5三角函數(shù)的應用

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1、 第 一 章 直 角 三 角 形 的 邊 角 關 系5 三 角 函 數(shù) 的 應 用 w直 角 三 角 形 兩 銳 角 的 關 系 :兩 銳 角 互 余 A+ B=900.直 角 三 角 形 的 邊 角 關 系w直 角 三 角 形 三 邊 的 關 系 : 勾 股 定 理 a2+b2=c2.bA BC acw互 余 兩 角 之 間 的 三 角 函 數(shù) 關 系 : sinA=cosB.w特 殊 角 300,450,600角 的 三 角 函 數(shù) 值 .w直 角 三 角 形 邊 與 角 之 間 的 關 系 :銳 角 三 角 函 數(shù)w同 角 之 間 的 三 角 函 數(shù) 關 系 :wsin2A+cos2A=

2、1. .cossintan AAA,cossin caBA ,sincos cbBA 知 識 回 顧 船 有 無 觸 礁 的 危 險w如 圖 ,海 中 有 一 個 小 島 A,該 島 四 周 10海 里內(nèi) 暗 礁 .今 有 貨 輪 四 由 西 向 東 航 行 ,開 始 在A島 南 偏 西 550的 B處 ,往 東 行 駛 20海 里 后 到達 該 島 的 南 偏 西 250的 C處 .之 后 ,貨 輪 繼 續(xù)向 東 航 行 .w要 解 決 這 個 問 題 ,我 們 可 以 將 其 數(shù) 學化 ,如 圖 :w請 與 同 伴 交 流 你 是 怎 么 想 的 ? 怎 么 去 做 ?w你 認 為 貨 輪

3、 繼 續(xù) 向 東 航 行 途 中 會 有 觸礁 的 危 險 嗎 ? AB C D北 東情 境 引 入 w解 :要 知 道 貨 輪 繼 續(xù) 向 東 航 行 途 中 有 無 觸 礁 的 危 險 ,只 要 過 點 A作AD BC的 延 長 線 于 點 D,如 果 AD10海 里 ,則 無 觸 礁 的 危 險 .根 據(jù) 題意 可 知 , BAD=550, CAD=250,BC= 20海 里 .設 AD=x,則w答 :貨 輪 繼 續(xù) 向 東 航 行 途 中 沒 有 觸 礁 的 危 險 . D AB C D北 東,25tan,55tan 00 xCDxBD .25tan,55tan 00 xCDxBD 5

4、50250.2025tan55tan 00 xx .67.204663.04281.1 2025tan55tan 20 00 海 里x 看 我 露 一 手自 主 預 習 古 塔 究 竟 有 多 高w如 圖 ,小 明 想 測 量 塔 CD的 高 度 .他 在 A處 仰 望 塔 頂 ,測 得 仰角 為 300,再 往 塔 的 方 向 前 進 50m至 B處 ,測 得 仰 角 為 600,那么 該 塔 有 多 高 ?(小 明 的 身 高 忽 略 不 計 ,結 果 精 確 到 1m).w要 解 決 這 問 題 ,我 們 仍 需 將其 數(shù) 學 化 .w請 與 同 伴 交 流 你 是 怎 么 想的 ? 準

5、 備 怎 么 去 做 ?w現(xiàn) 在 你 能 完 成 這 個 任 務 嗎 ? 行 家 看 “ 門 道 ”w這 個 圖 形 與 前 面 的 圖 形 相 同 ,因 此 解 答 如 下 : DA B C50m300 600,tan,tan xBCBDCxACADC .30tan,60tan 00 xBCxAC .5030tan60tan 00 xx .433253335030tan60tan 50 00 mx 答 :該 塔 約 有 43m高 .w解 :如 圖 ,根 據(jù) 題 意 可 知 , A=300, DBC=600,AB=50m.設 CD=x,則 ADC=600, BDC=300,老 師 期 望 :這

6、 道 題 你 能 有 更 簡 單 的 解 法 . 新 知 探 究 試 試 自 己 的 分 析 能 力w某 商 場 準 備 改 善 原 有 樓 梯 的 安 全 性 能 ,把 傾角 由 原 來 的 400減 至 350,已 知 原 樓 梯 的 長 度 為4m,調(diào) 整 后 的 樓 梯 會 加 長 多 少 ?樓 梯 多 占 多 長一 段 地 面 ?(結 果 精 確 到 0.01m).w現(xiàn) 在 你 能 完 成 這 個 任 務 嗎 ?w請 與 同 伴 交 流 你 是 怎 么 想 的 ? 準 備怎 么 去 做 ? A BCD 我 是 最 棒 的 ！w解 :如 圖 ,根 據(jù) 題 意 可 知 , A=350,

7、BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的 長 ,(2)AD的 長 . A BCD 4m350 400,40sin 0 BDBC .40sin 0BDBC ,35sin 0 ABBC答 :調(diào) 整 后 的 樓 梯 會 加 長 約 0.48m. .48.45736.0 6428.0435sin 45sin35sin 0 00 mBDBCAB .48.0448.4 mBDAB 成 功 在 于 堅 持w解 :如 圖 ,根 據(jù) 題 意 可 知 , A=350, BDC=400,DB=4m.求 (2) AD的 長 . A BCD 4m350 400,40tan 0 DCBC .40tan 0BCDC

8、 ,35tan 0 ACBC答 :樓 梯 多 占 約 0.61m一 段 地 面 .35tan 0BCAC DCACAD 00 40tan135tan1BC 000 40tan135tan140sinBD .61.0 m 你 會 計 算 嗎 ？w如 圖 ,一 燈 柱 AB被 一 鋼 纜 CD固 定 .CD與 地 面 成 400夾 角 ,且DB=5m.現(xiàn) 再 在 CD上 方 2m處 加 固 另 一 根 鋼 纜 ED,那 么 ,鋼 纜 ED的 長 度 為 多 少 ?(結 果 精 確 到 0.01m).w怎 么 做 ? EBCD 2m40 0 5m 我 高 興 ， 我 會 做w解 :如 圖 ,根 據(jù)

9、題 意 可 知 , CDB=400,EC=2m,DB=5m.求 DE的 長 . BDE 51.12 . EBCD 2m40 0 5m,40tan 0 BDBC ,12.51cos 0 DEDB w答 :鋼 纜 ED的 長 度 約 為 7.97m.40tan 0BDBC ).(1955.6240tan2 0 mBDBCBE .24.15 240tan5tan 0 BDBEBDE .97.76277.0 512.51cos 0 mDBDE 都 來 當 個 小 專 家 ！w2 如 圖 ,水 庫 大 壩 的 截 面 是 梯 形ABCD,壩 頂 AD=6m,坡 長 CD=8m.坡 底BC=30m, AD

10、C=1350.w(1)求 坡 角 ABC的 大 小 ;w(2)如 果 壩 長 100m,那 么 修 建 這 個大 壩 共 需 多 少 土 石 方 (結 果 精 確 到0.01m3 ).w咋辦 w先 構 造 直角 三 角 形 !AB CD 你 會 構 建 兩 個 直 角 三 角 形 求 解 嗎 ？w解 :如 圖 ,(1)求 坡 角 ABC的 大 小 ;w有 兩 個直 角 三 角形 w先 做輔 助線 ! AB CD6m 8m30m1350w過 點 D作 DE BC于 點 E,過 點 A作 AF BC于 點 F. EF ABC 13 .,2445tan 0 DCDEEC則 答 :坡 角 ABC約 為

11、 13 . .2430,24 BFDEAF .2324.02430 24tan BFAFABC 這 種 體 積 你 會 算 嗎 ？w解 :如 圖 ,(2)如 果 壩 長100m,那 么 修 建 這 個 大 壩 共需 多 少 土 石 方 (結 果 精 確 到0.01m3 ). ,2 得由 梯 形 面 積 公 式 AFBCADS 答 :修 建 這 個 大 壩 共 需 土 石 方 約 10182.34m 3.2722 2436 S .34.10182272100100 3mSV 100mAB CD6m 8m30m1350EF w1 如 圖 ， 有 一 斜 坡 AB長 40m， 坡 頂 離 地 面 的

12、高 度 為 20m,求 此 斜 坡 的 傾 斜 角 .w2.有 一 建 筑 物 ,在 地 面 上 A點 測 得 其 頂 點C的 仰 角 為 300,向 建 筑 物 前 進 50m至 B處 ,又測 得 C的 仰 角 為 450,求 該 建 筑 物 的 高 度 (結果 精 確 到 0.1m).w3. 如 圖 ,燕 尾 槽 的 橫 斷 面 是 一 個 等 腰 梯形 ,其 中 燕 尾 角 B=550,外 口 寬 AD=180mm,燕 尾 槽 的 嘗 試 是 70mm,求 它 的 里 口 寬 BC(結果 精 確 到 1mm). A BCAB CD隨 堂 練 習 我 們 發(fā) 現(xiàn) 以 上 幾 個 問 題 的 解 決 方 法 ， 都 是 首 先 構建 直 角 三 角 形 ， 在 兩 個 直 角 三 角 形 中 運 用 邊 角 關系 分 步 解 決 。 此 類 題 型 需 要 大 家 冷 靜 分 析 ， 認 真解 答 。通 過 本 節(jié) 課 的 學 習 你 又 增 長 了 哪 些 知 識 ？從 已 知 的 邊和 角 未 知 的 邊 和 角表 示 求 出答 案知 識 梳 理