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1、第 1頁*材料力學蔣樹農(nóng)中南大學土木工程學院第 2頁*第六章 彎曲變形 6-1 梁變形的基本概念 撓度和轉(zhuǎn)角6-2 撓曲線近似微分方程6-3 積分法計算梁的變形6-4 疊加法計算梁的變形6-5 簡單超靜定梁第 3頁*梁的撓度，橫截面的轉(zhuǎn)角。梁的撓度，橫截面的轉(zhuǎn)角。度量梁變形的參數(shù)度量梁變形的參數(shù)-二、撓度：二、撓度：橫截面形心沿垂直于橫截面形心沿垂直于 軸線方向的位移軸線方向的位移。一、撓曲線：梁變形后的軸線。一、撓曲線：梁變形后的軸線。性質(zhì)：性質(zhì)：連續(xù)連續(xù)、光滑、彈性、極其平坦的平面曲線。三、轉(zhuǎn)角：三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。的角度。用用“”表示表示。用用“w”表示
2、表示。6-1 梁變形的基本概念 撓度和轉(zhuǎn)角w第 4頁*w=w（x）撓曲線方程。撓度向下為正；向上為負。撓度向下為正；向上為負。=(x)轉(zhuǎn)角方程。由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，順時針為正；逆時針為負。順時針為正；逆時針為負。四、撓度和轉(zhuǎn)角的關系四、撓度和轉(zhuǎn)角的關系撓度：撓度：橫截面形心沿垂直于橫截面形心沿垂直于 軸線方向的位移軸線方向的位移。轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。的角度。用用“”表示。表示。用用“w”表示表示。撓曲線為一條平坦的曲線撓曲線為一條平坦的曲線w第 5頁*一、曲率與彎矩的關系：一、曲率與彎矩的關系：EIM=r1二、曲率與撓曲線
3、的關系（數(shù)學表達式二、曲率與撓曲線的關系（數(shù)學表達式)（2）三、撓曲線與彎矩的關系三、撓曲線與彎矩的關系：聯(lián)立（1）、（2）兩式得（1）6-2 撓曲線近似微分方程第 6頁*M00)(xw撓曲線近似微分方程的近似性撓曲線近似微分方程的近似性忽略了忽略了“Fs”以及以及 對變形的影對變形的影響響 使用條件：使用條件：彈性范圍內(nèi)工作的細長梁。M xw結(jié)論：撓曲線近似微分方程結(jié)論：撓曲線近似微分方程xyxy第 7頁*6-3 積分法計算梁的變形步驟步驟：（EI為常量）1 1、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程 M（x）。2 2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進行積分、根據(jù)彎矩方程
4、列出撓曲線的近似微分方程并進行積分3 3、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。右右左左CC =連續(xù)條件：連續(xù)條件：右右左左CCww=邊界條件：邊界條件：PABCPD第 8頁*（1 1）、固定端：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。）、固定端：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。（2 2）、固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。）、固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。（3 3）、在彎矩方程分段處：）、在彎矩方程分段處：一般情況下左、右的兩個截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。一般情況下左、右的兩個截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。4 4、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程、確定撓曲線
5、方程和轉(zhuǎn)角方程 。5 5、計算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。、計算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。第 9頁*例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）。解：a)a)建立坐標系并寫出彎矩方程b)b)寫出微分方程并積分c)c)應用位移邊界條件求積分常數(shù)Fxd)d)確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程e)自由端的自由端的撓度及轉(zhuǎn)角撓度及轉(zhuǎn)角x=0,w=0;=0yL第 10頁*FC解：a)建立坐標系并寫出彎矩方程建立坐標系并寫出彎矩方程b)寫出寫出微分方程并積分微分方程并積分例：例：求圖示梁的跨中的撓度和轉(zhuǎn)角 （EI=常數(shù)）左側(cè)段（0 x1a）：右側(cè)段（ax2L）：第 11
6、頁*e)跨中點跨中點撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角d)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程c)應用位移邊界條件和連續(xù)條件應用位移邊界條件和連續(xù)條件求積分常數(shù)求積分常數(shù)x=0,w=0;x=L,w=0.x1=x2=a，w1=w2；w1=w2兩端支座處的轉(zhuǎn)角兩端支座處的轉(zhuǎn)角第 12頁*討論：討論：1、此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。、此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。左左側(cè)側(cè)段：段：右右 側(cè)側(cè) 段：段：最大撓度一定在左側(cè)段最大撓度一定在左側(cè)段FC當當 ab 時時當當 ab 時時最大撓度發(fā)生在最大撓度發(fā)生在AC段段第 13頁*2、a=b 時此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。時此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。FC
7、第 14頁*qLABxC解：a)建立坐標系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分c)應用位移邊界條件求積分常數(shù)d)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程e)最大撓度及最大轉(zhuǎn)角ql/2ql/2x=0,w=0;x=L,w=0.例：求分布載荷簡支的最大撓度 和最大轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）第 15頁*梁上有分布載荷，集中力與梁上有分布載荷，集中力與集中力偶。集中力偶。彎矩：彎矩：彎矩的疊加原理彎矩的疊加原理-梁在幾個載荷共同作用下梁在幾個載荷共同作用下的彎矩值，等于各載荷單獨的彎矩值，等于各載荷單獨作用下的彎矩的代數(shù)和。作用下的彎矩的代數(shù)和。6-4 疊加法計算梁的變形第 16頁*一、載荷疊加：一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結(jié)
8、構(gòu)而引起的變形 等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：第 17頁*aaF=+例：疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和C截面 的撓度.解、a)載荷分解如圖b)由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。aaqFACAaaq第 18頁*c)疊加第 19頁*L/2L/2qACA=+例例：求圖示梁C截面的撓度。解解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表3、疊加L/2ACAq/2L/2(a)L/2L/2ACAq/2q/2(b)第 20頁*=+ABLaCqqaABL CM=qa/2（b）例例：求圖示梁B截面的撓度（EI 已知）。已知）。解解：
9、1)結(jié)構(gòu)分解如圖2)查梁的簡單載荷變形表3)疊加B Cq（a）第 21頁*一、梁的剛度條件其中稱為許用轉(zhuǎn)角；/L稱為許用撓跨比。、校核剛度：、設計截面尺寸；（對于土建工程，強度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）二、剛度計算二、剛度計算、確定外載荷。65 梁的剛度計算第 22頁*由梁在簡單荷載作用下的變形表和前面的變形計算可看：由梁在簡單荷載作用下的變形表和前面的變形計算可看：梁的撓度和轉(zhuǎn)角除了與梁的撓度和轉(zhuǎn)角除了與梁的支座和荷載梁的支座和荷載有關外還取決于有關外還取決于下面三個因素下面三個因素：材料材料梁的位移與材料的彈性模量 E 成反比成反比；截面截面梁的位移與截面的慣性矩
10、I 成反比成反比；跨長跨長梁的位移與跨長 L 的的 n 次冪成正比次冪成正比。（轉(zhuǎn)角為（轉(zhuǎn)角為 L 的的 2 次冪，撓度為次冪，撓度為 L的的 3 次冪）次冪）1、增大梁的抗彎剛度（、增大梁的抗彎剛度（EI）2、調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)、調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)方法方法同提高梁的強度的措施相同同提高梁的強度的措施相同三、提高梁的剛度的措施3、預加反彎度（預變形與受力時梁的變形方向相反，目的起到、預加反彎度（預變形與受力時梁的變形方向相反，目的起到一定的抵消作用）一定的抵消作用）第 23頁*注意：注意：同類的同類的材料材料，“E”值相差不多值相差不多，“b b”相差較大相差較大，故換用故換用同類材料只能提高
11、強度，同類材料只能提高強度，不能提高剛度不能提高剛度。不同類的材料不同類的材料，“E”和和“G”都相差很多（鋼都相差很多（鋼E=200GPa,銅銅E=100GPa），故可選用不同類的材料以達到），故可選用不同類的材料以達到提高剛度提高剛度的目的。的目的。但是，改換材料，其但是，改換材料，其原料費用也會隨之發(fā)生很大的改變原料費用也會隨之發(fā)生很大的改變！第 24頁*C C=6-6 簡單超靜定梁C CC C由平衡方程可以解出全部未知數(shù)由平衡方程可以解出全部未知數(shù)靜靜定定問問題題二個平衡方程，三個未知數(shù)。二個平衡方程，三個未知數(shù)。平衡方程數(shù)平衡方程數(shù) 未知數(shù)。未知數(shù)。超超靜靜定定問問題題平衡方程數(shù)平衡
12、方程數(shù)=未知數(shù)。未知數(shù)。去掉多余約束而成為去掉多余約束而成為形式上形式上的靜定結(jié)構(gòu)的靜定結(jié)構(gòu) 基本靜定基基本靜定基。第 25頁*1 1、用多余約束反力代替多余約束（取、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，靜定基，原則：便于計算）原則：便于計算）2 2、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程3 3、把物理條件代入幾何方程列出力的補充方程求出多余反力、把物理條件代入幾何方程列出力的補充方程求出多余反力 計算梁的內(nèi)力、應力、強度、變形、剛度。計算梁的內(nèi)力、應力、強度、變形、剛度。C C=L/2CAqL/2BRc分析C C解超靜定的步驟 (靜力
13、、幾何、物理條件)第 26頁*解：解：1)1)研究對象，研究對象，ABAB梁，梁，受力分析：受力分析：C)物理條件物理條件例 已知梁的EI，梁的長度，求各約束反力。)變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程)選用選用靜定基，去支座靜定基，去支座聯(lián)立求解：聯(lián)立求解：第 27頁*C C畫出剪力圖、彎矩圖。第 28頁*=q0LABLq0MABAq0LRBABxw幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程：解：建立靜定基=例例 結(jié)構(gòu)如圖，求B點反力。LBCqLRBABCqLRBAB=RBAB+q0ABxw=LBCqLRBABCRBAB+qAB物理方程變形與力的關系補充方程求解其它問題（反力、應力、變形等）xw第 31頁*第六章第六章 練
14、習題練習題 一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程 的近似性反的近似性反映在哪幾方面映在哪幾方面?二、用積分法求圖示組合梁的撓曲線方程時二、用積分法求圖示組合梁的撓曲線方程時,需應用的支承條件和連續(xù)條件是什么需應用的支承條件和連續(xù)條件是什么?第 32頁*解解:A:A點處梁的曲率半徑為點處梁的曲率半徑為 ,即即 三、長度為三、長度為L,重量為重量為P的等截面直梁的等截面直梁,放置在水平剛性平面上。放置在水平剛性平面上。若在端點施力若在端點施力P/3上提上提,未提起部分仍保持與平面密合未提起部分仍保持與平面密合,試求提試求提起部分的長度。起部分的長度。第 33頁*思考思考：圖示承受集中力的細長簡支梁,在彎矩最大截面上沿加載方向開一小孔,若不考慮應力集中影響,關于小孔對梁強度和剛度的影響,有如下論述,試判斷哪一種是正確的:(A)思考大大降低梁的強度和剛度;(B)對強度有較大影響,對剛度的影響很小可以忽略不計;(C)對剛度有較大影響,對強度的影響很小可以忽略不計;(D)對強度和剛度的影響都很小,都可以忽略不計。
工程力學：材料力學 第六章 彎曲變形
