2014-2015學年高中數(shù)學（蘇教版選修2-1） 第2章 圓錐曲線與方程 2.6.3 課時作業(yè)

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1、 2.6.3　曲線的交點 課時目標　1.會求兩條曲線的交點.2.會判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.3.能解決有關(guān)直線與圓錐曲線的綜合問題． 1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 設(shè)直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線M的方程為f(x，y)＝0，則由可得(消y)ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 位置關(guān)系 交點個數(shù) 方程 相交 Δ>0 相切 Δ＝0 相離 Δ<0 2.直線與圓錐曲線相交形成的弦長問題 (1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長P1P2＝________________(用x1，x2表

2、示)或P1P2＝ ________________(用y1，y2表示)，其中求|x2－ x1|與|y2－y1|時通常使用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形|x2－x1|＝ ，|y2－y1|＝. (2)當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用軸上兩點間距離公式)． (3)經(jīng)過圓錐曲線的焦點的弦(也稱焦點弦)的長度，應用圓錐曲線的定義，轉(zhuǎn)化為兩個焦半徑之和，往往比用弦長公式簡捷． 一、填空題 1．若直線y＝kx＋1與焦點在x軸上的橢圓＋＝1總有公共點，則m的取值范圍是__________． 2．已知直線l：y＝x＋b與曲線C：y＝有兩個公共點，則b的取值范圍為___

3、_______． 3．雙曲線－＝1 (mn≠0)的離心率為2，有一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，則mn的值為________． 4．已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于直線x＋y＝0對稱的相異兩點A、B，則AB＝________. 5．過點M(3，－1)且被點M平分的雙曲線－y2＝1的弦所在直線方程為____________． 6．拋物線y2＝12x截直線y＝2x＋1所得的弦長為________． 7．橢圓＋＝1和雙曲線－y2＝1的公共焦點為F1、F2，P是兩曲線的一個交點，那么cos∠F1PF2的值是______． 8．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A、B兩

4、點，則△AOB的形狀是______________． 二、解答題 9．若拋物線y＝－x2－2x＋m及直線y＝2x相交于不同的兩點A、B. (1)求m的取值范圍；(2)求AB. - 1 - / 9 10.已知橢圓＋＝1，過點P(2,1)作一弦，使弦在這點被平分，求此弦所在直線的方程． 能力提升 11．若直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點，則b的取值范圍是__________． 12．已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過

5、M作x軸的垂線交拋物線C于點N. (1)證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行； （2）是否存在實數(shù)k使＝0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由． 1．設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線：f(x，y)＝0，由　得ax2＋bx＋c＝0. (1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，則 ①Δ>0，直線l與圓錐曲線有兩個不同交點． ②Δ＝0，直線l與圓錐曲線有唯一的公共點． ③Δ<0，直線l與圓錐曲線沒有公共點． (2)若a＝0，當圓錐曲線為雙曲線時，l與雙曲線的漸近線平行或重合；

6、當圓錐曲線為拋物線時，l與拋物線的對稱軸平行或重合． 2．涉及直線被圓錐曲線截得的弦的中點問題時，常用一元二次方程與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)，這樣可直接得到兩交點的坐標之和，也可用設(shè)而不求的方法(“點差法”)找到兩交點坐標之和，直接與中點建立聯(lián)系． 3．有關(guān)曲線關(guān)于直線對稱的問題，只需注意兩點關(guān)于一條直線對稱的條件：(1)兩點連線與該直線垂直(斜率互為負倒數(shù))；(2)中點在此直線上(中點坐標適合對稱軸方程)． 2．6.3　曲線的交點 知識梳理 1．兩個　一個　無 2．(1)|x1－x2|　|y1－y2| 作業(yè)設(shè)計 1．[1,5) 2．[1，) 解析　根據(jù)數(shù)形結(jié)合找b的范圍．

7、 3. 解析　m＋n＝c2＝1，e＝＝＝2， ∴m＝，n＝. 4．3 解析　設(shè)AB的方程為y＝x＋b，與y＝－x2＋3聯(lián)立得：x2＋x＋b－3＝0， ∴Δ＝1－4(b－3)>0，x1＋x2＝－1，x1x2＝b－3. ∴AB的中點C在x＋y＝0上： 即－＋b－＝0解得b＝1符合Δ>0， ∴弦長AB＝＝3. 5．3x＋4y－5＝0 解析　這條弦的兩端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率為k，則 兩式相減再變形得 ＝(y1＋y2)(y1－y2)， 又弦中點為M(3，－1)，故k＝－. 故這條弦所在的直線方程為y＋1＝－(x－3)， 即3x＋4y－5＝0. 6.

8、 解析　由得4x2－8x＋1＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝. ∴所得弦長為|x1－x2| ＝＝. 7. 解析　由題意可知，點P既在橢圓上又在雙曲線上，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義， 可得 ∴ 又F1F2＝2c＝4， ∴cos∠F1PF2＝ ＝＝. 8．直角三角形 解析　由 得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1) ＝1＋k2(1－＋1)＝0， ∴＝0，∴OA⊥OB， 所以△AOB是直角三角形． 9．解　(1)依題意得方程組 把②代入①，

9、得2x＝－x2－2x＋m， 即x2＋4x－m＝0.　　?、? 因為拋物線與直線有兩個公共點， 所以Δ＝42－4(－m)>0，∴m>－4. (2)設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 根據(jù)(1)中③x2＋4x－m＝0， 得x1＋x2＝－4，x1x2＝－m， 所以AB＝ ＝ ＝2. 10．解　方法一　 如圖所示，設(shè)所求直線的方程為y－1＝k(x－2)，代入橢圓方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個根， ∴x1＋x2＝. ∵P為弦A

10、B的中點， ∴2＝＝，解得k＝－， ∴所求直線的方程為x＋2y－4＝0. 方法二　設(shè)直線與橢圓的交點為 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵P為弦AB的中點，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又∵A、B兩點在橢圓上， ∴x＋4y＝16，x＋4y＝16. 兩式相減，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝＝－， 即kAB＝－. ∴直線方程為y－1＝－(x－2)， 即x＋2y－4＝0. 方法三　設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A(x，y)，另一個交點為B(4－x,2－y)， ∵A、B兩點在

11、橢圓上，∴x2＋4y2＝16，① (4－x)2＋4(2－y)2＝16.② 從而A、B在方程①－②所得直線x＋2y－4＝0上，由于過A、B的直線只有一條， ∴所求直線的方程為x＋2y－4＝0. 11．[1－2，3] 解析　曲線方程可化簡為(x－2)2＋(y－3)2＝4 (1≤y≤3)，即表示圓心為(2,3)，半徑為2的半圓，依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當直線y＝x＋b與此半圓相切時需滿足圓心(2,3)到直線y＝x＋b距離等于2，解得b＝1＋2或b＝1－2，因為是下半圓，故可得b＝1＋2(舍)，當直線過(0,3)時，解得b＝3，故1－2≤b≤3. 12．(1)證明　 如圖所示，設(shè)A(x1,2x

12、)，B(x2,2x)， 把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0， 由韋達定理得x1＋x2＝，x1x2＝－1， ∴xN＝xM＝＝， ∴N點的坐標為. 設(shè)拋物線在點N處的切線l的方程為 y－＝m， 將y＝2x2代入上式得2x2－mx＋－＝0. ∵直線l與拋物線C相切， ∴Δ＝m2－8＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，∴m＝k，即l∥AB. 故拋物線C在點N處的切線與AB平行． (2)解 假設(shè)存在實數(shù)k，使＝0， 則NA⊥NB. 又∵M是AB的中點，∴MN＝AB. 由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2) ＝[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2. ∵MN⊥x軸，∴MN＝|yM－yN| ＝＋2－＝. 又AB＝|x1－x2| ＝ ＝ ＝. ∴＝，解得k＝2. 即存在k=2，使＝0. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！