《數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)》PPT課件

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1、 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 6.1 引 言 6.2 IIR濾 波 器 設(shè) 計(jì) 方 法 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 6.1 引 言 所 謂 濾 波 ， 通 常 是 指 通 過 某 種 變 換 或 運(yùn) 算 ， 用 以 改 變 輸 入信 號(hào) 中 所 含 頻 率 分 量 的 相 對(duì) 比 例 ， 以 達(dá) 到 選 取 或 濾 除 某 些 頻 率成 分 的 一 種 手 段 。 數(shù) 字 濾 波 器 通 常 采 用 有 限 精 度 算 法 ， 它 可以 按 照 某 種 算 法 編 寫 軟 件 ， 在 計(jì) 算 機(jī) 或 專 用 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理（ DSP） 芯 片 上 實(shí) 現(xiàn) ，

2、 也 可 以 按 照 算 法 選 用 硬 件 實(shí) 現(xiàn) 。 與 模 擬濾 波 器 相 比 ， 數(shù) 字 濾 波 器 具 有 精 度 高 、 穩(wěn) 定 性 好 、 靈 活 性 大 、 體 積 小 且 沒 有 苛 刻 的 匹 配 要 求 等 優(yōu) 點(diǎn) 。 隨 著 計(jì) 算 機(jī) 、 超 大 規(guī)模 集 成 電 路 技 術(shù) 的 發(fā) 展 ， 數(shù) 字 濾 波 器 的 應(yīng) 用 愈 加 廣 泛 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 同 樣 ， 與 模 擬 濾 波 器 類 似 ， 數(shù) 字 濾 波 器 按 頻 率 特 性 也 有 低通 、 高 通 、 帶 通 和 帶 阻 等 之 分 ， 濾 波 器 的 性 能 指 標(biāo) 通 常 也

3、習(xí) 慣在 頻 域 給 出 。 常 用 數(shù) 字 濾 波 器 的 幅 度 特 性 示 意 圖 如 圖 6.1所 示 。與 模 擬 濾 波 器 不 同 的 是 ， 由 于 序 列 的 傅 里 葉 變 換 具 有 以 2 為周 期 的 周 期 性 ， 因 此 ， 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 也 有 這 種 周 期 性 。 低 通 濾 波 器 的 通 帶 處 于 0或 2 的 整 數(shù) 倍 頻 率 附 近 ， 高 通 濾 波 器的 通 帶 則 處 于 的 奇 數(shù) 倍 頻 率 附 近 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.1 各 種 數(shù) 字 濾 波 器 的 幅 度 特 性 |H(ej)|低通

4、|H(ej)|高通2 0 2 0 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.1 各 種 數(shù) 字 濾 波 器 的 幅 度 特 性 |H(ej)|H(ej)|帶通帶阻2 0 2 0 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.1所 示 的 理 想 濾 波 器 的 幅 度 特 性 有 理 想 、 陡 截 止 的 通帶 和 無 窮 大 衰 減 的 阻 帶 兩 個(gè) 范 圍 ， 這 顯 然 是 無 法 實(shí) 現(xiàn) 的 ， 因?yàn)?它 們 的 單 位 取 樣 響 應(yīng) 均 是 非 因 果 和 無 限 長(zhǎng) 的 。 實(shí) 踐 中 只 能用 一 種 因 果 可 實(shí) 現(xiàn) 的 濾 波 器 去 與 之 逼 近 ， 使 其 滿 足 給 定 的

5、誤差 容 限 。 一 個(gè) 實(shí) 際 濾 波 器 的 幅 度 特 性 在 通 帶 中 允 許 有 一 定 的波 動(dòng) ， 阻 帶 衰 減 則 應(yīng) 大 于 給 定 的 衰 減 要 求 ， 且 在 通 帶 與 阻 帶之 間 允 許 有 一 定 寬 度 的 過 渡 帶 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.2示 出 了 一 個(gè) 實(shí) 際 低 通 濾 波 器 的 幅 度 特 性 ， 特 性 曲 線中 有 通 帶 、 過 渡 帶 和 阻 帶 三 個(gè) 區(qū) 間 。 通 帶 范 圍 是 0p， 在通 帶 內(nèi) ， 幅 度 特 性 以 誤 差 1逼 近 于 1， 即 p11 |1|)(e|1 jH （ 6-1） p稱

6、為 通 帶 截 止 頻 率 。 阻 帶 范 圍 是 s， 在 阻 帶 內(nèi) ， 幅 度特 性 以 最 大 誤 差 2逼 近 于 零 ， 即 |)(e| s2 jH稱 為 阻 帶 起 始 頻 率 。 ps的 區(qū) 域 稱 為 過 渡 帶 ， 一 般 要 求 幅度 特 性 在 過 渡 帶 內(nèi) 單 調(diào) 下 降 。 （ 6-2） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.2 實(shí) 際 低 通 濾 波 器 的 幅 度 特 性11 |H(ej)|112 通帶 過渡帶 阻帶 sp 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 通 帶 內(nèi) 衰 減 （ 波 動(dòng) ） 和 阻 帶 衰 減 （ 波 動(dòng) ） 通 常 用 分 貝 表示 ， 對(duì) 于 圖

7、 6.2， 我 們 令 BHHHH BHHHH d|)e(| |)e(|lg20|)e(| |)e(|lg10 d|)e(| |)e(|lg20|)e(| |)e(|lg10 ss pp j 0j2j 0js j 0j2j 0jp p和 s分 別 稱 為 通 帶 最 大 衰 減 和 阻 帶 最 小 衰 減 。 如 果 ， 則 稱 c為 3dB截 止 頻 率 。 dB3|)e(| |)e(|lg20 cj 0j HH 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 濾 波 器 的 頻 率 特 性 除 了 幅 度 特 性 外 ， 還 有 相 位 特 性 ()。 一 般 對(duì) ()并 無 過 多 要 求 ， 只 要 保

8、證 濾 波 器 穩(wěn) 定 就 可 以 了 。 但 在 有 些 場(chǎng) 合 要 求 ()具 有 一 定 的 性 質(zhì) ， 如 線 性 相 位 特 性 ， 即 要 求 ()=-（ 為 延 時(shí) 常 數(shù) ） 等 。 數(shù) 字 濾 波 器 可 用 N階 差 分 方 程 Nk kMi i knyainxbny 10 )()()(來 描 述 ， 相 應(yīng) 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 NK kiMi ii zazbzH 101)( （ 6-6） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 數(shù) 字 濾 波 器 按 其 單 位 采 樣 響 應(yīng) 長(zhǎng) 度 可 分 為 無 限 沖 激 響 應(yīng) 濾波 器 （ IIR） 和 有 限 沖 激 響 應(yīng) 濾 波

9、 器 （ FIR） 兩 類 。 按 照 濾 波 器的 實(shí) 現(xiàn) 方 式 則 又 可 以 分 為 遞 歸 濾 波 器 和 非 遞 歸 濾 波 器 兩 類 。 式(6-5)中 若 ak=0(k=1,N)， 該 濾 波 器 為 FIR濾 波 器 ； 若ak0(k=1, ,N)， 該 濾 波 器 為 IIR濾 波 器 。 一 般 情 況 下 遞 歸 濾 波器 對(duì) 應(yīng) 于 IIR濾 波 器 ， 而 非 遞 歸 濾 波 器 對(duì) 應(yīng) 于 FIR濾 波 器 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 6.2 IIR濾 波 器 設(shè) 計(jì) 方 法 設(shè) 計(jì) IIR數(shù) 字 濾 波 器 一 般 有 以 下 三 種 方 法 ： (1)

10、先 設(shè) 計(jì) 一 個(gè) 合 適 的 模 擬 濾 波 器 ， 然 后 變 換 成 滿 足 預(yù)定 指 標(biāo) 的 數(shù) 字 濾 波 器 。 這 種 方 法 很 方 便 ， 因 為 模 擬 波 濾 波 器已 很 成 熟 ， 它 有 很 多 現(xiàn) 成 的 設(shè) 計(jì) 公 式 ， 并 且 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 已 經(jīng) 表格 化 ， 使 用 起 來 既 方 便 又 準(zhǔn) 確 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) (2) 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) 的 零 點(diǎn) 和 極 點(diǎn) 位 置 完 全 決 定 了 濾 波 器的 幅 度 和 相 位 響 應(yīng) 。 所 以 ， 通 過 合 理 設(shè) 置 數(shù) 字 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù)的 零 、 極 點(diǎn) ，

11、 即 可 得 到 符 合 要 求 的 濾 波 特 性 。 這 種 方 法 往 往 需要 多 次 調(diào) 整 零 、 極 點(diǎn) 位 置 ， 稱 為 零 、 極 點(diǎn) 累 試 法 。 NK kiMi ii zazbzH 101)( 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) (3) 計(jì) 算 機(jī) 輔 助 設(shè) 計(jì) 法 。 這 是 一 種 最 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 方 法 。 它 先 確 定 一 種 最 優(yōu) 化 準(zhǔn) 則 ， 例 如 設(shè) 計(jì) 出 的 實(shí) 際 頻 率 響 應(yīng) 的 幅 度與 理 想 頻 率 響 應(yīng) 的 幅 度 的 均 方 誤 差 最 小 準(zhǔn) 則 ， 或 它 們 的 最 大 誤差 最 小 準(zhǔn) 則 等 ， 然 后 確 定 滿

12、足 該 最 佳 準(zhǔn) 則 的 濾 波 器 系 數(shù) ak、 bi。 這 種 設(shè) 計(jì) 一 般 不 易 得 到 濾 波 器 系 數(shù) 的 顯 式 表 達(dá) 式 ， 而 是 需 要 進(jìn)行 大 量 的 迭 代 運(yùn) 算 ， 需 用 計(jì) 算 機(jī) 輔 助 設(shè) 計(jì) 完 成 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 6.2.1 根 據(jù) 模 擬 濾 波 器 設(shè) 計(jì) IIR數(shù) 字 濾 波 器 目 前 IIR數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 中 用 得 較 多 的 是 借 助 于 模 擬 濾 波 器的 設(shè) 計(jì) 方 法 。 借 用 模 擬 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 有 一 套 相 當(dāng) 成 熟 的 方 法 ， 可以 給 數(shù) 字 濾 波 器 的 設(shè) 計(jì)

13、 帶 來 很 大 方 便 。 該 方 法 的 設(shè) 計(jì) 步 驟 是 ： （ 1） 若 所 需 設(shè) 計(jì) 的 數(shù) 字 濾 波 器 是 低 通 的 ， 按 一 定 規(guī) 則 先將 給 出 的 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) 轉(zhuǎn) 換 為 模 擬 低 通 濾 波 器 的技 術(shù) 指 標(biāo) 。 （ 2） 根 據(jù) 轉(zhuǎn) 換 后 的 技 術(shù) 指 標(biāo) 設(shè) 計(jì) 模 擬 低 通 濾 波 器 的 傳 遞函 數(shù) H a(s)。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) （ 3） 再 按 一 定 規(guī) 則 將 Ha(s)轉(zhuǎn) 化 成 H(z)， 完 成 低 通 濾 波 器的 設(shè) 計(jì) 。 (4) 若 所 設(shè) 計(jì) 的 是 高 通 、 帶

14、 通 或 帶 阻 濾 波 器 ， 那 么 還 需 將高 通 、 帶 通 或 帶 阻 數(shù) 字 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) 轉(zhuǎn) 化 為 低 通 模 擬 濾 波器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) ， 然 后 按 步 驟 （ 2） 設(shè) 計(jì) 低 通 模 擬 濾 波 器 Ha(s)，再 將 H a(s)最 終 轉(zhuǎn) 換 為 所 需 的 H(z)。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 1. 選 定 模 擬 低 通 濾 波 器 原 型 由 濾 波 器 理 論 ， 高 通 、 帶 通 、 帶 阻 濾 波 器 均 可 以 利 用 變 量變 換 方 法 ， 分 別 由 低 通 濾 波 器 變 換 得 到 。 所 以 要 先 根 據(jù)

15、要 求 選 定 模 擬 低 通 濾 波 器 的 設(shè) 計(jì) 方 法 。 模 擬低 通 濾 波 器 有 巴 特 沃 茲 （ Butterworth） 、 切 比 雪 夫（ Chebyshev） 和 橢 圓 （ Elliptic） 濾 波 器 等 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 2. 由 模 擬 濾 波 器 完 成 IIR數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 利 用 模 擬 濾 波 器 來 完 成 數(shù) 字 濾 波 器 的 設(shè) 計(jì) ， 就 是 先 確 定模 擬 濾 波 器 的 Ha(s)進(jìn) 而 確 定 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) H(z)。 它 實(shí)際 上 是 由 S平 面 到 Z平 面 間 的 一 種

16、 映 射 轉(zhuǎn) 換 ， 此 時(shí) 必 須 滿 足 兩 種基 本 要 求 ： （ 1） H(z)的 頻 率 響 應(yīng) 要 能 模 仿 H a(s)的 頻 率 響 應(yīng) ， 即 S平 面的 虛 軸 必 須 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 上 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) （ 2） 因 果 穩(wěn) 定 的 模 擬 濾 波 器 Ha(s)轉(zhuǎn) 換 成 數(shù) 字 濾 波 器 H(z)，仍 是 因 果 穩(wěn) 定 的 。 也 就 是 S平 面 左 半 平 面 （ Re s 0） 應(yīng) 該 映射 到 Z平 面 的 單 位 圓 以 內(nèi) （ |z|1） 。 將 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(s)從 S平 面 映 射 到 Z平 面 可

17、 以 有 多 種 方 法 ， 工 程 上 常 用 的 是 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 （ 或 叫 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 ） 和 雙線 性 變 換 法 ， 下 面 我 們 對(duì) 這 兩 種 方 法 略 作 介 紹 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 1) 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 是 使 數(shù) 字 濾 波 器 的 單 位 采 樣 響 應(yīng) 序 列 h(n)模 仿 模 擬 濾 波 器 沖 激 響 應(yīng) ha(t)。 將 模 擬 濾 波 器 的 沖 激 響 應(yīng) 加 以等 間 隔 （ 間 隔 為 T） 采 樣 ， 并 使 h(n)正 好 等 于 ha(t)的 采 樣 值 ， 即

18、 滿 足 )()( a nThnh （ 6-27） 因 此 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 是 一 種 時(shí) 域 上 的 轉(zhuǎn) 換 方 法 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 下 面 我 們 分 析 采 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 時(shí) ， S平 面 和 Z平 面 之 間的 映 射 關(guān) 系 。 若 令 Hz(s)是 ha(t)的 拉 普 拉 斯 變 換 ， H(z)為 h(n)的 變 換 ， 則 利 用 已 知 的 序 列 的 變 換 與 模 擬 信 號(hào) 的 拉 普 拉 斯 變 換的 關(guān) 系 ， 可 得 kTsHTzH kz sT 2j1)( ae （ 6-28） 上 式 表 明 ， 沖 激 響 應(yīng) 不

19、 變 法 相 當(dāng) 于 將 Ha(s)沿 虛 軸 按 周 期 (2 )/T延 拓 后 ， 再 按 映 射 關(guān) 系 sTz e （ 6-29) 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 將 模 擬 濾 波 器 的 Ha(s)從 S平 面 變 換 成 Z平 面 的 數(shù) 字 濾 波 器H(z)。 若 令 s= +j ， z=rej ， 代 入 式 （ 6-29)得 到rej =e Tej T， 則 有 Tr T e （ 6-30a） （ 6-30b） 上 式 表 明 ， 若 =0， 則 r=1， 即 S平 面 的 虛 軸 映 射 到 Z平 面 的單 位 圓 上 ； 若 0， 則 r1， 即 S平 面 的 左 半 平

20、 面 映 射 到 Z平 面 的單 位 圓 內(nèi) 。 因 此 ， 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 可 以 滿 足 將 因 果 、 穩(wěn) 定 的H a(s)轉(zhuǎn) 換 成 因 果 、 穩(wěn) 定 的 H(z)以 及 H(ej)能 模 仿 Ha(j)的 基 本 要求 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 將 式 （ 6-28） 示 于 圖 6.5， S平 面 上 每 一 條 寬 度 為 2/T的 橫 向條 帶 區(qū) 都 將 重 疊 地 映 射 到 整 個(gè) Z平 面 上 ， 而 第 一 條 橫 向 條 帶 的 左半 邊 映 射 到 Z平 面 單 位 圓 內(nèi) ， 右 半 邊 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 外 ，S平 面

21、 的 虛 軸 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 上 。 當(dāng) 模 擬 頻 率 從 -/T變 化到 /T 時(shí) ， 數(shù) 字 頻 率 則 從 -變 化 到 ， 且 由 式 （ 6-30 b） 可 知 ，與 之 間 成 線 性 關(guān) 系 。 由 于 S平 面 每 一 橫 條 都 要 重 疊 地 映 射 到 Z平 面 上 ， 這 也 反 映 了 H(z)和 H a(s)的 周 期 延 拓 之 間 有 z=esT的 變 換關(guān) 系 ， 因 此 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 并 不 等 于 從 S平 面 到 Z平 面 間 的 簡(jiǎn) 單代 數(shù) 映 射 關(guān) 系 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.5 沖 激 響

22、應(yīng) 不 變 法 的 映 射 關(guān) 系 T 3T0 T T 3j S平面 Z平面1 1 RezImz0 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 由 式 （ 6-28） 可 知 ， 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) H(ej )與 模擬 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) Ha(j )的 關(guān) 系 為 T kHTH k 2-j1)e( aj （ 6-31） 這 就 是 說 ， 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 是 模 擬 濾 波 器 頻 率 響 應(yīng)的 周 期 延 拓 。 因 此 正 如 采 樣 定 理 所 討 論 的 ， 只 有 當(dāng) 模 擬 濾 波 器的 頻 率 響 應(yīng) 帶 限 于 二 分 之 一 的 模

23、 擬 采 樣 角 頻 率 之 內(nèi) 時(shí) ， 即 2|0)j( sa TH （ 6-32） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 才 能 使 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 在 折 疊 頻 率 以 內(nèi) 重 現(xiàn) 模 擬 濾 波器 的 頻 率 響 應(yīng) 而 不 產(chǎn) 生 混 疊 失 真 ， 即 THTH j1)e( aj | |/T， 則 不 論 如 何 減 小 T， c與 T總 是 成 同 樣 倍 數(shù) 變 化 ，即 總 是 c/T。 因 此 在 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 設(shè) 計(jì) 中 ， 用 減 小 采 樣間 隔 T的 方 法 并 不 能 真 正 解 決 混 疊 問 題 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 由

24、 于 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 要 由 模 擬 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(s)以 拉 普 拉 斯 反變 換 得 到 其 沖 激 響 應(yīng) ha(t)， 然 后 采 樣 得 到 h(n)=ha(nT)， 再 取 變 換 得 H(z)， 因 此 過 程 較 復(fù) 雜 。 對(duì) 于 常 用 的 部 分 分 式 表 達(dá) 的 模擬 系 統(tǒng) 函 數(shù) ， 下 面 我 們 來 討 論 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 所 造 成 的 S平 面和 Z平 面 的 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 設(shè) 模 擬 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(s)只 有 單 階 極 點(diǎn) ， 且 假 定 分母 的 階 次 大 于

25、 分 子 的 階 次 （ 一 般 都 滿 足 這 一 要 求 ， 因 為 只 有這 樣 才 相 當(dāng) 于 一 個(gè) 穩(wěn) 定 的 模 擬 系 統(tǒng) ） 。 此 時(shí) 可 將 Ha(s)展 開 成部 分 分 式 表 示 式 ， 即 有 Nk kkss AsH 1a )( （ 6-34） 其 拉 普 拉 斯 反 變 換 ， 即 相 應(yīng) 的 沖 激 響 應(yīng) Nk tsk tuAsHLth k1a1a )(e)()( （ 6-35） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 式 中 的 u(t)是 連 續(xù) 時(shí) 間 的 單 位 階 躍 函 數(shù) 。 在 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 中 ， 要 求 數(shù) 字 濾 波 器 的 單 位

26、采 樣 響 應(yīng) 等 于 ha(t)的 采 樣 ， 即 )()(e)(e)()( 11a nuAnuAnThzH Nk TskNk nTsk kk （ 6-36） 對(duì) h(n)求 Z變 換 ， 即 可 得 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) Nk Tskn nTsNk k nNk Tsknh n zAzA zAznhzH kk k1 10 11 110 e1)e( )(e)()( （ 6-37） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 將 式 （ 6-34） 的 Ha(s)和 式 （ 6-37） 的 H(z)作 比 較 ， 不 難 看出 ： （ 1） S平 面 的 單 極 點(diǎn) (s=sk)變 換 到 Z

27、平 面 上 就 是 處 的單 極 點(diǎn) 。 （ 2） Ha(s)與 H(z)的 部 分 分 式 的 系 數(shù) 是 相 同 的 ， 都 是 Ak。 （ 3） 如 果 模 擬 濾 波 器 是 穩(wěn) 定 的 ， 即 所 有 極 點(diǎn) s k位 于 S平 面 的左 半 平 面 ， 極 點(diǎn) 的 實(shí) 部 Re sk 0， 則 ， 那 么 變 換 后 的 數(shù) 字 濾 波 器 的 全 部 極 點(diǎn) 均 在 單 位 圓 內(nèi) ， 因 此 數(shù) 字濾 波 器 也 是 穩(wěn) 定 的 。 1e|e| Re TsTs kk Tskz e 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) （ 4） 雖 然 S平 面 的 極 點(diǎn) 按 照 關(guān) 系 式 可 映 射

28、 成 Z平 面 的 極 點(diǎn) ， 但 是 必 須 認(rèn) 識(shí) 到 ， 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 并 不 相 當(dāng) 于 按照 該 關(guān) 系 將 S平 面 映 射 成 Z平 面 。 尤 其 是 數(shù) 字 濾 波 器 的 零 點(diǎn) ， 它們 是 隨 部 分 分 式 展 開 式 中 的 極 點(diǎn) 和 系 數(shù) Ak一 起 變 化 的 。 根 據(jù) 以 上 分 析 ， 對(duì) 于 部 分 分 式 表 達(dá) 的 模 擬 系 統(tǒng) 函 數(shù) ， 沖 激響 應(yīng) 不 變 法 的 設(shè) 計(jì) 步 驟 可 不 再 經(jīng) 歷 H a(s)ha(t)ha(nT)H(z)的過 程 ， 而 是 直 接 將 Ha(s)寫 成 許 多 單 極 點(diǎn) 的 部 分

29、分 式 之 和 的 形 式 ，然 后 將 各 個(gè) 部 分 分 式 用 式 （ 6-37） 的 關(guān) 系 進(jìn) 行 替 代 ， 從 而 得 到所 需 的 數(shù) 字 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) H(z)。 Tsk kz e 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 在 式 （ 6-33） 中 ， 數(shù) 字 濾 波 器 頻 率 響 應(yīng) H(ej)的 幅 度 特 性與 采 樣 間 隔 T成 反 比 ， 當(dāng) T較 小 時(shí) ， H(ej)就 會(huì) 有 很 高 的 增 益 。 為 避 免 這 一 現(xiàn) 象 ， 常 作 以 下 修 正 ， 即 令 h(n)=Tha(nT)， 于 是 它的 幅 度 特 性 將 不 再 與 T成 反 比

30、。 此 時(shí) 的 THkTTHH k j2jj)e( aaj | | （ 6-38） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 使 得 數(shù) 字 濾 波 器 的 單 位 采 樣 響 應(yīng) 完 全 模 仿模 擬 濾 波 器 的 沖 激 響 應(yīng) ， 也 就 是 時(shí) 域 逼 近 良 好 ， 而 且 模 擬 角 頻率 和 數(shù) 字 角 頻 率 之 間 呈 線 性 關(guān) 系 ， 即 =T。 因 而 一 個(gè) 線 性 相 位 的 模 擬 濾 波 器 可 以 映 射 成 一 個(gè) 線 性 相 位的 數(shù) 字 濾 波 器 。 但 是 ， 因 為 此 時(shí) 有 頻 率 響 應(yīng) 混 疊 效 應(yīng) ， 所 以沖 激 響

31、應(yīng) 不 變 法 只 適 用 于 限 帶 的 模 擬 濾 波 器 ， 高 通 和 帶 阻 濾 波器 則 不 宜 采 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 。 對(duì) 于 帶 通 和 低 通 濾 波 器 ， 需充 分 限 帶 ， 阻 帶 衰 減 越 大 ， 混 疊 效 應(yīng) 就 越 小 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 2) 雙 線 性 變 換 法 由 于 從 S平 面 到 Z平 面 的 映 射 關(guān) 系 z=esT是 多 值 映 射 ， 會(huì) 使 沖激 響 應(yīng) 不 變 法 產(chǎn) 生 頻 譜 混 疊 。 為 了 克 服 多 值 映 射 這 一 缺 點(diǎn) ， 我 們 首 先 把 整 個(gè) S平 面 壓 縮 變 換 到 一

32、個(gè) 中 介 的 S1平 面 中 的 橫 向 帶 條 內(nèi) ， 其 次 再 通 過 變 換 關(guān) 系 式 將該 橫 帶 變 換 到 整 個(gè) Z平 面 ， 這 樣 就 使 得 S平 面 與 Z平 面 之 間 具 有一 一 對(duì) 應(yīng) 的 關(guān) 系 ， 避 免 了 多 值 映 射 。 該 過 程 如 圖 6.7所 示 。 Tsz 1e TT 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.7 雙 線 性 變 換 法 的 映 射 關(guān) 系 T j0S平面 j10 T S1平面 ImzZ平面01 Rez 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 將 S平 面 整 個(gè) j 虛 軸 壓 縮 變 換 到 S1平 面 j 1虛 軸 上 的 段 ，

33、通 常 采 用 式 （ 6-39） 所 示 的 變 換 關(guān) 系 ， 即 TT 2tan2 1TT （ 6-39） 當(dāng) 1從 經(jīng) 過 0變 化 到 時(shí) ， 其 對(duì) 應(yīng) 的 由 - 經(jīng) 過 0再 到 ， 式 （ 6-39） 可 寫 成 T T 2j-2j 2j-2j 11 11 ee ee2j TT TTT 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 令 j =s， j 1=s1, 可 得 Ts TsTsTs TsTs TTs 1111 11 e1 e12ee ee2 22 22 （ 6-40） 再 將 S1平 面 用 下 面 的 關(guān) 系 式 映 射 到 Z平 面 Tz 1se （ 6-41） 以 式 （ 6-4

34、1） 代 入 式 （ 6-40） 就 可 得 到 S平 面 和 Z平 面 的 單 值 映 射關(guān) 系 為 11112 zzTs （ 6-42a） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 及 sT sTz 22 （ 6-42b） 這 種 S平 面 和 Z平 面 之 間 直 接 的 單 值 映 射 ， 通 常 也 稱 作 雙 線性 變 換 。 由 于 從 S平 面 到 S 1平 面 進(jìn) 行 了 非 線 性 頻 率 壓 縮 ， 因 此 避免 了 頻 率 混 疊 現(xiàn) 象 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 將 z=ej 代 入 式 （ 6-42a） ， 可 得 TTs j2tanj2e1 e12 j-j （ 6-43）

35、 即 S平 面 的 虛 軸 與 Z平 面 的 單 位 圓 相 對(duì) 應(yīng) 。 將 s= +j 代 入 式 （ 6-42b） ， 得 T TsT sTz j2 j222 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 因 此 22 2222| T Tz （ 6-44） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 由 上 式 可 以 看 出 ， 當(dāng) 0時(shí) ,|z|0時(shí) ， |z|1； 當(dāng) =0時(shí) ， |z|=1。 也 就 是 說 ， S平 面 的 左 半 平 面 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓內(nèi) ， S平 面 的 右 半 平 面 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 外 ， S平 面 的 虛 軸映 射 成 Z平 面 的 單 位 圓

36、 。 因 此 ， 穩(wěn) 定 的 模 擬 濾 波 器 經(jīng) 雙 線 性 變換 后 所 得 的 數(shù) 字 濾 波 器 也 是 穩(wěn) 定 的 。 雙 線 性 變 換 法 滿 足 前 面 介紹 的 以 模 擬 濾 波 器 到 數(shù) 字 濾 波 器 轉(zhuǎn) 換 的 基 本 條 件 。 同 時(shí) 雙 線 性變 換 還 克 服 了 采 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 遇 到 的 混 疊 問 題 ， 因 為 它 將S平 面 的 整 個(gè) 虛 軸 映 射 成 了 Z平 面 的 單 位 圓 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 下 面 我 們 再 分 析 模 擬 角 頻 率 與 數(shù) 字 角 頻 率 之 間 的 映 射關(guān) 系 ， 由 式

37、（ 6-43） 得 2tan2 T （ 6-45） 上 式 表 明 S平 面 的 與 Z平 面 的 成 非 線 性 正 切 關(guān) 系 ， 如 圖 6.8所 示 。 從 圖 6.8可 以 看 到 ， 在 =0附 近 它 們 接 近 線 性 關(guān) 系 ， 當(dāng) 增 加 時(shí) ， 增 加 得 愈 來 愈 快 ， 當(dāng) 趨 近 時(shí) ， 趨 向 。 其實(shí) 也 正 因 為 這 種 非 線 性 關(guān) 系 才 使 Z與 S之 間 一 一 對(duì) 應(yīng) 并 消 除 了 頻率 混 疊 現(xiàn) 象 。 但 是 與 之 間 的 非 線 性 關(guān) 系 也 是 雙 線 性 變 換 法的 一 個(gè) 缺 點(diǎn) ， 它 直 接 影 響 了 數(shù) 字 濾 波

38、 器 頻 響 逼 真 地 模 仿 模 擬 濾波 器 的 頻 響 程 度 ， 其 幅 度 特 性 和 相 位 特 性 失 真 的 情 況 如 圖 6.9所 示 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.8 雙 線 性 變 換 中 模 擬 頻 率 與 數(shù) 字 頻 率 的 關(guān) 系 0 2tan2 T 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.9 雙 線 性 變 換 法 的 非 線 性 映 射 |H a (j)| |H(ej)| H(ej) Ha( j) 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 這 種 頻 率 間 的 非 線 性 關(guān) 系 又 產(chǎn) 生 了 新 的 問 題 ， 它 使 得線 性 相 位 模 擬 濾 波 器 經(jīng)

39、 雙 線 性 變 換 后 得 到 的 數(shù) 字 濾 波 器 不再 保 持 原 有 的 線 性 相 位 性 質(zhì) ， 其 次 這 種 非 線 性 關(guān) 系 也 要 求模 擬 濾 波 幅 度 特 性 是 分 段 常 數(shù) 型 的 （ 一 般 低 通 、 高 通 、 帶通 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 持 有 這 種 特 性 ） ， 否 則 變 換 后 的 數(shù) 字濾 波 器 的 幅 度 特 性 將 會(huì) 發(fā) 生 大 的 變 異 。 不 過 此 時(shí) 特 性 轉(zhuǎn) 折點(diǎn) 的 頻 率 值 與 模 擬 濾 波 器 特 性 轉(zhuǎn) 折 點(diǎn) 的 頻 率 值 成 非 線 性 關(guān)系 ， 也 就 是 說 ， 各 分 段 邊 緣 的

40、 臨 界 頻 率 點(diǎn) 發(fā) 生 了 畸 變 ， 如圖 6.9所 示 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 這 種 頻 率 的 畸 變 可 以 通 過 頻 率 的 預(yù) 畸 變 來 校 正 ， 即 將臨 界 頻 率 事 先 加 以 畸 變 ， 然 后 經(jīng) 變 換 后 再 映 射 回 所 需 要的 頻 率 點(diǎn) 。 例 如 ， 要 求 設(shè) 計(jì) 數(shù) 字 濾 波 器 的 截 止 頻 率 為 c，利 用 式 （ 6-45） 預(yù) 先 得 模 擬 濾 波 器 的 截 止 頻 率 c=tan c/2而 不 是 c= c/T， 按 畸 變 后 c設(shè) 計(jì) 出 的 模 擬濾 波 器 經(jīng) 雙 線 性 變 換 后 的 數(shù) 字 濾

41、波 器 正 是 我 們 所 希 望 的 截止 頻 率 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 3.數(shù) 字 濾 波 器 之 間 的 頻 率 變 換 上 面 介 紹 了 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 的 設(shè) 計(jì) 方 法 ， 若 需 設(shè) 計(jì) 數(shù) 字 高通 、 帶 通 和 帶 阻 濾 波 器 ， 如 前 所 述 ， 可 以 先 設(shè) 計(jì) 一 個(gè) 低 通 濾 波器 ， 再 用 頻 率 變 換 將 低 通 濾 波 器 轉(zhuǎn) 換 成 所 需 類 型 的 濾 波 器 。 由 于 頻 率 變 換 可 以 在 模 擬 域 進(jìn) 行 ， 也 可 以 在 數(shù) 字 域 進(jìn) 行 ， 因 此有 兩 種 設(shè) 計(jì) 方 法 ， 如 圖 6.10

42、所 示 。 第 一 種 方 法 是 設(shè) 計(jì) 出 模 擬 低通 濾 波 器 后 ， 用 模 擬 域 的 頻 率 變 換 將 它 轉(zhuǎn) 換 成 所 需 類 型 的 模 擬濾 波 器 ， 在 模 擬 域 從 歸 一 化 低 通 濾 波 器 到 其 他 類 型 的 轉(zhuǎn) 換 關(guān) 系可 參 考 表 6.1。 然 后 再 將 其 從 S平 面 轉(zhuǎn) 換 到 Z平 面 得 到 所 需 類 型的 數(shù) 字 濾 波 器 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 第 二 種 方 法 是 設(shè) 計(jì) 出 模 擬 低 通 濾 波 器 后 ， 首 先 將 其 從 S平面 轉(zhuǎn) 換 到 Z平 面 ， 得 到 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 ， 然

43、后 用 數(shù) 字 域 的 頻 率變 換 將 它 變 換 成 所 需 類 型 的 數(shù) 字 濾 波 器 ， 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 轉(zhuǎn)換 到 其 他 類 型 數(shù) 字 濾 波 器 的 轉(zhuǎn) 換 關(guān) 系 如 表 6.2所 示 。 從 S平 面轉(zhuǎn) 換 到 Z平 面 可 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 或 雙 線 性 變 換 法 ， 由 于 沖 激響 應(yīng) 不 變 法 可 能 會(huì) 產(chǎn) 生 頻 譜 混 疊 ， 不 適 合 于 高 通 和 帶 阻 濾 波器 的 設(shè) 計(jì) ， 因 此 第 一 種 方 法 適 合 用 雙 線 性 變 換 法 ， 第 二 種 則無 此 限 制 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.1

44、0 數(shù) 字 濾 波 器 的 設(shè) 計(jì) 方 法 所需類型的 模擬濾波器 S平面Z平面映射 得到數(shù)字低通濾波器 模擬低通 濾波器 S平面Z平面映射 數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換 所需類型的 數(shù)字濾波器 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 表 6.1 3dB截 止 頻 率 為 p的 模 擬 低 通 濾 波 器 到 其 他 類 型 濾 波 器 的 轉(zhuǎn) 換 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 表 6.2 截 止 頻 率 為 c的 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 到 其 他 類 型 的數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 表 6.2 截 止 頻 率 為 c的 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 到 其 他 類 型 的數(shù) 字 濾

45、波 器 的 頻 率 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 4. 總 結(jié) 和 設(shè) 計(jì) 舉 例 前 面 我 們 介 紹 了 兩 種 映 射 關(guān) 系 ： (1) 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 。 這 種 變 換 具 有 一 定 的 物 理 含 義 ， 且 容 易 理 解 。 當(dāng) 然 沖 激 響 應(yīng) 經(jīng) 采 樣 后 ， 頻 譜 將 發(fā) 生 周 期 性 的重 復(fù) 。 如 果 此 時(shí) 頻 譜 不 出 現(xiàn) 混 疊 ， 而 且 模 擬 濾 波 器 滿 足 技 術(shù) 指標(biāo) ， 那 么 以 其 沖 激 響 應(yīng) 的 采 樣 值 作 為 單 位 采 樣 響 應(yīng) 的 數(shù) 字 濾 波器 也 就 滿 足 指 標(biāo) 要 求 。 這 時(shí) ，

46、模 擬 頻 率 和 數(shù) 字 頻 率 之 間 的映 射 關(guān) 系 為 = T， 即 呈 線 性 變 換 關(guān) 系 。 該 變 換 的 缺 點(diǎn) 是 有 可能 出 現(xiàn) 頻 譜 的 混 疊 失 真 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) (2) 雙 線 性 變 換 法 。 它 是 純 數(shù) 學(xué) 上 的 映 射 關(guān) 系 。 此 時(shí) 的， 其 模 擬 角 頻 率 和 數(shù) 字 角 頻 率 之 間 的 映 射 關(guān)系 為 ： =2tan( T/2)， 即 將 模 擬 頻 率 的 整 個(gè) 區(qū) 間 （ 無 窮 大 ）壓 縮 到 數(shù) 字 頻 率 的 一 個(gè) 區(qū) 間 - , ， 避 免 了 沖 激 響 應(yīng) 不 變法 的 頻 譜 混

47、疊 效 應(yīng) ， 但 同 時(shí) 也 產(chǎn) 生 了 頻 率 畸 變 的 缺 陷 ， 這 使 得該 變 換 只 能 用 于 一 些 分 段 常 數(shù) 型 （ 頻 率 選 擇 性 ） 濾 波 器 的 設(shè) 計(jì) 。 11112 zzTs 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 當(dāng) 用 模 擬 低 通 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 時(shí) ， 首 先 要 把 數(shù)字 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) 轉(zhuǎn) 換 為 相 應(yīng) 的 模 擬 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) 。 這里 主 要 是 將 數(shù) 字 濾 波 器 的 邊 界 頻 率 k， 如 通 帶 頻 率 、 3dB 截止 頻 率 、 阻 帶 截 止 頻 率 等 轉(zhuǎn)

48、換 成 模 擬 濾 波 器 的 相 應(yīng) 邊 界 頻 率 k。 對(duì) 于 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 ， 其 轉(zhuǎn) 換 關(guān) 系 為 k=kT； 對(duì) 于 雙 線性 變 換 法 ， 則 轉(zhuǎn) 換 關(guān) 系 為 。 通 帶 及 阻 帶 衰 減 與 數(shù) 字低 通 濾 波 器 相 仿 。 然 后 根 據(jù) 技 術(shù) 指 標(biāo) 設(shè) 計(jì) 模 擬 濾 波 器 , 最 后 用沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 或 雙 線 性 變 換 法 將 模 擬 濾 波 器 轉(zhuǎn) 換 為 數(shù) 字 濾 波器 。 kk T 21tan2 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 例 6.1 設(shè) 計(jì) 一 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 ， 要 求 在 通 帶 內(nèi) 頻 率 低

49、 于0.2 rad時(shí) ， 幅 度 特 性 下 降 小 于 1dB。 在 頻 率 高 于 0.3 rad的 阻 帶 內(nèi) ， 衰 減 大 于 15 dB。 （ 1） 設(shè) 采 樣 頻 率 fs=10 kHz， 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 設(shè) 計(jì) 巴 特沃 茲 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 。 （ 2） 設(shè) f s=1 kHz， 用 雙 線 性 變 換 法 ， 設(shè) 計(jì) 切 比 雪 夫 數(shù) 字低 通 濾 波 器 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 解 方 法 一 ： 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 設(shè) 計(jì) 巴 特 沃 茲 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 。 （ 1） 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 的 技 術(shù) 指

50、 標(biāo) 為 BB pp d15,d1 rad3.0rad,2.0 ss 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) （ 2） 將 數(shù) 字 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) 轉(zhuǎn) 換 成 模 擬 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) ， 為 s T sT fT /rad1033.0 /rad1022.0 s101 3s 3p 4s 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) （ 3） 設(shè) 計(jì) 巴 特 沃 茲 低 通 濾 波 器 ， 此 時(shí) 的 884.55.1lg 092.0lglglg 092.0110 110 5.12.0 3.0 sp1.01.0ps KNK N是 濾 波 器 的 階 數(shù) ， 必 須 取 整 數(shù) ， 為 了 滿 足

51、技 術(shù) 指 標(biāo) 要 求 ， 選取 比 求 出 的 N大 一 點(diǎn) 的 整 數(shù) ， 如 取 N=6， 代 入 式 （ 6-13a） 或 式（ 6-13b） 中 求 得 c=7.032 10-3rad/s 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 根 據(jù) 式 （ 6-10） 求 極 點(diǎn) ， 代 入 式 （ 6-11） ， 化 簡(jiǎn) 后 得 模 擬低 通 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) )4945.03585.1( 1 )4945.09945.0)(4945.0364.0( 93120.0)( 2 22a s sssH其 中 分 子 系 數(shù) 是 根 據(jù) s=0時(shí) ， Ha(s)=1得 到 的 。 數(shù) 字 濾 波 器

52、設(shè) 計(jì) （ 4） 將 模 擬 濾 波 器 轉(zhuǎn) 換 為 數(shù) 字 濾 波 器 。 將 上 式 Ha(s)按 部分 分 式 展 開 ， 然 后 利 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 修 正 式 （ 6-37） ， 得 所需 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 21 1 21 121 12570.09972.01 6304.08558.1 3699.00691.11 1454.11428.26949.0297.11 4466.02871.0)( zz z zz zzz zzH 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 當(dāng) z=ej時(shí) ,得 到 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 如 圖 6.11所 示 。 由

53、 圖中 可 看 出 ， 在 通 帶 截 止 頻 率 p=0.2處 ， 恰 好 滿 足 衰 減 小 于 1dB的 要 求 ， 在 阻 帶 起 始 頻 率 s=0.3處 ， 衰 減 大 于 15 dB， 超 過 指標(biāo) 要 求 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.11 例 6.1中 六 階 巴 特 沃 茲 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 0.2 0.4 0.6 0.8 0.200.40.60.8 1.0 1.2 幅 度 0.2 0.4 0.6 0.8 0 40 60 0 20 0.2 0.4 0.6 0.8 0 200 100 0 100 200 增 益 /( 分 貝 ) 相 位 /(

54、度 ) 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 方 法 二 ： 用 雙 線 性 變 換 法 設(shè) 計(jì) 切 比 雪 夫 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 。 （ 1） 將 數(shù) 字 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) 轉(zhuǎn) 換 為 模 擬 濾 波 器 的 技 術(shù)指 標(biāo) 。 在 雙 線 性 變 換 中 ， 與 之 間 呈 非 線 性 關(guān) 系 ， 即 2tan2 T 在 T=1 s時(shí) ， 將 數(shù) 字 截 止 頻 率 按 上 式 預(yù) 畸 變 為 模 擬 濾 波 器 的 截 止 頻 率 23.0tan22tan2,22.0tan22tan2 sspp TT 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) （ 2） 求 。 按 照 要 求 ， 我 們

55、設(shè) 計(jì) =1dB的 等 波 紋 切 比雪 夫 濾 波 器 ， 則 847508.0110110 1.01.0 （ 3） 根 據(jù) 式 （ 6-22） ， 計(jì) 算 濾 波 器 的 階 數(shù) N 0141.3)/cosh( 1|)j(| 11arcosh p 2 ar HN s sa故 取 N=4。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) （ 4） 計(jì) 算 濾 波 器 的 極 點(diǎn) 。 根 據(jù) 式 （ 6-24） ， 可 求 出 左 半平 面 的 兩 對(duì) 極 點(diǎn) 為 s1,2=-0.090 669 9 j0.638 999 7, s3.4=-0.218 896 9 j0.264 681 9 （ 5） 求 模 擬 濾

56、 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(s)。 根 據(jù) 式 （ 6-26） ，可 求 得 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) )4166.01814.0)(1180.04378.0( 81043.0)( 22a sssssH 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) （ 6） 求 數(shù) 字 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) H(z)。 利 用 雙 線 性 變 換關(guān) 系 式 及 T=1可 得 ： )6493.05548.11)(8482.04996.11( )1(836001.0|)()( 2121 41112a 11 zzzz zsHzH zzTs所 得 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 如 圖 6.12所 示 。

57、數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.12 例 6.1中 四 階 切 比 雪 夫 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 0.2 0.4 0.6 0.8 00.20.40.6 1.2 1.0 0.8 幅 度 相 位 /( 度 ) 0 20 40 60 0.2 0.4 0.6 0.8 0 200 100 0 100 200 0.2 0.4 0.6 0.8 0 增 益 /( 分 貝 ) 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 6.2.2 用 零 、 極 點(diǎn) 累 試 法 設(shè) 計(jì) IIR數(shù) 字 濾 波 器 由 第 二 章 的 討 論 知 道 ， 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) 的 零 點(diǎn) 和 極 點(diǎn) 位置 完 全 決

58、定 了 濾 波 器 的 幅 度 響 應(yīng) 和 相 位 響 應(yīng) 特 性 。 因 此 ， 通過 合 理 設(shè) 置 數(shù) 字 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) 的 零 、 極 點(diǎn) ， 可 得 到 符 合 要求 的 濾 波 器 , 這 在 工 程 實(shí) 踐 中 用 得 較 多 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 1 低 通 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 考 慮 一 低 通 濾 波 器 ， 其 頻 率 響 應(yīng) 在 = 處 為 零 ， 相 當(dāng) 于 z -1處 有 一 個(gè) 零 點(diǎn) ， 若 在 z=a處 又 有 一 個(gè) 極 點(diǎn) ， 且 a為 小 于 1的正 實(shí) 數(shù) ， 則 其 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 1111)( azzzH （ 6-46）

59、 式 中 a可 以 根 據(jù) 通 帶 的 要 求 來 決 定 ， a越 大 ， 帶 寬 越 窄 。 其 頻 率響 應(yīng) 為 2j cos21 )cos1(2)e( aaH （ 6-47） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 上 式 在 =0時(shí) 達(dá) 到 最 大 值 ， 即 22j02j )1( 4|)e(|)e(|max aHH （ 6-48） 下 面 根 據(jù) 濾 波 器 技 術(shù) 指 標(biāo) 確 定 a。 假 設(shè) 低 通 濾 波 器 3 dB帶 寬為 c， 根 據(jù) 3 dB 帶 寬 定 義 22j02j )1( 421|)e(|21|)e(| c aHH （ 6-49） 由 式 （ 6-47） 和 式 （ 6-

60、49） 可 知 22c c )1( 421cos2-1 )cos1(2 aaa 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 上 式 為 a的 二 次 方 程 ， 解 之 得 c ccossin1 a因 a1， 所 以 取 ccc c sin1coscossin1 a （ 6-50） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 2 高 通 濾 波 器 的 設(shè) 計(jì) 把 低 通 濾 波 器 的 零 、 極 點(diǎn) 位 置 互 換 ， 可 以 得 到 高 通 數(shù) 字 濾波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 011)( 11 aazzzH （ 6-51） 如 設(shè) 高 通 濾 波 器 的 截 止 頻 率 為 2， 同 樣 可 以 推 得 22si

61、n1cos （ 6-52） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 3 帶 阻 濾 波 器 的 設(shè) 計(jì) 如 果 把 低 通 和 高 通 濾 波 器 聯(lián) 立 起 來 ， 即 可 得 到 相 應(yīng) 的 帶阻 濾 波 器 ， 其 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 12 111 1 1111)( zazzazzH （ 6-53） 若 1為 帶 阻 濾 波 器 起 始 頻 率 ， 2為 帶 阻 濾 波 器 截 止 頻 率 ， 據(jù) 此可 得 222 111 sin1cossin1cos （ 6-54a） （ 6-54b ） 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 阻 帶 的 中 心 頻 率 0也 可 由 下 式 決 定 ： 21 210 1co

62、s （ 6-55） 前 面 給 出 了 簡(jiǎn) 單 濾 波 器 單 個(gè) 零 、 極 點(diǎn) 對(duì) 的 設(shè) 置 。 單 個(gè) 零 、 極 點(diǎn)得 到 的 性 能 一 般 比 較 差 ， 常 常 需 要 多 個(gè) 零 、 極 點(diǎn) 才 能 得 到 比 較好 的 性 能 。 另 外 ， 在 確 定 零 、 極 點(diǎn) 位 置 時(shí) 要 注 意 ： （ 1） 極 點(diǎn) 必 須 位 于 Z平 面 單 位 圓 內(nèi) ， 以 保 證 數(shù) 字 濾 波 器因 果 穩(wěn) 定 ； （ 2） 復(fù) 數(shù) 零 、 極 點(diǎn) 必 須 共 軛 成 對(duì) ， 以 保 證 系 統(tǒng) 函 數(shù) 有 理式 的 系 數(shù) 是 實(shí) 的 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 例 6.2

63、 阻 帶 濾 波 器 （ 陷 波 器 ） 設(shè) 計(jì) 。 實(shí) 際 應(yīng) 用 中 常 要 求濾 除 疊 加 在 信 號(hào) 上 的 50 Hz交 流 電 干 擾 ， 同 時(shí) 不 改 變 接 收 信 號(hào)中 的 其 他 頻 率 分 量 ， 因 此 要 求 數(shù) 字 濾 波 器 的 希 望 的 頻 率 響 應(yīng) 為 0 0jd |0 |,201)e( H這 里 0= 0T=2 f0T， f0=50Hz是 待 濾 去 的 干 擾 頻 率 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 要 使 某 一 頻 率 0處 頻 響 幅 值 為 零 ， 只 要 在 z1=ej0和 z2= e-j0處 各 安 排 一 個(gè) 零 點(diǎn) , 而 要 使

64、其 他 頻 率 處 頻 響 幅 值 為 1， 則 必須 在 上 述 零 點(diǎn) 附 近 各 配 上 一 個(gè) 極 點(diǎn) p1和 p2 。 這 樣 ， 當(dāng) z=ej離開 z1和 z2在 單 位 圓 上 移 動(dòng) 時(shí) ， 從 它 到 z1（ 和 z2） 的 距 離 與 從 它到 相 應(yīng) 的 極 點(diǎn) p1（ 和 p2） 的 距 離 近 似 相 等 ， 以 滿 足 |H(z)|1的要 求 。 該 H(z)有 兩 個(gè) 零 點(diǎn) 和 兩 個(gè) 極 點(diǎn) ， 因 此 是 一 個(gè) 二 階 IIR數(shù)字 濾 波 器 。 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 一 般 來 說 ， 一 個(gè) 二 階 IIR數(shù) 字 濾 波 器 往 往 不 能 達(dá)

65、到 阻 帶 特性 要 求 ， 必 要 時(shí) 可 采 用 幾 個(gè) 二 階 濾 波 器 的 級(jí) 聯(lián) ， 例 如 采 用 三個(gè) 二 階 濾 波 器 級(jí) 聯(lián) 組 成 六 階 阻 帶 濾 波 器 。 此 時(shí) 三 對(duì) 零 點(diǎn) 重 合 ， 而 三 對(duì) 極 點(diǎn) 的 幾 何 位 置 分 布 在 以 零 點(diǎn) 為 中 心 ， 為 半 徑 的 小 圓上 。 它 的 零 、 極 點(diǎn) 位 置 可 取 圖 6.13所 示 的 分 布 ， 其 傳 輸 函 數(shù) )()()()( 321 zHzHzHzH 其 中 2*1 201* )(1 cos21)( )e)(e()( 00 zppppz zzpzpz zzzH iiiiii

66、jji i=1, 2, 3 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 式 中 pi為 圖 6.13所 示 的 極 點(diǎn) ， 而 pi*為 其 共 軛 極 點(diǎn) 。 pi的 數(shù) 學(xué) 表 示式 則 為 320 1ee 2 1 )( 00 iiipi jji i 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 圖 6.13 阻 帶 濾 波 器 的 零 、 極 點(diǎn) 配 置 0 Imz z11z22F0T2F0T Rez 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì) 余 下 的 問 題 是 如 何 選 擇 參 數(shù) 、 1和 2。 1和 2的 數(shù) 值 對(duì)整 個(gè) 系 統(tǒng) 的 頻 響 影 響 不 大 ， 這 里 的 1、 2可 選 為 /3左 右 。 對(duì) 整 個(gè) 系 統(tǒng) 的 影 響 較 大 ， 越 小 ， 頻 率 響 應(yīng) 越 接 近 理 想 的 情形 ， 但 太 小 會(huì) 對(duì) 計(jì) 算 中 的 舍 入 誤 差 影 響 十 分 敏 感 ， 甚 至 會(huì) 產(chǎn)生 發(fā) 散 情 況 。 若 用 表 示 遞 歸 型 濾 波 器 ai和 bi的 計(jì) 算 精 度 ， 通常 要 求 0sin2 具 體 數(shù) 值 可 以 通 過 試 驗(yàn) 確 定 （ 例 如 =10-2等 ） 。 數(shù)