工程力學(xué)教學(xué)課件 第6章 彎曲應(yīng)力

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1、1 第 六 章 彎 曲 應(yīng) 力 2 回 顧 與 比 較 內(nèi) 力 AF應(yīng) 力 PIT FAy FSM ? ? 3 61 概述 62平面圖形的幾何性質(zhì) 64 彎曲切應(yīng)力65 梁的強(qiáng)度計(jì)算66 提高梁強(qiáng)度的主要措施67 彎曲中心 68 組合梁63 彎曲正應(yīng)力 4 一、平面彎曲縱向?qū)ΨQ(chēng)面P1 P2 5 P Pa aA BFsM xx二、純彎曲C D 圖示梁 AB 段橫截面上只有彎矩，而無(wú)剪力，該段梁的彎曲稱(chēng)為。 C A與BD 段橫截面上即有彎矩，又有剪力，該兩段梁的彎曲稱(chēng)為。 6 截 面 的 幾 何 性 質(zhì) :與 構(gòu) 件 的 截 面 的 形 狀 和尺 寸 有 關(guān) 的 幾 何 量 。 如 拉 伸 時(shí) 遇

2、 到 的 截面 面 積 、 扭 轉(zhuǎn) 時(shí) 遇 到 的 極 慣 性 矩 。 7 形 心 ： 幾 何 形 狀 的 中 心 。AdAyyAzdAz ACAC , o dAyyzz yczc c M 等 厚 、 均 質(zhì) 薄 板 的 重 心 與 平面 圖 形 的 形 心 相 重 合 。 形 心 坐 標(biāo) 公 式 8 靜 矩 ： o dAyyzz y czc c M靜 矩 的 量 綱 單 位 為 m3或 cm3。 Ay Az zdAS ydAS由 形 心 坐 標(biāo) 公 式 得 ： CAy CAz AzzdAS AyydAS 9 慣 性 矩 ： o dAyyzz yczc c M慣 性 矩 和 慣 性 積 的 單

3、 位 m4或 cm4。 22 ,z Ay AI y dAI z dA慣 性 積 ： Azy zydAI 10 一、純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力 實(shí)驗(yàn)觀察 11ab cd MM b da c 縱向直線(xiàn)代表一層纖維，變形后為平行曲線(xiàn)。每層變成曲面，同層纖維變形相同。 下層纖維受拉伸長(zhǎng)，上層纖維受壓縮短；層間變形連續(xù)，中間必有一層即不伸長(zhǎng)也不縮短，稱(chēng)為。 橫線(xiàn)代表一橫截面，變形后仍為直線(xiàn)，但轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，且仍與縱線(xiàn)正交。橫截面與中性層的交線(xiàn)稱(chēng)為。 12 基本假設(shè) 中 性 層縱 向 對(duì) 稱(chēng) 面 中 性 軸 平面假設(shè)：梁的橫截面變形后仍為平面，且與梁變形后的軸線(xiàn)正交； 層間纖維無(wú)擠壓。 13 變形幾何關(guān)系 取一微

4、段dx dxa bc do1k1 k2o2 d oa bc d 2k2o1o1ky 變形前變形后ddxoo 21 dykk )( 21 yd ddy dxkkl )( 21 ydyddxl 14 變形物理關(guān)系 yEE yy xzdAz 其中y 為橫截面上求應(yīng)力那點(diǎn)相對(duì)中性軸的坐標(biāo)， 為中性層變形后的曲率半徑。欲求橫截面上一點(diǎn)應(yīng)力必須知道中性軸的位置和中性層的曲率半徑。 靜力關(guān)系 橫截面正應(yīng)力滿(mǎn)足如下關(guān)系：0AN dAF 0Ay dAzM 15y y xzdAzMdAyM Az 由： AAN ydAEdAF 0 0 zAN SEydAEF 必有橫截面靜矩Sz=0 ，z 軸過(guò)截面形心。由：0 yz

5、AAy SEyzdAEdAzM C必有橫截面慣性積 Syz=0 ，z 軸為形心主軸。 16y y xzdAzC由：MdAyM Az MIEdAyEdAy zAA 2 zEIM 1其中EIz 表征桿件抵抗彎曲變形的能力，稱(chēng)為。yIMyE z 于是得： 17y y xzdAzCyIMz 由該式可知橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力大小與各點(diǎn)到中性軸的距離成正比，中性軸上各點(diǎn)正應(yīng)力為零，離中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)正應(yīng)力最大。z z m ax m axC C 18 令,m axyIW zz 上式可改寫(xiě)為zWMm axWz 稱(chēng)為單位：m3。m axm ax yIMz 上述分析是在平面假設(shè)下建立的，對(duì)于橫力彎曲，由于橫截面上還有剪力

6、，變形后截面會(huì)發(fā)生翹曲，平面假設(shè)不再成立。當(dāng)截面尺寸與梁的跨度相比很小時(shí)，翹曲很小，可按平面假設(shè)分析嗎? 19 橫 力 彎 曲 6-2 20 橫 力 彎 曲 正 應(yīng) 力 公 式 彎 曲 正 應(yīng) 力 Z )(I yxM 彈 性 力 學(xué) 精 確 分 析 表 明 ， 當(dāng) 跨 度 l 與 橫截 面 高 度 h 之 比 l / h 5 （ 細(xì) 長(zhǎng) 梁 ） 時(shí) ， 純彎 曲 正 應(yīng) 力 公 式 對(duì) 于 橫 力 彎 曲 近 似 成 立 。 Z m axm axm ax I yM 橫 力 彎 曲 最 大 正 應(yīng) 力 zWM m axm ax 21 彎 曲 正 應(yīng) 力 公 式 適 用 范 圍純 彎 曲 或 細(xì)

7、長(zhǎng) 梁 的 橫 力 彎 曲彈 性 變 形 階 段 22 常 見(jiàn) 截 面 的 IZ 和 WZ 圓 截 面矩 形 截 面空 心 圓 截 面 空 心 矩 形 截 面 A dAyI 2Z m axZZ yIW 644Z dI 323Z dW )1(64 44Z DI )1(32 43Z DW123Z bhI 62Z bhW 1212 3300Z bhhbI )2/()1212( 03300Z hbhhbW 23 例1 求圖示矩形截面梁D 截面上a、b、c 三點(diǎn)的正應(yīng)力。A B CD2m 2m 2mF=12kNFA FB zcab 56 23(cm)解：kNFm AB 6;0 取AD，AFA DFs M

8、DmkNMm DD .12;0 MPabhMWM DzDa 120106 101266 2 32 (上面受拉)MPaab 481205252 (拉)(拉) 0c 24 例2求圖示T 形截面梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。A B CDm m mP=20kNP=50kN C30110 3080解：畫(huà)梁的彎矩圖；zy2y1確定中性軸的位置。 mmy 2.38803030110 70803015301101 mmyy 8.71110 12 z1 25 A B CDm m mP=20kNP=50kN C30110 3080zy2y1截面形心主慣性矩： 2 323 )408.71(8030 8030121)1

9、52.38(3011030110121 zI 461073.5 mm mmy mmy 8.71 2.3821AaII ZCz 2 26 C C30110 3080 zy2y1 D 截面下邊受拉，上邊受壓；B 截面上邊受拉，下邊受壓。比較可知最大壓應(yīng)力在D 截面的上邊緣，而最大拉應(yīng)力可能發(fā)生在D 截面的下邊緣，也可能發(fā)生在B 截面的上邊緣。 mmy mmy 8.71 2.3821461073.5 mmIz A BDm m mP=20kNP=50kN 27 C30110 3080 zy2y1 MPayIMzDc 9.6810108.71101073.5 105.5 63126 32m ax, MP

10、ayIM zDt 7.3610102.38101073.5 105.5 63126 31m ax, MPayIMzBt 1.5010108.71101073.5 104 63126 31m ax, mmy mmy 8.71 2.3821461073.5 mmIz A B CDm m mP=20kNP=50kND截 面 :B截 面 : 28 C30110 3080 zy2y1 最大拉應(yīng)力發(fā)生在B 截面的上邊緣，最大壓應(yīng)力發(fā)生在D 截面的上邊緣。分別為 MPaMPa ct 9.68 1.50m ax,m ax, A B CDm m mP=20kNP=50kN 29 例3 圖示矩 形截面梁，C 截面

11、處有一直徑d=40mm的圓孔，試求該截面的最大正應(yīng)力。mkNq /2A BC2m 2m 80 404040解：mkNM C .4122 333m ax 9.184612 )412(8 cmyIW zz MPaWMzCC 63.219.1844000m ax 30 橫力彎曲時(shí)，梁橫截面即有彎矩，也有剪力，相應(yīng)也必有切應(yīng)力。一、矩形截面切應(yīng)力基本假設(shè)： 截面上各點(diǎn)切應(yīng)力與剪力同向； 距中性軸等距離各點(diǎn)的切應(yīng)力相等。 在梁上截一微段dx ，再在微段上用水平截面mn 截一微元。Fs FsM M+dM11 22dxm n 31 1 dx2m n xy h/21 2 yy1 bdAFN1 FN21 2dx

12、m ny xz平衡條件：;0 X 021 FFF NN 12 NN FFbdxF *111 * zzAzA zAN SIMdAyIMdAyIMdAF 32yy1 bdAN1 N21 2dxm ny x z*2 zzN SI dMMF 同理得dMISSIMSI dMMbdx zzzzzz * dxdMbISzz *因; sFdxdM于是得bI SF z zs * 33 bI SF z zs * 式中 為截面求應(yīng)力那點(diǎn)到截面邊緣所圍面積對(duì)中性軸的靜矩。*zS C*b y y*h/2h/2 z max)4(2)2(21)2( 22* yhbyhyyhbyASz )4(6 22 3 yhbhFs 由此

13、式可知，橫截面各點(diǎn)切應(yīng)力是各點(diǎn)坐標(biāo)y 的2次函數(shù)，切應(yīng)力的大小沿截面高度呈拋物線(xiàn)分布。中性軸上切應(yīng)力最大，上下邊緣切應(yīng)力為零。 34 bhFhbhF ss 2346 23m ax AFs 23m ax二、其它截面切應(yīng)力工字型截面腹板的切應(yīng)力翼板腹板b zb1 max 1*bI SFz zs式中b1為工字型腹板的厚度。 35 b b1 z max1*m axm ax bISF zzs*m axzS 為中性軸一側(cè)截面對(duì)中性軸的靜矩。T型截面max z max圓形截面環(huán)形截面maxz z 1*m axm ax bISF zzs AFs34m ax AFs2m ax 36 例4 圖示梁由三塊板膠合而成

14、，橫截面尺寸如圖所示，求 截面的最大切應(yīng)力和膠縫的切應(yīng)力。A B2m 2mmkNq /3 60 404040解：FA=6kN FB=6kNkNF s 61 MPaAFs 25.1120602 106323 31m ax MPabI SF z zs 11.16012060 12404060106 33*1 膠 縫 37 65 梁的強(qiáng)度計(jì)算 切應(yīng)力強(qiáng)度條件： bI SF z zs *m axm axm ax 正應(yīng)力強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面梁 zWMm axm ax 梁要安全工作，必須同時(shí)滿(mǎn)足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。 38 簡(jiǎn)單截面的最大切應(yīng)力可用簡(jiǎn)化公式計(jì)算，即 AFAFAF sss m ax

15、m axm axm ax 2 34 23矩形截面圓形截面環(huán)形截面 根據(jù)強(qiáng)度條件可進(jìn)行下述工程計(jì)算：強(qiáng)度校核；設(shè)計(jì)截面尺寸；確定容許荷載。 39 利用強(qiáng)度條件進(jìn)行工程計(jì)算時(shí)，需首先確定梁的危險(xiǎn)截面。 梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大、截面離中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處；變截面梁要綜合考慮 M與IZ;脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮 梁的最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力最大截面的中性軸上。 一般來(lái)說(shuō)，梁的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力并不在同一截面上，彎矩圖上最大彎矩對(duì)應(yīng)于梁的最大正應(yīng)力所在截面，剪力圖上最大剪力對(duì)應(yīng)于梁的最大切應(yīng)力所在截面。 tt m ax, cc m ax, A B2m 2mmkNq /3 40 例5 圖

16、示梁的的荷載及截面尺寸如圖所示，材料的容許拉應(yīng)力t=40MPa、容許壓應(yīng)力c =100MPa，容許切應(yīng)力 =20MPa 。試校核該梁的強(qiáng)度。A B 3m 1m2m C DmkNq /10 kNP 20FB=30kN C z200 2003030解：求支座反力；畫(huà)內(nèi)力圖；FD=10kNM圖 20 10計(jì)算截面慣性矩；23 23 )155.42(302001230200 )1005.157(200301220030 zI 44105.6012 mm10kN10kN20kNFs圖 41 C z200 2003030 44105.6012 mmIz A B 3m 1m2m C DmkNq /10 kN

17、P 20FB=30kN FD=10kN B 截面最大拉應(yīng)力：5.7220 zBt IB 截面最大壓應(yīng)力：5.15720 zBc IC 截面最大拉應(yīng)力：5.15710 zct IC 截面最大壓應(yīng)力：5.7210 zCc IM圖20kN.m 10kN.m10kN10kN20kNFs圖 42 C z200 2003030 4 445.6012 105.6012 cm mmIz A B 3m 1m2m C DmkNq /10 kNP 20FB=30kN FD=10kN 經(jīng)比較可知，最大拉應(yīng)力發(fā)生在C 截面的下邊緣；最大壓應(yīng)力發(fā)生在B 截面的下邊緣；最大切應(yīng)力發(fā)生在B 的左截面的中性軸上。 tt MPa

18、 2.2675.155.60121010 3m axM圖20kN.m 10kN.m 10kN10kN20kNFs圖 43 C z200 2003030 4 445.6012 105.6012 cm mmIz cc MPa 4.52 75.155.60121020 3m ax 1*m axm axm ax bI SQ z z MPa13.430105.6012 2 5.1575.157301020 43m ax此梁安全 A B 3m 1m2m C DmkNq /10 kNP 20FB=30kN FD=10kNM圖20kN.m 10kN.m10kN10kN20kNFs圖 44 A B 3m例6 圖

19、示工字形截面梁，已知容許正應(yīng)力=170MPa，容許切應(yīng)力=100MPa ，試選擇工字鋼的型號(hào)。3m2m C DmkNq /6 kNP 30解：求支座反力；FB=29kN FD=13kN畫(huà)剪力圖和彎矩圖；M圖Fs圖13kN17kN12kN12kN.m39kN.m 梁的強(qiáng)度主要由正應(yīng)力所控制，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇工字鋼型號(hào)，再用切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。 45 A B 3m 3m2m C DmkNq /6 kNP 30FB=29kN FD=13kN 33m ax 4.2291701039 cmMWz 由型鋼表查選20a工字鋼，主要參數(shù)如下：mmdcmWz 7,230 3 cmSI zz 2.17*

20、 MPadSIQzz14 71721017 3*m axm axM圖Fs圖13kN17kN12kN12kN.m39kN.m 46 例7 圖示梁由兩根木料膠合而成，已知木材的容許正應(yīng)力=10MPa，容許切應(yīng)力=MPa ，膠縫的容許切應(yīng)力1 =MPa，試確定容許荷載集度q。A B3mqFAq FBq z10010 050M圖Fs圖qq解：求支座反力；畫(huà)剪力圖與彎矩圖； 按正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定容許荷載； zWM m ax 6125.1 21 bhq mkNq /33.31010125.16 1510 321 q 47 A B3mqFAq FBq 10010 050 z 按切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定容許荷載；

21、AQ23 m ax mkNAq /67.61015.4 15010025.42 32 325.1 2m ax AqQ M圖Fs圖1.5q1.125q 1.5q 48 A B3mqFAq FBq 10010 050 z 按膠縫切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定容許荷載； 1*m ax bI SQ z z 1*3m ax 5.1 zzSbIqQ kNSbIq zz 3104.050501005.1 100121501005.1 331*3 kNqq 33 M圖Fs圖1.5q1.125q1.5q 49 例8 圖示圓截面梁，直徑d=200mm，材料的容許正應(yīng)力=10MPa，容許切應(yīng)力=2MPa 。試校核該梁的強(qiáng)度。A

22、 B3m 1mmkNq /4FA=5kN kNP 3 dFB=10kN解：求支座反力；畫(huà)剪力圖和彎矩圖；Fs圖M圖 5kN 3kN7kNm 3 最大正應(yīng)力發(fā)生在距A 端m截面的上下邊緣； 最大切應(yīng)力發(fā)生在B 的左截面的中性軸上。 50 A B3m 1mmkNq /4FA=5kN kNP 3 dFB=10kN MPadMWM z 98.320312532 323 3m axm axm ax MPadFAF ss 3.02003 700044 34434 2 2m axm axm ax ; m axm ax 此梁安全。Fs圖M圖5kN 3kN7kN1.25m 3kN.m3.125kN.m 51 梁

23、的設(shè)計(jì)主要依據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件，即 zWMm axm ax 由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可知，要提高梁的強(qiáng)度可從降低最大彎矩Mmax和增大抗彎截面模量Wz來(lái)考慮。一、選擇合理的截面形狀 梁的抗彎截面模量Wz與截面尺寸和形狀有關(guān)，截面面積相同的情況下， Wz越大截面形狀越合理。 下面對(duì)矩形、方形、圓形截面加以比較。 52 zh bC aa C z d zC166 232 ahaa bhhabhWWzz方矩矩形截面比方形截面好18.13232434 486326 2233 d ddadd aadaWWzz圓方方形截面比圓形截面好 合 理 設(shè) 計(jì) 截 面 536 2bhWZ 左 62hbWZ 右合 理 放 置 截

24、 面 54 z z z 以矩形截面梁為例，橫截面的正應(yīng)力沿截面高度線(xiàn)性分布，當(dāng)上下邊緣的應(yīng)力達(dá)到容許應(yīng)力時(shí)，中性軸附近材料的應(yīng)力遠(yuǎn)比容許應(yīng)力低，沒(méi)能充分發(fā)揮材料作用，若將這部分材料移到離中性軸較遠(yuǎn)處，就可極大地提高梁的承載能力。故工字形截面、槽形截面、T 形截面均比矩形截面好。二、采用變截面梁 對(duì)于等截面梁，按強(qiáng)度條件只有M max截面上的最大正應(yīng)力才達(dá)到，而其它截面上的最大正應(yīng)力均沒(méi)達(dá)到。 55 若采用變截面梁，使各截面上的最大正應(yīng)力同時(shí)達(dá)到，此梁工程上稱(chēng)為。 等強(qiáng)度梁的抗彎截面模量設(shè)計(jì)如下： zz WMxW xM m ax)( )( zz WM xMxW m ax)()( 變截面梁P懸臂涼

25、臺(tái)A Bq吊車(chē)梁 56 等 強(qiáng) 度 梁 b xh 57 58 三、改善梁的受力情況 通過(guò)改善梁的受力情況，以降低梁的最大彎矩，從而提 高梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。A Bqlql2/8 A Bq2l/3l/6 l/6ql2/72 ql2/72ql2/24 M圖M圖合 理 布 置 支 座 59 A Bl/2 l/2P A Bl/4 l/2P l/4 Pl/4 Pl/8M圖M圖合 理 布 置 載 荷 60 例9 由直徑為d 的圓木截取一矩形截面梁，試按強(qiáng)度要求選擇最合理的高寬尺寸h 、 b 。b zyhd C解：使所截矩形的Wz 越大越好。6 )(6 222 bdbbhW z 222 bdh ;0dbdWz

26、03 22 bd;3db ;32dh 61 例10 吊裝一混凝土梁，索繩所系位置x 為多少最安全。qlx xqx 2/2 qx2/2q(l-2x)2/8- qx2/2 解：梁的最大彎矩最小時(shí)最安全，當(dāng)梁的最大正彎矩與最大負(fù)彎矩相等時(shí)梁的最大彎矩最小，即222 22)2(8 xqxqxlq 22 8)2( xxl xxl 22)2( llx 21.0)21(2 62 一、開(kāi)口薄壁截面梁的彎曲切應(yīng)力dx dx t t N1 N2 a ab bc cd db cdb c 前面已經(jīng)介紹了工字形截面腹板的切應(yīng)力，這里再研究一下翼板的切應(yīng)力。從翼板上截一微元，受力如圖。 tdxNNX ;0 21 h H

27、63 dx dx t t N1 N2 a ab bc cd db cdb c tIQSz z*式中 為翼板微元abcd 截面對(duì)中性軸z 的靜矩，即*zS h H )22(* tHtS z z )22( tHIQz z翼板的切應(yīng)力為水平，大小成比例。 bb1 64 dx dx t t N1 N2 a ab bc cd db cdb c tIQSz z*h Hz zbb1 )22( tHIQz )(42)22(1 tHIQbbtHIQ zz 翼板根部切應(yīng)力：腹板端部切應(yīng)力：)(2)22( 112 tHbIQbttHbtbIQ zz 比較二式得：1212 bt 腹板與翼板接合部的切應(yīng)力關(guān)系與水管流量

28、相似，故將截面切應(yīng)力流向稱(chēng)為。 65 二、彎曲中心z z zy y yzy zy zyFs1 Fs2Fs2 Fs FsFs 1 Fs1Fs2Fs2 AC C CC C CA 槽形截面梁兩種放置方式截面切應(yīng)力流，截面剪力作用線(xiàn)的位置如圖所示。 66 zyFsA C 梁兩種放置方式，截面剪力作用線(xiàn)的交點(diǎn)A 稱(chēng)為截面的。zyFs1 Fs2CFs2zyC dth b zsbzsb zsA z zsAN I htbFdIhtFtdtI htFdAtISFdAF 422/ 200*2 11 zsss I thbF hFFmd 4 2221 彎曲中心只與截面的幾何性質(zhì)有關(guān)，與材料、荷載等無(wú)關(guān)。 d 67 幾

29、種常見(jiàn)薄壁截面彎曲中心的位置：zyCA CA zy CAy z y zCA 具有兩個(gè)以上對(duì)稱(chēng)軸的截面，彎曲中心與形心重合； 開(kāi)口圓環(huán)截面，彎曲中心在圓外對(duì)稱(chēng)軸上； 具有兩個(gè)狹窄矩形的截面，彎曲中心位于狹窄矩形中線(xiàn)的交點(diǎn)。 68 zyA CP 當(dāng)外力的作用線(xiàn)過(guò)彎曲中心時(shí)，梁只發(fā)生彎曲；當(dāng)外力的作用線(xiàn)不過(guò)彎曲中心時(shí)，梁不僅發(fā)生彎曲，還發(fā)生扭轉(zhuǎn)。 當(dāng)外力的作用線(xiàn)既過(guò)彎曲中心，又與形心主軸平行時(shí)，梁發(fā)生平面彎曲； 若外力的作用線(xiàn)只過(guò)彎曲中心，但不與形心主軸平行時(shí)，梁發(fā)生斜彎曲。zyA CP zyA CP zyA CP平面彎曲斜彎曲平面彎曲扭轉(zhuǎn)斜彎曲扭轉(zhuǎn) 69 例11 梁的截面與荷載作用線(xiàn)如圖所示，試判

30、斷各梁發(fā)生何種變形。z z zy y yP P PC C C矩形截面T形截面等邊角鋼斜彎曲斜彎曲扭轉(zhuǎn)斜彎曲扭轉(zhuǎn)A A 70 68 組合梁dxab cd ab cdo1 o2 o1 o2 Coy z應(yīng)變關(guān)系橫截面應(yīng)力分布 前面討論的是同種材料制成的梁橫截面的應(yīng)力。若梁是由幾種不同種材料制成，稱(chēng)為。下面研究一下由兩種材料制成的矩形截面組合梁的正應(yīng)力。 71 ab cdo1 o2 Coy z應(yīng)變關(guān)系橫截面應(yīng)力分布一、中性軸的位置 設(shè)中性層O1O2 的曲率半徑為 ，根據(jù)平面假設(shè)，橫截面各點(diǎn)應(yīng)變?yōu)?。 y )( 1y )( 2yy1y2 兩種材料的應(yīng)變分別為： 2211 )(,)( yyyy 72 ab

31、 cdo1 o2 Coy z應(yīng) 變 關(guān) 系 橫 截 面 應(yīng) 力 分 布)( 1y )( 2yy1y2 兩 種 材 料 的 應(yīng) 力 分 別 為 ： ,)( 111 yEy )( 1y )( 2y靜 力 關(guān) 系 dA1dA2 2121 2221112211 )()( AAAA dAyEdAyEdAydAyN 02211 zz SESE 222)( yEy 73 ab cdo1 o2 Coy z應(yīng)變關(guān)系橫截面應(yīng)力分布)( 1y )( 2yy1y2 )( 1y )( 2ydA1dA21221 EESSzz 兩種材料截面對(duì)中性軸 z 靜矩的大小與材料的彈性模量成反比。由此可確定中性軸 的位置。二、橫截面

32、各點(diǎn)正應(yīng)力MdAyEdAyEdAyydAyyM AAAAz 2121 22221211222111 )()( 74 ab cdo1 o2 Coy z應(yīng)變關(guān)系橫截面應(yīng)力分布)( 1y )( 2yy1y2 )( 1y )( 2ydA1dA2 MdAyEdAyEdAyydAyyM AAAAz 2121 22221211222111 )()( MIEIE zz 2211 22111 zz IEIE M 2211 111)( zz IEIE yMEy 2211 222)( zz IEIE yMEy 75 例12 兩種材料組合梁，截面尺寸如圖所示。已知材料1（上）的E1=100GPa，1=80MPa；材料

33、2（下）的E2=200GPa， 2 =160MPa。求容許荷載P 。A B2m 2mP C1C 240 40200 100 zyc2yc1解:M圖P PM m ax中性軸位置1221 21 EEyA yA cc 100200)120(10040 20040 11 cc yy mmyy cc 60 21 76 A B2m 2mP C1C240 40200 100 zyc2yc1 mmyy cc 6021 45231 107.55460200401220040 mmIz 45232 103.14960100401240100 mmIz 23 12952211 .108533 101010)3.14

34、92007.554100( mNIEIE zz M圖P 77 13m ax112211 m ax11m ax1 108533)( yPEIEIE yMEy zz kNNP 665.42426651016010100 1080108533 39 631 23m ax222211 m ax22m ax2 108533)( yPEIEIE yMEy zz kNNP 33.8585330108010200 10160108533 39 632 kNPP 665.421 78 小 結(jié)1、 了 解 純 彎 曲 梁 彎 曲 正 應(yīng) 力 的 推導(dǎo) 方 法2、 熟 練 掌 握 彎 曲 正 應(yīng) 力 的 計(jì) 算 、彎 曲 正 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 條 件 及 其 應(yīng) 用3、 了 解 提 高 梁 強(qiáng) 度 的 主 要 措 施