1) 此方程有可能無解嗎? 說

6、明你的理由.2) 取何值時方程組有無窮多解?解: 1) 此方程一定有解, 因為此方程是齊次方程, 至少有零解.2) 對此增廣矩陣做初等變換因此, 只有當+5=0, 即=-5時,方程才有無窮多解.10. 求的值使得下述方程組有非零解.解: 對系數(shù)矩陣作初等行變換:因此, 要使方程有非零解, 必須有(-2)2+1=0, 但(-2)2+10對取任何實數(shù)值總是成立, 因此必有(-2)2+10, 因此, 無論取什么值此方程組都不會有非零解.11. 求出下列電路網(wǎng)絡中電流I1,I2,I3的值.解: 根據(jù)基爾霍夫定律可得如下方程組:對增廣矩陣做初等行變換最后得I1=7/13, I2=22/13, I3=15

7、/1312. 一城市局部交通流如圖所示.(單位: 輛/小時)1) 建立數(shù)學模型2) 要控制x2至多200輛/小時, 并且x3至多50輛小時是可行的嗎?解: 1 將上圖的四個結(jié)點命名為A, B, C, D, 如下圖所示:則每一個結(jié)點流入的車流總和與流出的車流總和應當一樣, 這樣這四個結(jié)點可列出四個方程如下:對增廣矩陣進行變換:可見x3和x5為自由變量, 因此令x3=s, x5=t, 其中s,t為任意正整數(shù)(車流量不可能為負值), 則可得x1=500-s-t, x2=s+t-200, x4=350-t.2) 令x2=200, x3=s=50, 代入上面的x2的表達式, 得200=50+t-200,

8、 求出t=350, 則x1=500-s-t=100, x4=0, 是可行的.13. 在應用三的貨物交換經(jīng)濟模型中, 如果交換系統(tǒng)由下表給出, 試確定農(nóng)作物的價值x1, 農(nóng)具及工具的價值x2, 織物的價值x3的比值.解: 根據(jù)上表可得關(guān)于x1, x2,x3的三個齊次方程如下:對系數(shù)矩陣做行初等變換:可見方程有非零解, x3為自由變量, 令x3=t為任意正實數(shù), 則有x1=x2=x3=t, 即三種價值的比值為1:1:1. 第二章2. 1. 寫出下列方程組的矩陣形式:1) x1-2x2+5x3=-1;2) 3) 解:1) ;2) ;3) 2. 設,求: 1) 3A-2B; 2) 若X滿足AT+XT=

9、BT, 求X.解: 1)2)因X滿足AT+XT=BT, 等號兩邊同時轉(zhuǎn)置, 有A+X=B, 等號兩邊同時減去A, 得X=B-A, 因此有3. 計算下列矩陣的乘積:1) ;2) ;3) ;4) 解:1)2)3)4)4. 設求: 1) (A+B)(A-B); 2) A2-B2.比較1)和2)的結(jié)果, 可得出什么結(jié)論?解: 1)2)可得出的結(jié)論: 大家知道, 在代數(shù)公式上有a2-b2=(a+b)(a-b), 而將此公式中的a和b換成矩陣A與B, 就不一定成立了, 這是因為矩陣乘法一般不滿足交換律, 即一般ABBA, 當然也就有A2-B2(A+B)(A-B).5. 已知矩陣A,B,C, 求矩陣X,Y使

10、其滿足下列方程:解: 將此方程編上號, 用類似解線性方程組一樣的辦法來解,將方程(1)的左邊和(2)的左邊和左邊相加, 右邊和右邊相加, 等號還是成立, 得:3X=C+(A+B)T兩邊同乘1/3, 得(3)(2)式等號兩邊都加上X, 得Y=(A+B)T-X(4)將(3)式代入到(4)式, 得因此6. 如矩陣AB=BA, 則稱A與B可交換, 試證:1) 如果B1, B2都與A可交換, 那么B1+B2, B1B2, 也與A可交換;2) 如果B與A可交換, 那么B的k(k0)次冪Bk也與A可交換.證: 1) 因B1, B2都與A可交換, 即AB1=B1A, AB2=B2A, 則(B1+B2)A=B1

11、A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2)即B1+B2與A可交換. 而且(B1B2)A=B1(B2A)=B1(AB2)=(B1A)B2=(AB1)B2=A(B1B2), 因此B1B2與A可交換.2)因B與A可交換, 即AB=BA, 則用歸納法, 當k=1時, 有B1=B, 結(jié)論顯然成立.假設當k=m時假設成立, 即ABm=BmA, 則當k=m+1時, 有ABm+1=ABmB=BmAB=BmBA=Bm+1A, 結(jié)論也成立.7. 如矩陣A=AT, 則稱A為對稱矩陣.設A,B都是n階對稱矩陣, 證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB=BA.證: 已知A=AT, B=BT, 充分性: 假設AB=BA

12、, 則(AB)T=BTAT=BA=AB, 因此AB為對稱矩陣.必要性: 如果AB為對稱矩陣, 即(AB)T=AB, 則因(AB)T=BTAT=BA, 可得BA=AB.8. 設其中aiaj, 當ij (i, j = 1,2, , n). 試證: 與A可交換的矩陣一定是對角矩陣.證:假設矩陣B=bijn與A可交換, 即有BA=AB, 而BA相乘得到的矩陣為B的第j列所有元素都乘上aj得到的矩陣, AB相乘得到的矩陣為B的第i行元素都乘上ai得到的矩陣. 即BA=ajbijn, AB=aibijn, 但對于任給的i,j,ij, 因AB=BA, 因此有ajbij=aibij, 因aiaj, 所以必有b

13、ij=0, 即B只能是對角矩陣.9. 檢驗以下兩個矩陣是否互為可逆矩陣?解: 計算AB和BA如下:因此A與B確實互為逆矩陣.10. 設A,B,C為n階方陣, 且C非奇異, 滿足C-1AC=B, 求證Bm=C-1AmC (m為正整數(shù)).證: 用歸納法, 當m=1時條件已經(jīng)成立為C-1AC=B, 假設當m=k時, 命題成立, 即有Bk=C-1AkC, 則當m=k+1時, 有Bk+1= BkB= C-1AkCC-1AC= C-1Ak(CC-1)AC= C-1AkIAC= C-1AkAC= C-1Ak+1C, 命題得證.11. 若n階矩陣A滿足A2-2A-4I=0, 試證A+I可逆, 并求(A+I)-

14、1.證: 將A2-2A-4I=0改寫為A2-2A-3I=I, 先解一元二次方程組x2-2x-3=0, 根據(jù)公式其中a=1, b=-2, c=-3, 則, 因此可將多項式x2-2x-3因式分解為x2-2x-3=(x-3)(x+1), 那么, 根據(jù)矩陣相乘相加的性質(zhì)也就能將A2-2A-3I因式分解為A2-2A-3I=(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I), 因此我們有(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I)=I, 即A+I與A-3I 互為逆矩陣, (A+I)-1=A-3I.12. 證明: 如果A=AB, 但B不是單位矩陣, 則A必為奇異矩陣.證: 用反證法, 假設A為可逆, 其逆為A

15、-1, 則對于A=AB兩邊同時左乘A-1, 得A-1A=A-1AB, 即I=B, 這與B不是單位矩陣相矛盾, 因此A必為奇異矩陣.13. 判別下列矩陣是否初等矩陣?1) ,2) 3) ,4) 解: 1) 是初等矩陣P(2(-2), 2) 是初等矩陣P(1,3), 3) 不是初等矩陣,4) 是初等矩陣P(3(-4), 2).14. 求3階方陣A滿足解: 從等式看出A左乘一矩陣相當于對此矩陣作初等行變換r3(-5)+r1, 因此A為一相應的初等矩陣, 即15. 設A,B,C均為n階可逆矩陣, 且ABC=I, 證明BCA=I證: 因B,C為可逆矩陣, 則BC也是可逆矩陣, 且(BC)-1=C-1B-

16、1, 因ABC=I, 對此等式兩邊右乘(BC)-1, 即ABC(BC)-1=I(BC)-1, 因為BC(BC)-1=I, 因此上式化簡為A=(BC)-1, 因此當然有BCA=BC(BC)-1=I.16. 設A,B均為n階方陣, 且, 證明: A2=A的充分必要條件是B2=I.證: 充分性: 假設B2=I, 則必要性: 如果A2=A, 則有等式兩邊乘4得,等式兩邊同時減去2B+I得B2=I證畢.17. 如果n階矩陣A滿足A2=A, 且AI, 則A為奇異矩陣.證: 用反證法, 假設A為可逆, 其逆為A-1, 則上式兩邊左乘(或者右乘)A-1, 得AAA-1=AA-1, 即A=I, 但這與AI相矛盾

17、, 因此A的逆不存在, 即A為奇異矩陣.18. 求下列矩陣的逆矩陣:1) ;2) 3) 解: 用對A|I進行行初等變換為I|A-1的辦法來求:1)因此, 最后得2)因此有3)因此, 最后得19. 解下列矩陣方程, 求出未知矩陣X.1) 2) 解: 令, 則要解的方程為AX=B將方程兩邊左乘上A的逆A-1, 可得A-1AX=A-1B, 即X=A-1B下面求A-1:因此有因此2) 令則矩陣方程為XA=B設A的逆存在為A-1, 則方程兩邊右乘A-1, 得XAA-1=BA-1, 即X=BA-1下面求A-1:因此, 最后得20. 求矩陣X滿足AX=A+2X, 其中解: 將方程兩邊減去2X, 得AX-2X

18、=A因2X=2IX, 因此上面的方程可以從右邊提取公因子X, 得(A-2I)X=A假設A-2I可逆, 則方程兩邊同時左乘(A-2I)-1, 得(A-2I)-1(A-2I)X=(A-2I)-1A, 即X=(A-2I)-1A設B=A-2I, 則X=B-1A, 而下面用行初等變換求B的逆B-1:則最后得驗算:21. 利用分塊的方法, 求下列矩陣的乘積:1) ;2) 解:1) 將乘積分塊為其中2) 將乘積分塊為第三章3. 1. 計算下列行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) ;2) ;3) .2. 計算下列三階行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) 將行列式按第一列展開2) 將行列式按第二行展開3

19、)3. 計算下列行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) 將行列式按第一列展開后, 得到的各子式再按第二列展開, 這樣展開后的后三列構(gòu)成的任何三階子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三階子式均為0, 整個行列式的值D=0.2) 將行列式按第一列展開得3) 先對第一列展開, 然后對第二列展開, 得4. 利用行列式的性質(zhì)計算下列行列式1) ;2) ;3) 解: 下面都將所求行列式的值設為D.1) 因為第1行加到第2行以后, 第2行將和第4行相等, 因此行列式的值D=0;2) 首先從第1,2,3行分別提取公因子a,d,f, 再從第1,2,3列提取公因子b,c,e, 得3) 將第2,3,4列都展開,

20、 并統(tǒng)統(tǒng)減去第1列, 得再將第3列減去2倍的第2列, 第4列減去3倍的第2列, 得5. 把下列行列式化為上三角形行列式, 并計算其值1) ;2) 解:1)2)6. 計算下列n階行列式1) 2) 解: 1) 設此行列式的值為D, 將第2,3,n列均加于第一列, 則第一列的所有元素均為, 將此公因式提出, 因此有再令第n行減去第n-1行, 第n-1行減去第n-2行, , 第2行減去第1行, 可得2) 此題和第3題的2)一樣, 因此有7. 證明下列行列式1) 2) 證: 1)2) 用歸納法, 設Dn為所求行列式值, 當n=1時, 等式成立.假設當n=k時假設成立, 即有當n=k+1時, 證畢.8.

21、求矩陣的伴隨矩陣A*, 并求A-1.解: 因此得A的行列式為因此有9. 設A為三階方陣, A*是A的伴隨矩陣, 且|A|=1/2, 求行列式|(3A)-1-2A*|的值.解: 因, 以及, 還有,則10. 設A為n階可逆陣, A2=|A|I, 證明: A的伴隨矩陣A*=A.證: 因A可逆, 則在等式A2=|A|I兩邊乘A-1, 得A=|A|A-1, 即, 而因為, 所以有A=A*, 證畢.11. 用克萊姆法則解下列方程組.(1) (2) 解: (1) 方程的系數(shù)矩陣A為, 常數(shù)向量, 則求A的逆矩陣:因此得則方程的解X為即x1=3,x2=4,x3=5.(2) 方程的系數(shù)矩陣A為, 常數(shù)向量先求

22、A的逆A-1:因此有則即x1=0, x2=2, x3=0, x4=0.12. 如果齊次線性方程組有非零解, k應取什么值?解: 此方程組的系數(shù)矩陣A為要使方程組有非零解, 必須有det(A)=0.而因此, 只有當k=5或者k=2或者k=8時, 此方程組才有非零解.13. 問, 取何值時, 齊次線性方程組有非零解?解: 此方程組的系數(shù)矩陣A為, 要使方程組有非零解, 必須det(A)=0, 而因此, 只有當=1或者=0時, 方程組才有非零解.4. 1. 設1=(1,1,1), 2=(-1,2,1), 3=(2,3,4), 求=31+22-3解: =31+22-3=3(1,1,1)+2(-1,2,

23、1)-(2,3,4)=(3,3,3)+(-2,4,2)-(2,3,4)=(3-2-2, 3+4-3, 3+2-4)=(-1, 4, 1)2. 設3(1-)+2(2+)=5(3+), 求, 其中1=(2,5,1,3), 2=(10,1,5,10), 3=(4,1,-1,1)解: 將上述方程整理:31-3+22+2=53+5-3+2-5=-31-22+53(-3+2-5)=-31-22+53-6=-31-22+53最后得3. 設R為全體實數(shù)的集合, 并且設,.問V1,V2是否向量空間? 為什么?解: (一般的技巧: 凡是對Rn作一個齊次線性方程的約束的集合都是向量子空間, 而作非齊次線性方程的約束

24、的集合則因為它不穿過原點, 就不是向量子空間).V1是向量空間, 且是Rn的向量子空間, 因為, 而任給, 設則令, 則因,則,因為, 而則,因此, V1是Rn的向量子空間.而V2不是向量空間, 是因為, 零向量O不屬于V2, .4. 試證: 由所生成的向量空間就是R3證: 因為, 只須證, 任給, 試求實數(shù)x1,x2,x3使x11+x22+x33=D, 即x1(0,0,1)+x2(0,1,1)+x3(1,1,1)=(x3,x2+x3,x1+x2+x3)=(d1,d2,d3)也就是解線性方程組對其增廣矩陣進行行初等變換成階梯形矩陣:可見方程有解, 因此得證.5. 判數(shù)下列向量是線性相關(guān)還是線性

25、無關(guān).1) 1=(1,1), 2=(2,2);2) 1=(2,3), 2=(1,4), 3=(5,6);3) 1=(1,1,1), 2=(2,1,3), 3=(0,1,2);4) 1=(a11,0,0,0), 2=(0,a22,0,0),n=(0,0,ann);解: 1) 考察齊次方程x11+x22=O,即x1(1,1)+x2(2,2)=(0,0),整理得(x1+2x2, x1+2x2)=(0,0),再寫成如下的形式:對系數(shù)矩陣進行行初等變換:存在一自由變量x2, 方程有非零解, 因此1,2線性相關(guān).2) 考察齊次方程x11+x22+x33=O即x1(2,3)+x2(1,4)+x3(5,6)=

26、(0,0)整理得(2x1+x2+5x3, 3x1+4x2+6x3)=(0,0)再寫成如下形式:則因方程數(shù)少于變元數(shù), 必有非零解, 因此1,2,3線性相關(guān).3) 考察齊次方程x11+x22+x33=O即x1(1,1,1)+x2(2,1,3)+x3(0,1,2)=(0,0,0)整理得(x1+2x2, x1+x2+x3, x1+3x2+2x3)=(0,0,0)再寫成如下形式:對系數(shù)矩陣進行初等行變換方程沒有自由變量, 只有唯一零解, 因此1,2,3線性無關(guān).4) 考察齊次方程x11+x22+xnn=O,即x1(a11,0,0,0,0)+x2(0,a22,0,0,0)+xn(0,0,0,ann)=(

27、0,0,0)整理得(a11x1,a22x2,annxn)=(0,0,0)再寫成如下形式:由于, 此齊次方程組只有零解, 因此1,2,n線性無關(guān).6. 設1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1, 證明向量組1,2,3,4線性相關(guān).證: 只須證明齊次方程x11+x22+x33+x44=O(1)有非零解, 即證明了向量組1,2,3,4線性相關(guān). 將1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1代入(1)式, 得x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+4)+x4(4+1)=O整理后得(x1+x4)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3+(x3+x4)4=O因此, 只須找到不全為零

28、的x1,x2,x3,x4使得上式中的1,2,3,4,的系數(shù)等于0, 則命題得證.也就是要使(2)解此齊次方程組, 對系數(shù)矩陣進行行初等變換得:方程有一個自由變量x4, 因此方程組(2)有非零解, 此解也就滿足方程組(1), 因此1,2,3,4線性相關(guān).7. 設向量組1,2,s 線性無關(guān), 證明向量組1,1+2,1+2+s也線性無關(guān).證: 考察齊次方程組x11+x2(1+2)+xs(1+2+s)=O(1)整理后得(x1+x2+xs)1+(x2+xs)2+xss=O(2)因為1,2,s線性無關(guān), 因此要使(2)式乃至(1)式成立必有(2)中的1,2,s的各個系數(shù)為0, 即此齊次方程組的系數(shù)矩陣為上

29、三角方陣, 對角線上元素全為1, 因此只有零解, 即齊次方程組(1)也只有零解, 因此向量組1,1+2,1+2+s線性無關(guān).8. 設1,2,3是一組3維向量, 已知3維單位坐標向量e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)能由1,2,3線性表出, 證明1,2,3線性無關(guān).證: 用反證法, 假設1,2,3線性相關(guān), 則存在不全為零的數(shù)x1,x2,x3, 使得x11+x22+x33=O不妨假設x10, 則可得, 既然1可由2,3線性表出,即1,2,3可由2,3線性表出, 則根據(jù)題意e1,e2,e3又可被1,2,3線性表出, 則e1,e2,e3可被2,3線性表出, 則三個向量可

30、被少于三個的向量線性表出, 其必線性相關(guān). 但我們知道e1,e2,e3線性無關(guān), 因此導出矛盾. 這就證明了1,2,3必線性無關(guān).9. 設n維向量組1,2,m線性相關(guān). 證明: 任意加上h個n維向量m+1,m+2,m+h構(gòu)成的向量組1,2,m,m+1,m+2,m+h也線性相關(guān).證: 因向量組1,2,m線性相關(guān), 因此必有不全為零的數(shù)x1,x2,xm使得x11+x22+xmm=O, 因此, 選取m+h個數(shù), 前面m個與x1,x2,xm相同, 后面h個數(shù)為0, 則這樣的m+h個數(shù)仍然是不全為零, 且有x11+x22+xmm+0m+1+0m+2+0m+h=O所以向量組1,2,m,m+1,m+2,m+

31、h也線性相關(guān).10. 判斷下述向量組是否線性相關(guān)?1=(1,0,0,a1), 2=(0,1,0,a2), , n=(0,0,1,an)解: 因為向量組1,2,n是由單位坐標向量組e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), , en=(0,0,1)增加一個分量構(gòu)成的Rn+1中的向量組, 而因為e1,e2,en線性無關(guān), 因此1,2,n也線性無關(guān).11. 驗證1=(1,-1,0), 2=(2,1,3),3=(3,1,2)是R3的一個基， 并把=(5,0,7)用這個基線性表示。解: 如果將1,2,3看作列向量拼成的矩陣有逆存在, 則它們必是R3的一個基, 因此試求此矩陣的逆如下:因此A有逆存在為

32、因此1,2,3線性無關(guān)確實是R3的一個基. 則任給一列向量D=(d1,d2,d3), 將其作為列向量, 則解方程組AX=D, 可得X=A-1D, 具體用代入D, 可得即解得在這基1,2,3下的坐標為2,3,-1, 即=21+32-3, 不難驗證確實有(5,0,7)=2(1,-1,0)+3(2,1,3)-(3,1,2)12. 判斷Rn的子集S=X=(x1,x2,xn), 其中xn=0是否Rn的子空間? 如果是子空間, 寫出該子空間的基和維數(shù).解: 任取S中兩個元素X=(x1,x2,xn),Y=(y1,y2,yn), 即xn=yn=0, 則X+Y的第n個分量xn+yn=0, 因此X+YS, 再任取

33、S中的一個元素X和一實數(shù)k, 則kX的第n個分量kxn=0, 即kXS, 因此S是Rn的子空間.實際上, S是齊次方程0x1+0x2+xn=0的解集, 此齊次方程共有n-1個自由變元, 將這n-1個自由變元依次取1而其它變元為0, 就可以得到S的基或者說是齊次方程xn=0的基礎(chǔ)解系.因此, S的維數(shù)為n-1, 其中的基或者說齊次方程xn=0的基礎(chǔ)解系為:1=(1,0,0,0), 2=(0,1,0,0),n-1=(0,0,1,0).13. 在R3中, 設S1是由1=(1,1,1),2=(2,3,4)生成的子空間, S2是由1=(3,4,5),2=(0,1,2)生成的子空間, 證明S1=S2, 并

34、說出該子空間的維數(shù).解: 要證明S1=S2只須證明1,2與1,2相互等價, 也就是要驗證1,2能夠被1,2線性表出, 同時1,2也能夠被1,2線性表出.首先驗證1,2能夠被1,2線性表出, 先驗證1能夠被1,2線性表出, 就是要解線性方程組x11+x22=1, 寫成標準的線性方程組的形式為對其增廣矩陣作初等行變換成為行最簡矩陣:方程有唯一解x1=1/3, x2=-1/3. 因此1能夠被1,2線性表出為(1)再驗證2能夠被1,2線性表出, 就是要解線性方程組x11+x22=1, 寫成標準線性方程組的形式為對其增廣矩陣作初等行變換成為行最簡矩陣:方程有唯一解x1=2/3, x2=1/3. 因此1能

35、夠被1,2線性表出為(2)將(1)式和(2)式等號兩邊分別相加, 得而(1)式兩邊乘-2再加到(2)式, 可得因此1,2也能夠被1,2線性表出. 所以兩個向量組生成的子空間S2=S2.下面討論1,2是否線性無關(guān), 即解齊次方程x11+x22=O, 即解如下方程:對此方程的系數(shù)矩陣作行初等變換可見方程沒有自由變量, 只有唯一零解, 因此1,2線性無關(guān), 構(gòu)成S1的一組基, 因此S1的維數(shù)是2.14. 設1,2,n是Rn的一個基, A為n階可逆矩陣, 求證A1,A2,An也是Rn的一個基.解: 這種表述方法是將所有的向量看作是列向量, 即n行一列的矩陣. 任給一向量Rn, 當然有A-1Rn, 又因

36、1,2,n是Rn的一個基, 因此向量A-1可以由1,2,n線性表出, 即存在一組數(shù)c1,c2,cn使得A-1=c11+c22+cnn則在上式兩邊同時左乘矩陣A, 可得=c1A1+c2A2+cnAn即可由A1,A2,An線性表出.下面證A1,A2,An線性無關(guān). 用反證法, 如若不然, 假設A1,A2,An線性相關(guān), 齊次方程組x1A1+x2A2+xnAn=O有非零解, 則方程兩邊左乘A-1可得x11+x22+xnn=O也有非零解, 導出1,2,n線性相關(guān), 這與1,2,n是Rn的一個基相矛盾. 因此A1,A2,An線性無關(guān), 從而也是Rn的一個基.15. 證明: 同一個向量組的任意兩個極大無關(guān)

37、組等價.證: 假設向量組1,2,n的秩為r, 它的兩個極大無關(guān)組為1,2,r和1,2,r, 則因為向量組1,2,r中的每一個向量都是向量組1,2,n中的向量, 當然就能夠被向量組1,2,r線性表出, 反之亦然, 因此向量組1,2,r和向量組1,2,r相互間等價.16. 證明: 等價的向量組有相同的秩.證: 假設向量組1,2,n和向量組1,2,m相互等價, 其中向量組1,2,n的秩為r, 不妨假設其頭r個向量1,2,r為它的一個極大無關(guān)組, 而向量組1,2,m的秩為s, 不妨假設其頭s個向量1,2,s為它的一個極大無關(guān)組. 則因為向量組1,2,n和向量組1,2,m相互等價, 必有它們的極大無關(guān)組

38、1,2,r和1,2,s相互等價, 則兩個線性無關(guān)的向量組相互等價, 必有它們的個數(shù)相同, 即r=s.17. 設向量可以由向量組1,2,r-1,r線性表出, 但向量不能由向量組1,2,r-1線性表出, 試證: 向量組1,2,r-1,r與1,2,r-1,有相同的秩.證: 因可以由向量組1,2,r-1,r線性表出, 即存在一組數(shù)c1,c2,cr-1,cr使得=c11+c22+cr-1r-1+crr(1)現(xiàn)證明cr0, 如若不然, cr=0, 則上式就成為=c11+c22+cr-1r-1, 但這與題意所述不能由向量組1,2,r-1線性表出相矛盾. 因此將(1)式的兩邊減, 然后兩邊減crr, 兩邊再乘

39、(-1/cr), 可得即r可由向量組1,2,r-1,線性表出, 當然向量組1,2,r-1,也可由向量組1,2,r-1,r線性表出, 這兩個向量組等價, 因此必有相同的秩.18. 求下列向量組的秩, 并求出它的一個極大無關(guān)組:1) 1=(2,0,1,1), 2=(-1,-1,0,1), 3=(1,-1,0,0),4=(0,-2,-1,-1)2) 1=(1,2,1,3), 2=(4,-1,-5,-6), 3=(1,-3,-4,-7)解: 1) 解齊次方程組x11+x22+x33+x44=O, 化成AX=O的形式, 對其系數(shù)矩陣A作行初等變換成階梯矩陣, 首項變元的個數(shù)為向量組的秩, 而首項變元對應

40、的向量構(gòu)成極大無關(guān)組.則首項變元x1,x2,x3對應的向量1,2,3構(gòu)成極大無關(guān)組, 因此向量組的秩為3.2) 解齊次方程組x11+x22+x33=O, 化成AX=O的形式, 對其系數(shù)矩陣A作行初等變換成階梯矩陣, 首項變元的個數(shù)為向量組的秩, 而首項變元對應的向量構(gòu)成極大無關(guān)組.首項變元數(shù)為2個，因此秩為2，首項變元x1,x2對應的向量1,2構(gòu)成極大無關(guān)組.19. 求下列矩陣的秩1) ;2) 解: 求矩陣A的秩, 就是求A作為系數(shù)矩陣的齊次方程組AX=O的解中首項變元的數(shù)目. 因此將A作行初等變換變成階梯矩陣后, 不為零的行數(shù)就是A的秩.1) 因此A的秩為22)秩為3.20. 求下列齊次線性

41、方程組的基礎(chǔ)解系, 并寫出其通解:1) 2) 解: 1) 對系數(shù)矩陣作行初行變換:x4為自由變元, 令x4=t, t為任意常數(shù), 則有寫成向量形式為:, 基礎(chǔ)解系為2) 對系數(shù)矩陣作初等行變換有兩個自由變元x2和x4, 令x2=s, x4=t, s,t為任意常數(shù), 則x1=-2x2+x4, x3=0, 寫成向量形式有, 基礎(chǔ)解系為21. 求解下列非齊次線性方程組：1) 2) 解: 1) 對其增廣矩陣作行初等變換:因此, 方程無解.2) 對其增廣矩陣作行初等變換:方程有兩個首項變元x1和x4, 兩個自由變元x2和x3, 令x2=s, x3=t, 其中s,t為任意常數(shù), 則, 將解寫成向量形式,

42、有22. 當a1,a2,b1,b2滿足什么條件時, 下述方程組有解, 當方程組有解時, 求出其通解.解: 對增廣矩陣進行行初等變換,因此, 為使方程有解, 必須有a1+a2-b1-b2=0, 這時有a2=b1+b2-a1. 方程有一個自由變元x4, 令x4=t, t為任意常數(shù), 則x1=a1-b2+x4=a1-b2+t, x2=b2-t, x3=a2-t, 寫成向量形式, 就是23. 設三維向量空間里的兩個基底分別為1,2,3與1,2,3, 且1) 若向量=21-2+33, 求對于基底1,2,3的坐標;2) 若向量=21-2+33, 求對于基底1,2,3的坐標.解: 將兩個基底拼成按列分塊的矩

43、陣, 即令A=(1,2,3), B=(1,2,3), 則A與B均為三階方陣. 則按題意知A與B的關(guān)系為其中則1)即對于基底1,2,3的坐標為3,4,42)由B=AC知A=BC-1, 先求C-1如下:求出則有因此對基底1,2,3的坐標為11/2, -5, 13/2.第五章5. 1. 求如下矩陣的特征值和特征向量:1) ;2) ; 3) 解: (注: 對于三階以上矩陣, 沒有多少可以解出特征值的好辦法, 通常是嘗試0,1,2,-1,-2這幾個值是否特征值, 通過這樣的嘗試找出一個特征值之后, 通過因式分解將多項式化為二次方程再解余下的兩個根).1) 特征方程為解出兩個特征值為:即兩個特征值1=1,

44、 2=-5,對1=1, 解齊次線性方程組, 容易看出方程有一個自由變元x2, 令x2=t為任意常數(shù), 則x1=x2=t, 因此通解為, 則求得1=1對應的特征向量為t(1,1)T.對2=5, 解齊次線性方程組, 此方程也有一個自由變元x2, 令x2=t為任意常數(shù), 則因此通解為, 則求得2=5對應的特征向量為t(-2,1)T2) 特證方程為因此特征值為1=2=7, 3=-2.對于特征值1=2=7, 解齊次方程對系數(shù)矩陣作行初等變換, 方程有兩個自由變元x2,x3, 令x2=s, x4=t, s,t為任意實數(shù)， 則寫成向量形式有,因此特征值1=2=7對應的特征向量為s(-1/2,1,0)T, t

45、(-1,0,1)T.對于特征值3=-2, 解下面的齊次方程對系數(shù)矩陣作行初等變換有一個自由變元x3, 令x3=t為任意常數(shù), 則x1=x3=t, x2=(1/2)x3=(1/2)t, 寫成向量形式, 得因此特征值3=-2對應的特征向量為t(1,1/2,1).3) 特征方程為因此A的三個特征值為1=1, 2=2, 3=2a-1.對于特征值1=1, 解齊次方程對其系數(shù)矩陣作初等行變換,有一個自由變量x2, 令x2=t為任意常數(shù), 則x3=0, x1=(1/3)(a+2)x2-(2a-1)x3=(1/3)(a+2)t, 寫成向量形式, 得即對于應特征值1=1的特征向量為t(a+2)/3,1,0)T.

46、對于特征值2=2, 解齊次方程對系數(shù)矩陣作初等行變換,方程有一個自由變量x3, 令x3=t為任意常數(shù), 則x1=x2=2x3=2t, 寫成向量形式, 得即對應于特征值2=2的特征向量為t(2,2,1)T.對于特征值3=2a-1, 解齊次方程對其系數(shù)矩陣作行初等變換這是為了方便起見使矩陣變成一個倒的階梯形, 可以看出x1為自由變元, 令x1=t為任意常數(shù), 則x2=x1=t, x3=(a-1)x1=(a-1)t, 寫成向量形式:因此, 3=2a-1對應的特征向量為t(1,1,a-1)T.2. 已知A為n階方陣且A2=A, 求A的特征值.解: 設A的一個特征值為, 對應的特征向量為X, 則有AX=

47、X, 又將題意中的條件A2=A代入此式, 得A2X=X, 但A2X=A(AX)=A(X)=AX=2X, 因此有X=2X, 即2X-X=(2-)X=O, 因為X為特征向量則必不為零向量, 因此只能有2-=0, 即(-1)=0, 因此, A的特征值只能取0或者1值.3. A是3階實對稱矩陣, A的特征值為1, -1, 0. 其中=1和=0所對應的特征向量分別為(1,a,1)T及(a,a+1,1)T, 求矩陣A.解: 此題原本不適宜在這一章做. 因為A是實對稱矩陣, 則必有它的各個不同特征值對應的特征向量相互正交, 因此特征向量(1,a,1)與(a,a+1,1)正交, 即對應分量相乘相加后等于0,

48、即, 因此a=-1, =1和=0對應的特征向量為1=(1,-1,1)T及2=(-1,0,1)T, 則因剩下的那個特征向量, 即=-1對應的特征向量3=(x1,x2,x3)T必與1和2正交, 由此可得下面的齊次方程組:對其系數(shù)矩陣作行初等變換, 方程有一個自由變量x3, 令x3=t為任意常數(shù), 則x1=x3=t, x2=2x3=2t, 寫成向量形式, 有, 因此t(1,2,1)T為特征值-1對應的特征向量, 可令3=(1,2,1).T將這三個向量規(guī)范化得則令則必有, 因此有4. 已知有三個線性無關(guān)的特征向量, 求x.解: 特征方程為因此, A有三個特征值1=2=1, 3=-1, 因此, x的選值

49、必須使特征值為重根1的時候?qū)凝R次方程有兩個自由變量, 才能夠得到兩個線性無關(guān)的特征向量.因為待定數(shù)為x, 因此齊次方程就用y1,y2,y3來作變元, 則特征值為1對應的齊次方程為:對系數(shù)矩陣作行初等變換如要方程有兩個自由變元, 必須x=0.5. 判斷第一題中各矩陣是否可對角化. 如可對角化, 求可逆矩陣T, 使得T-1AT為對角陣.解: 各矩陣是否可對角化的等價條件是要有與矩陣階數(shù)一樣多的線性無關(guān)的特征向量.1) 矩陣A有兩個線性無關(guān)的特征向量1=(1,1)T, 2=(-2,1)T, 因此可對角化,2) 矩陣A有三個線性無關(guān)的特征向量1=(-1/2,1,0)T,2=(-1,0,1)T,3=

50、(1,1/2,1)T,因此可對角化,3) A的三個特征值為1=1, 2=2, 3=2a-1. 當31且32時, 特征方程沒有重根, 三個特征值不同, 因此對應的必有三個線性無關(guān)的特征向量, A可對角化, 三個特征向量為1=(a+2)/3,1,0)T,2=(2,2,1)T,3=(1,1,a-1)T, 因此而當3=2a-1=1時, a=1, 這時候1=3=(1,1,0)T, 則不夠三個線性無關(guān)的特征向量, 矩陣A不能被對角化.當3=2a-1=2時, a=3/2, 這時候3=(1,1,1/2)T=(1/2)2, 即與2線性相關(guān), 這樣就還是不夠三個線性無關(guān)的特征向量, 矩陣A也不能被對角化.6. 已

51、知有特征值1和-1, 問A是否能對角化?解: 將已知的特征值1和-1分別代入特征方程, 可得關(guān)于a和b的兩個方程, 先將特征值1代入特征方程得得a=-1,再將特征值-1代入特征方程得將a=-1代入上式, 得因此有a=-1,b=-3, 則看A除了1和-1外還有沒有其它的特征值, 再重解特征方程,因此知道矩陣A除了1和-1這兩個特征值外還有一個特征值-2, 這樣三個不同的特征值必有三個線性無關(guān)的特征向量, A可對角化.7. 已知能對角化, 求An(n1).解: 先求A的特征方程由此可見A有三個特征值, 1=0, 2=3=1. 因此, 因為A能夠?qū)腔? 必須對應于重根2=3=1有兩個線性無關(guān)的特征

52、向量, 對于特征值1解下面的齊次方程求對應的特征向量,對其系數(shù)矩陣作行初等變換,可以看出如果此齊次方程要有兩個線性無關(guān)的基礎(chǔ)解系, 就必須有兩個自由變量, y3已經(jīng)是一個自由變量, 因此需要y2也是自由變量, 這就要求上面矩陣的第二行全為零, 即x+2=0得x=-2, 矩陣.這時候, A能對角化, 所以存在方陣T使,上式兩邊同時左乘T及右乘T-1可得注意到因此有8. 設A,B是n階方陣, 證明AB與BA具有相同的特征值.證: 假設AB之一可逆，比如A可逆，則命題是成立的，因為AB的特征多項式為因此AB和BA的特征多項式相同，當然其特征值也就相同。而如果B可逆，同樣有如果A與B都不可逆，如果它們

53、之一是零矩陣O，AB=BA=O，當然都有特征值0。而如果它們都不是零矩陣，那么，對矩陣A進行一系列行變換和一系列的列變換之后，總能得到一個對角矩陣，從左上角到右下角是先是1再是，也就是說存在著可逆矩陣P和Q使得，即, 也將矩陣按與同樣的辦法分塊, 假設則而因此, AB與BA的特征多項式相等, 它們的特征值也一樣.9. 已知1,2,3是A的特征值, 1,2,3是相應的特征向量, 如果1+2+3仍是A的特征向量, 證明1=2=3.證: 如1,2,3及1+2+3都是A的特征向量, 假設1+2+3對應的特征值為, 則有A1=11, A2=22, A3=33, 和A(1+2+3)=(1+2+3)(1)但

54、A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33(2)將(1),(2)兩式左邊與右邊分別相減, 得(1+2+3)-11-22-33=O整理后得(-1)1+(-2)2+(-3)3=O而因為1,2,3是對應于三個特征值的特征向量, 則必線性無關(guān), 因此上式要成立必須1,2,3的系數(shù)都為0, 即則必有1=2=3, 證畢.第六章6. 1. 求由下列向量所構(gòu)成的標準正交基:1) 1=(2,0)T, 2=(1,1)T2) 1=(3,4)T, 2=(2,3)T3) 1=(2,0,0)T, 2=(0,1,1)T, 3=(5,6,0)T.解: 用斯密特正交化方法,1) 1=1=(2,0)T,再進行規(guī)范化,

55、令則1, 2構(gòu)成標準成交基.2) 1=1=(3,4)T,再進行規(guī)范化, 令3) 1=(2,0,0)T,另有因此對1,2,3作規(guī)范化得2. 在四維向量空間中找出一單位向量與下列向量都正交。1=(1,1,-1,1)T, 2=(1,-1,-1,1)T, 3=(2,1,1,3)T解: 假設X=(x1,x2,x3,x4)T與1,2,3都正交, 則必有=0, i=1,2,3, 這構(gòu)成了如下的齊次方程組:對系數(shù)矩陣做初等行變換, 方程有一個自由變量x4, 令x4=t為任意常數(shù), 則x1=-(4/3)x4=-(4/3)tx2=0, x3=-(1/3)x4=-(1/3)t, 寫成向量形式, 得不妨取t=3, 則X=(-4,0,-1,3)T, 并有將X單位化得到: 3. 下列矩陣是否正交矩陣? 若是, 求出它的逆矩陣.1) 2) 解: 1) 不是, 因為第一列和第二列構(gòu)成的列向量的內(nèi)積, 它們不正交, 因此不是正交矩陣.2) 設則因此是正交矩陣.4. 用施密特正交化方法將向量空間的一個基1=(1,-1,0)T, 2=(1,0,1)T, 3=(1,-1,1)T化成標準正交基, 并求=(1,2,3)T在該基下的坐標.解: 1=1=(1,-1,0)T,對1,2,3進行規(guī)范化得標準正交基為求=(1,2,3)