工程力學(xué)教學(xué)課件 第7章 彎曲變形

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1、1 彎 曲 變 形 第 七 章 目錄 2 第七章 彎曲變形 7-1 概述 7-2 撓曲線的近似微分方程 7-3 用積分法求梁的變形 7-4 用疊加法求梁的變形 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 7-6 用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁 目錄 目錄 3 7-1 概 述 7-1 目錄 4 7-1 概 述 目錄 5 7-1 概 述 目錄 6 7-2 撓曲線的近似微分方程 1.基本概念 撓曲線方程： )(xyy 由于小變形，截面形心在 x方向的位移忽略不計(jì) 撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為： dx dy tan 撓曲線 y x x y 撓度 轉(zhuǎn)角 撓度 y：截面形心 在 y方向的位移 y 向上為正 轉(zhuǎn)角 ：截面繞中性軸

2、轉(zhuǎn)過的角度。 逆鐘向?yàn)檎?7-2 目錄 7 2.撓曲線的近似微分方程 推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時(shí)，得到： zEI M 1 忽略剪力對(duì)變形的影響 zEI xM x )( )( 1 7-2 撓曲線的近似微分方程 目錄 8 由數(shù)學(xué)知識(shí)可知： 32 2 2 )(1 1 dx dy dx yd 略去高階小量，得 2 21 dx yd 所以 zEI xM dx yd )( 2 2 2 M ( x ) 0 M ( x ) 0 O d y d x 2 0 x y M ( x ) 0 O d x d y 02 2 y x M ( x ) b。 解 1）由梁整體平衡分析得： l FaF l FbFF ByAyAx ,0 2

3、）彎矩方程 axxlFbxFxM Ay 1111 0, AC 段： lxaaxFxlFbaxFxFxM Ay 222222 ),()(CB 段： 7-3 用積分法求梁的變形 目錄 maxy a b 1x 2x A CD F x AyF ByF A B y B 18 3）列撓曲線近似微分方程并積分 112 1 1 2 )( xlFbxMdx ydEI 1 2 1 1 1 12)( Cxl FbxEI dx dyEI 11131 16 DxCxl FbE I y AC 段： ax 10 )()( 2222 2 2 2 axFxlFbxMdxydEI 2 2 2 2 2 2 2 )( 22)( 2

4、Cax Fx l FbxEI dx dyEI 222 3 2 3 2 )(66 2 DxCax Fx l FbE Iy CB 段： lxa 2 7-3 用積分法求梁的變形 目錄 maxy a b 1x 2x A CD F x AyF ByF A B y B 19 4）由邊界條件確定積分常數(shù) 0)(, 22 lylx 0)0(,0 11 yx 代入求解，得 位移邊界條件 光滑連續(xù)條件 )()(, 2121 aaaxx )()(, 2121 ayayaxx l FbF b lCC 66 1 3 21 021 DD 7-3 用積分法求梁的變形 目錄 maxy a b 1x 2x A CD F x A

5、yF ByF A B y B 20 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程 )(62 2221 1 bllFbxlFbEI 12231 )(66 1 xbll Fbx l FbEIy AC 段： ax 10 )(6)(22 2222222 bllFbaxFxlFbEI 2 223 2 3 22 )(6)(66 xbll FbaxFx l FbEIy CB 段： lxa 2 7-3 用積分法求梁的變形 目錄 maxy a b 1x 2x A CD F x AyF ByF A B y B 21 6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度 令 得， 0dxd )(6, m ax alE IlF a blx B 令 得， 0dx

6、dy )(39 )(,3 322 m ax 22 EIl blFbyblx 7-3 用積分法求梁的變形 目錄 maxy a b 1x 2x A CD F x AyF ByF A B y B 22 例 4 用積分法計(jì)算圖示各梁需分幾段，確定積分常數(shù)的邊界 條件和變形連續(xù)條件是什么？ A C D P2 x1 x3 y B P1 l/2 l/4 l/4 x2 x q q A B C x x y l EA a 0,4/ 11 ylx 0,4/ 22 ylx 0,4/3 22 ylx 0,4/3 33 ylx 3232 ,4/3 lxx 2121 ,4/ lxx 0,0 yx ,lx BCly EA q

7、 la 2 7-3 用積分法求梁的變形 目錄 23 例 5 用積分法計(jì)算圖示各梁需分幾段，確定積分常數(shù)的邊界 條件和變形連續(xù)條件是什么？ A C P x3 y B l/2 l/2 x2 x q q A B x1 x y l 0,2/ 11 ylx 0,2/ 22 ylx 0,2/3 22 ylx 3232 , lxx 2121 ,2/ lxx 0,0 11 yx l/2 x1 3232 , yylxx D D C x2 x3 l/2 l/2 l 0, 11 ylx 0, 22 ylx 0,2 33 ylx 2121 , lxx 3232 ,2/3 yylxx 7-3 用積分法求梁的變形 目錄

8、24 討 論 積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？ 7-3 用積分法求梁的變形 目錄 優(yōu)點(diǎn) :數(shù)學(xué)方法；缺點(diǎn)：運(yùn)算繁冗 25 7-4 用疊加法求梁的變形 )(2 2 xMEIy dx ydEI 設(shè)梁上有 n 個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩 為 M(x)，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為 y，則有： )(xME I y ii 若梁上只有第 i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩 為 ，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為 ，則有： i iy)(xMi 由彎矩的疊加原理知： )()( 1 xMxM n i i 所以， )()( 11 xMyEIyEI n i i n i i 7-4 目錄 26 故 )( 1 n i iyy 由于梁的邊界條件不變，因此

9、 , 1 n i i n i iyy 1 重要結(jié)論： 梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等 于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。 這就是 計(jì)算彎曲變形的疊加原理 。 7-4 用疊加法求梁的變形 目錄 27 一、簡(jiǎn)單梁簡(jiǎn)單荷載下的變形 A B EI l A B EI l A B EI l m ,EImlB EI mly B 2 2 P ,2 2 EI Pl B EI Ply B 3 3 q ,6 3 EI ql B EI qly B 8 4 7-4 用疊加法求梁的變形 目錄 28 A B m A B l/2 A B EI EI EI q l/2 P l/2 l/2 l/2 l/2 C

10、 C C ,3 EI ml A EI ml B 6 EI mly C 16 2 EI Pl BA 16 2 EI Ply C 48 3 EI ql BA 24 3 EI qly C 384 5 4 7-4 用疊加法求梁的變形 目錄 29 二、疊加法計(jì)算梁的變形 A B l/2 EI l/2 P C m=Pl A B EI l/2 l/2 C A B l/2 EI l/2 P C = + m=Pl , 33 2 EI Pl EI ml Am EI Pl EI mly Cm 1616 32 ,16 2 EI Pl AP EI Ply CP 48 3 EI Pl APAmA 48 19 2 EI P

11、l yyy CPCmC 12 3 = = + + 7-4 用疊加法求梁的變形 目錄 30 三、幾種基本變化 懸臂梁 a b A B P C EI C B C Cy bC y B EI Pa CB 2 2 EI bPa EI Pabyy CCB 23 23 31 外伸梁 P BA B C l a y c y c1 B a A B l a P Fs= P M=Pa P B B B C B C C Ba yc1 P EI P a l EI Ml B 33 EI Pa C 2 2 1 EI Pay C 3 3 1 EI Pa EI Pal CBC 23 2 1 EI Pa EI lPayay CBC

12、33 32 1 C 32 例 已知簡(jiǎn)支梁受力如圖示， q、 l、 EI均為已知。求 C 截面 的撓度 yC ； B截面的轉(zhuǎn)角 B 1）將梁上的載荷分解 321 CCCC yyyy 321 BBBB yC1 yC2 yC3 2）查表得 3種情形下 C截面的 撓度和 B截面的轉(zhuǎn)角 。 EI ql B 24 3 1 EI ql B 16 3 1 EI ql B 3 3 3 EI qly C 384 5 4 1 EI qly C 48 4 2 EI qly C 16 4 3 解 7-4 用疊加法求梁的變形 目錄 33 yC1 yC2 yC3 3） 應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷 作用時(shí)的結(jié)果求和 )( 384

13、 11 1648384 5 4 4443 1 EI ql EI ql EI ql EI ql yy i CiC )( 48 11 31624 3 3333 1 EI ql EI ql EI ql EI ql i BiB 7-4 用疊加法求梁的變形 目錄 34 例 已知：懸臂梁受力如圖 示， q、 l、 EI均為已知。求 C 截面的撓度 yC和轉(zhuǎn)角 C 1）首先，將梁上的載荷變成 有表可查的情形 為了利用梁全長(zhǎng)承受均 布載荷的已知結(jié)果，先將均 布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，為 了不改變?cè)瓉磔d荷作用的效 果，在 AB 段還需再加上集 度相同、方向相反的均布載 荷。 Cy 解 7-4 用疊加法求梁的變形 目

14、錄 35 Cy 2Cy 1Cy 2By ,8 41 EIqly C , 2481 2 8 2 34 222 l EI ql EI ql l yy BBC EI ql C 6 3 1 EI ql C 48 3 2 EI qlyy i CiC 384 41 42 1 3）將結(jié)果疊加 EI ql i CiC 48 7 32 1 2）再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單 載荷作用的情形，計(jì)算各自 C截 面的撓度和轉(zhuǎn)角。 7-4 用疊加法求梁的變形 目錄 36 例 8 求圖示階梯形懸臂梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。 A B C 2EI a a P EI A C 2EI a B C P Fs= P Fs=P a B P EI

15、 M=Pa EI Pa EI Pa EI Pa EI aF EI Ma s C 4 3 42)2(22 2222 EI Pa EI Pa EI Pa EI aF EI May s C 12 5 64)2(3)2(2 33332 ,2 2 1 EI Pa B ,3 3 1 EI Pay B 解： C 7-4 用疊加法求梁的變形 目錄 37 A B C 2EI a a P EI A C 2EI a B C P Fs= P Fs= P a B P EI M=Pa ,43 2 EI Pa C EI Pay C 12 5 3 ,2 2 1 EI Pa B ,3 3 1 EI Pay B EI Pa EI

16、 Pa EI Pa CBB 4 5 4 3 2 222 1 EI Pa EI Pa EI Pa EI Paayyy CCBB 2 3 4 3 12 5 3 3333 1 C 7-4 用疊加法求梁的變形 目錄 38 例 9 求圖示外伸梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。 A B C l l/2 q P=ql/2 A B l l/2 P=ql/2 Fs=ql/ 2 M=Pl2/4 Fs B C 解： B C P EI ql EI ql EI lPl EI ql EI Ml B 24 243 )4/( 243 3 323 q EI ql EI lql EI ql EI lP BC 48 5 2 )2/)(2/(

17、242 )2/( 3232 EI ql EI lqll EI ql EI lPly BC 243 )2/)(2/( 2243 )2/( 2 4333 EI EI 7-4 用疊加法求梁的變形 目錄 39 討 論 疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？ 7-4 用疊加法求梁的變形 目錄 40 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 1.剛度條件 7-5 目錄 梁要正常工作，其應(yīng)力要控制在一定的范圍內(nèi)，即滿足 強(qiáng)度條件 ；同時(shí)梁的變形也要控制在一定的范圍內(nèi)，即滿足 剛度條件 。 土建類工程，主要要求梁的最大撓度與跨長(zhǎng)之比要小于 或等于容許值，即 l y l y m a x 41 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度

18、的措施 7-5 目錄 機(jī)械類工程，傳動(dòng)軸是裝在軸 承上，軸的轉(zhuǎn)角過大會(huì)損壞軸承， 因此要求軸在軸承處的轉(zhuǎn)角必須小 于或等于容許值，即 m ax 建筑鋼梁的許可撓度： 1000250 ll 機(jī)械傳動(dòng)軸的許可轉(zhuǎn)角： 3000 1 精密機(jī)床的許可轉(zhuǎn)角： 5000 1 42 根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承 B 處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。 B 1） 由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁 B 處的轉(zhuǎn)角為： EI F la B 3 解 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 目錄 例 已知鋼制圓軸左端受力為 F 20 kN， a l m， l 2 m， E=206 GPa。軸承 B處的許可轉(zhuǎn) 角 =

19、0.5 。根據(jù)剛度要求 確定軸的直徑 d。 43 例 已知鋼制圓軸左端受力為 F 20 kN， a l m， l 2 m， E=206 GPa。軸承 B處的許可轉(zhuǎn) 角 =0.5 。根據(jù)剛度要求 確定軸的直徑 d。 B 2） 由剛度條件確定軸的直徑： B 1 1 1 m mm10111 5.0102063 18012102064 3 18064 3 4 29 3 4 E F l a d 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 目錄 1 803 EIF l a EF l aI 3 180 E F lad 3 180 64 4 44 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 2.提高梁剛度的措施 目錄

20、 1） 增大梁的抗彎剛度 EI 因各種鋼材的彈性模量差別不大，對(duì)于鋼梁來說，只有 改善截面形狀，增大截面的慣性矩，才能提高梁的抗彎剛度 EI。如采用工字形、槽形、箱形等。 45 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 2.提高梁剛度的措施 選擇合理的截面形狀 目錄 46 2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 目錄 減小梁的跨度 因梁的變形與跨度的若干次冪成正比，減小跨度可有效 地降低梁的變形。如改變支座位置、增加支座等。 A B EI q l A B EI l q 9/2l 9/2l EI qly 384 5 4 m a x EI qly 384 11.0 4

21、 m a x 47 2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值 改 變 支 座 形 式 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 目錄 48 2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值 改 變 載 荷 類 型 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 目錄 %5.62 1 2 C C w w 49 3）采用超靜定結(jié)構(gòu) 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 目錄 50 3）采用超靜定結(jié)構(gòu) 7-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 目錄 51 7-6 用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁 1.基本概念： 超靜定梁： 支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁 多余約束： 從維持平衡角度而言 ,多余的約束 超靜定次數(shù)： 多余約束或多余支反力的數(shù)

22、目。 2.求解方法： 解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng) 比較變形，列變 形協(xié)調(diào)條件 由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程 利用 靜力平衡條件求其他約束反力。 相當(dāng)系統(tǒng)： 用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng) 7-6 目錄 52 2 a ( d ) (c) ( b ) (a) a M M B B F C A A F A y A C F CBA F B y F CBA A 解 例 求梁的支反力，梁的抗彎 剛度為 EI。 2 a ( d ) (c) ( b ) (a) a M M B B F C A A F A y A C F CB A F B y F C BA A 1）判定超靜定次數(shù) 2）解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng) (

23、d) A B C F B y A B F C 0)()( ByFBFBB yyy 7-6 用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁 目錄 3）進(jìn)行變形比較，列出變形協(xié) 調(diào)條件 53 4）由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程 EI Faaa EI aFy FB 3 14)29( 6 )2()( 32 EI aFy By FB By 3 8)( 3 038314 33 EIaFEIFa By所以 FFBy 47 4）由整體平衡條件求其他約束反力 )(43),(2 FFFaM AyA 7-6 用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁 目錄 2 a ( d ) (c) ( b ) (a) a M M B B F C A A F A y A

24、C F CBA F B y F CBA A 2 a ( d ) (c) ( b ) (a) a M M B B F C A A F A y A C F CB A F B y F C BA A (d) A B C F B y A B F CAM AyF 54 例 11 求圖示結(jié)構(gòu)中拉桿 BC 的軸力。 B C A EA q a EI l B A EI q FNBC 解： 去掉 BC 桿，帶之以軸力 FNBC。 BCB ly 34 83 N B C N B CF l F aql E I E I E A )3(8 3 3 4 AlaI qAlF BCN 7-6 用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁 目錄 55

25、 例 11 梁 AB 和 BC 在 B 處鉸接， A、 C 兩端固定，梁的抗彎剛 度均為 EI， F = 40kN， q = 20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。 從 B 處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變 成兩個(gè)懸臂梁。 變形協(xié)調(diào)方程為： 21 BB yy BBFF FB MA FA yB1 FB MC FC yB2 物理關(guān)系 EI F EI qy B B 3 4 8 4 34 1 EIFEIFy B B3 42436 2 322 解 7-6 用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁 56 FB FB MA FA MC FC yB1 yB2 kN75.848 42046 104023 3 4 2 BF 代入得補(bǔ)充方程

26、： EIFEIFEIFEIq BB 3 42436 23 48 4 3234 確定 A 端約束力 04,0 qFFF BAy kN25.7175.82044 BA FqF 0424,0 BAA FqMM mkN12575.842204 424 BA FqM 7-6 用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁 57 FB FB MA FA MC FC yB1 yB2 0,0 FFFF CBy 確定 B 端約束力 kN75.48 75.840 BC FFF 042,0 BCC FFMM k N . m11540275.84 24 FFM BC 7-6 用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁 58 MA FA MC FC A、

27、 B 端約束力已求出 最后作梁的剪力圖和彎矩圖 )( )( 25.71 75.8 75.48 kN SF )(kN25.71AF )k N (75.48CF )(mkN1 25 AM )m(kN1 15 CM )( 125 115 94.1 5.17 )mkN( M )( 7-6 用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁 59 7-7 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 1.剛度條件 , m a xm a x ww 建筑鋼梁的許可撓度： 1000250 ll 機(jī)械傳動(dòng)軸的許可轉(zhuǎn)角： 3000 1 精密機(jī)床的許可轉(zhuǎn)角： 5000 1 7-5 目錄 60 根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承 B 處轉(zhuǎn)角不超

28、過許用數(shù)值。 B 1） 由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁 B 處的轉(zhuǎn)角為： EI F la B 3 解 目錄 例 7 已知鋼制圓軸左端受力為 F 20 kN， a l m， l 2 m， E=206 GPa。軸承 B處的許可轉(zhuǎn) 角 =0.5 。根據(jù)剛度要求 確定軸的直徑 d。 7-7 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 61 例 7 已知鋼制圓軸左端受力為 F 20 kN， a l m， l 2 m， E=206 GPa。軸承 B處的許可轉(zhuǎn) 角 =0.5 。根據(jù)剛度要求 確定軸的直徑 d。 B 2） 由剛度條件確定軸的直徑： B 1 1 1 m mm10111 5.0102063 1801210

29、2064 3 18064 3 4 29 3 4 E F l a d 目錄 1 803 EIF l a EF l aI 3 180 E F lad 3 180 64 4 7-7 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 62 2.提高梁剛度的措施 1）選擇合理的截面形狀 目錄 7-7 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 63 2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值 改 變 支 座 形 式 目錄 7-7 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 64 2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值 改 變 載 荷 類 型 目錄 %5.62 1 2 C C w w 7-7 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 65 3）采用超靜定結(jié)構(gòu) 目錄 7-7 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 66 小結(jié) 1、明確撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角的概念 2、掌握計(jì)算梁 變形的積分法和疊加法 3、學(xué)會(huì)用 變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定問題 目錄