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1、一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積8.2 數(shù)量積 向量積*混合積 第八八章 簡(jiǎn)單介紹定義簡(jiǎn)單介紹定義及計(jì)算及計(jì)算.一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積8.2 數(shù)量積 向量積1一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積1.定義定義 設(shè)向量設(shè)向量的夾角為的夾角為 ,稱稱 記作記作數(shù)量積數(shù)量積(點(diǎn)積點(diǎn)積).在物理學(xué)中在物理學(xué)中,一、兩向量的數(shù)量積1.定義設(shè)向量的夾角為,稱 記作數(shù)量2記作記作故故2.性質(zhì)性質(zhì)為兩個(gè)非零向量為兩個(gè)非零向量,則有則有 記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有3記作記作2.性質(zhì)性質(zhì)(1)向量在數(shù)軸上的投影向量在數(shù)軸上的投影(簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介)x同理可定義向
2、量在同理可定義向量在y,z軸上的投影軸上的投影(2)記作2.性質(zhì)(1)向量在數(shù)軸上的投影(簡(jiǎn)介)x同理可定義向43.點(diǎn)積的運(yùn)算律點(diǎn)積的運(yùn)算律(1)交換交換律律(2)結(jié)合律結(jié)合律(3)分配律分配律事實(shí)上事實(shí)上,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),顯然成立顯然成立;3.點(diǎn)積的運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)5例例1.證明三角形余弦定理證明三角形余弦定理證證:則則如圖如圖.設(shè)設(shè)例1.證明三角形余弦定理證:則如圖.設(shè)64.數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示!設(shè)設(shè)則則當(dāng)當(dāng)為非零向量時(shí)為非零向量時(shí),由于由于兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式,得得4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示!設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量7例例2.已知三點(diǎn)已知三點(diǎn) AMB
3、.解解:則則求求故故例2.已知三點(diǎn) AMB.解:則求故8為為 ).求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度流體密度例例3.設(shè)均勻流速為設(shè)均勻流速為的流體流過一個(gè)面積為的流體流過一個(gè)面積為 A 的平的平面域面域,與該平面域的單位垂直向量與該平面域的單位垂直向量解解:單位時(shí)間內(nèi)流過的體積單位時(shí)間內(nèi)流過的體積的夾角為的夾角為且且為單位向量為單位向量為 ).求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體9二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例.設(shè)設(shè)O 為杠桿為杠桿L 的支點(diǎn)的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為有一個(gè)與杠桿夾角為符合右手規(guī)則符合右手規(guī)則矩是一個(gè)向量矩
4、是一個(gè)向量 M:的力的力 F 作用在杠桿的作用在杠桿的 P點(diǎn)上點(diǎn)上,則力則力 F 作用在杠桿上的力作用在杠桿上的力二、兩向量的向量積引例.設(shè)O 為杠桿L 的支點(diǎn),有一個(gè)與101.定義定義定義定義向量向量方向方向:(叉積叉積)記作記作且符合右手規(guī)則且符合右手規(guī)則模模:向量積向量積,稱稱引例中的力矩引例中的力矩右圖三角形面積右圖三角形面積S1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向112.性質(zhì)性質(zhì)為非零向量為非零向量,則則3.運(yùn)算律運(yùn)算律(2)分配律分配律(3)結(jié)合律結(jié)合律(證明略證明略)證明證明:(交換律不成立交換律不成立!)2.性質(zhì)為非零向量,則3.運(yùn)算律(2)分配律(3124.向
5、量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式!設(shè)則4.向量積的坐標(biāo)表示式!設(shè)則13向量積的行列式計(jì)算法向量積的行列式計(jì)算法向量積的行列式計(jì)算法14例例4.已知三點(diǎn)已知三點(diǎn)角形角形 ABC 的面積的面積 解解:如圖所示如圖所示,求三求三例4.已知三點(diǎn)角形 ABC 的面積 解:如圖所示,求15*三、向量的混合積三、向量的混合積(簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介)1.定義定義 已知三向量已知三向量稱數(shù)量稱數(shù)量混合積混合積.記作記作*三、向量的混合積(簡(jiǎn)介)1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積16內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)設(shè)1.向量運(yùn)算向量運(yùn)算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點(diǎn)積點(diǎn)積:叉積叉積:內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:17混合積混合積:2.向量關(guān)系向量關(guān)系:混合積:2.向量關(guān)系:18思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)設(shè)計(jì)算計(jì)算并求并求夾角夾角 的正弦與余弦的正弦與余弦.答案答案:思考與練習(xí)設(shè)計(jì)算并求夾角 的正弦與余弦.答案:19 作業(yè)作業(yè)（不交，課下練習(xí)（不交，課下練習(xí)）P22 3,4,6,7,9,10,12 作業(yè)（不交，課下練習(xí)）20
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