高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題五 立體幾何 15_2 點、直線、平面之間的位置關(guān)系課件 理 新人教版

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1、第二講點、直線、平面之間的位置關(guān)系 【 知 識 回 顧 】1.平 行 公 理若 a b,b c,則 a c. 定 理 符 號 表 示 圖 形 表 示線 面 平行 的 判定 定 理 _線 面 平行 的 性質(zhì) 定 理 _a ,ba b a a ,a b a b 2.線 面 平 行 與 垂 直 的 判 定 與 性 質(zhì) 定 理 符 號 表 示 圖 形 表 示線 面 垂直 的 判定 定 理 _線 面 垂直 的 性質(zhì) 定 理 _a, ba ,ba b O l l lab a b 3.面 面 平 行 與 垂 直 的 判 定 與 性 質(zhì)定 理 符 號 表 示 圖 形 表 示面 面 垂直 的 判定 定 理 _面

2、 面 垂直 的 性質(zhì) 定 理 _aa ca ,a c a 定 理 符 號 表 示 圖 形 表 示面 面 平行 的 判定 定 理 _面 面 平行 的 性質(zhì) 定 理 _a ,ba ,ba b O ab a b 【 易 錯 提 醒 】1.忽 略 判 定 定 理 和 性 質(zhì) 定 理 中 的 條 件 致 誤 :應(yīng) 用 線 面 平行 判 定 定 理 時 ,忽 略 “ 直 線 在 平 面 外 ” “ 直 線 在 平 面 內(nèi) ”的 條 件 ;應(yīng) 用 線 面 垂 直 及 面 面 平 行 的 判 定 定 理 時 ,忽 略“ 兩 直 線 相 交 ” “ 兩 直 線 在 平 面 內(nèi) ” 的 條 件 ;應(yīng) 用 面 面垂

3、 直 的 性 質(zhì) 定 理 時 忽 略 “ 直 線 在 平 面 內(nèi) ” “ 直 線 垂 直于 兩 平 面 的 交 線 ” 的 條 件 等 . 2.把 平 面 幾 何 中 的 相 關(guān) 結(jié) 論 推 廣 到 空 間 直 接 利 用 而 致誤 :如 平 面 內(nèi) 垂 直 于 同 一 條 直 線 的 兩 條 直 線 相 互 平 行 ,這 個 結(jié) 論 在 空 間 中 不 成 立 . 3.不 能 準(zhǔn) 確 掌 握 判 定 定 理 和 性 質(zhì) 定 理 致 誤 :如 線 面 平 行的 性 質(zhì) 定 理 中 是 過 與 平 面 平 行 的 直 線 的 平 面 與 該 平 面的 交 線 與 已 知 直 線 平 行 ,而 非

4、 作 出 的 直 線 ;面 面 平 行 的性 質(zhì) 定 理 中 平 行 的 兩 條 直 線 一 定 是 第 三 個 平 面 與 兩 平行 平 面 的 交 線 等 . 【 考 題 回 訪 】1.(2016 山 東 高 考 )已 知 直 線 a,b分 別 在 兩 個 不 同 的 平面 , 內(nèi) ,則 “ 直 線 a和 直 線 b相 交 ” 是 “ 平 面 和 平面 相 交 ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 條 件 B.必 要 不 充 分 條 件C.充 要 條 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 條 件 【 解 析 】 選 A.若 “ 直 線 a和 直 線 b相 交 ” ,則 它 們 一 定 有

5、公 共 點 ,而 又 直 線 a,b分 別 在 兩 個 不 同 的 平 面 , 內(nèi) ,所 以 平 面 , 一 定 存 在 公 共 點 ,所 以 “ 平 面 和 平 面 相 交 ” ;反 過 來 ,“ 平 面 和 平 面 相 交 ” ,而 “ 直 線a和 直 線 b也 可 能 平 行 或 異 面 ” ,所 以 是 充 分 不 必 要 條 件 . 2.(2016 全 國 卷 )平 面 過 正 方 體 ABCD-A1B1C1D1的頂 點 A, 平 面 CB1D1, 平 面 ABCD=m, 平 面ABB1A1=n,則 m,n所 成 角 的 正 弦 值 為 ( )3 2 3 1A. B. C. D.2

6、2 3 3 【 解 析 】 選 A.如 圖 所 示 :因 為 平 面 CB1D1,所 以 若 設(shè) 平 面 CB1D1 平 面 ABCD=m1,則 m1 m.又 因 為 平 面 ABCD 平 面 A1B1C1D1,結(jié) 合 平 面 B1D1C 平 面 A1B1C1D1=B1D1,所 以 B1D1 m1,故 B1D1 m. 同 理 可 得 :CD1 n.故 m,n所 成 角 的 大 小 與 B1D1,CD1所 成 角 的 大 小 相 等 ,即 CD1B1的 大 小 .而 B1C=B1D1=CD1(均 為 面 對 角 線 ),因 此 CD1B1= ,即 sin CD1B1= .3 32 3.(2013

7、 全 國 卷 )已 知 m,n為 異 面 直 線 ,m 平 面 ,n 平 面 ,直 線 l滿 足 l m,l n,l ,l ,則 ( )A. 且 l B. 且 l C. 與 相 交 ,且 交 線 垂 直 于 lD. 與 相 交 ,且 交 線 平 行 于 l 【 解 析 】 選 D.若 ,則 m n,這 與 m,n為 異 面 直 線 矛盾 ,所 以 A不 正 確 .將 已 知 條 件 轉(zhuǎn) 化 到 正 方 體 中 ,易 知 與 不 一 定 垂 直 ,但 與 的 交 線 一 定 平 行 于 l,從 而 排除 B,C. 4.(2016 全 國 卷 ) , 是 兩 個 平 面 ,m,n是 兩 條 直 線

8、 ,有 下 列 四 個 命 題 : 如 果 m n,m ,n ,那 么 , 如 果 m ,n ,那 么 m n; 如 果 ,m ,那 么 m ; 如 果 m n, ,那 么 m與 所 成 的 角 和 n與 所 成的 角 相 等 .其 中 正 確 的 命 題 有 _.(填 寫 所 有 正 確 命 題 的編 號 )【 解 題 指 南 】 借 助 正 方 體 模 型 分 析 、 論 證 . 【 解 析 】 對 于 ,AA (m) 平 面 ABCD( ),AA (m) AD(n),AD(n) 平 面 A B C D ( ),顯 然 平 面 ABCD( ) 平 面 A B C D ( ),故 錯 誤 ;

9、對 于 ,n ,由 線 面 平 行 的 性 質(zhì) 定 理 ,可 知 n與 內(nèi) 的一 條 直 線 l平 行 ,因 為 m ,所 以 m l,所 以 m n,故 正 確 ; 對 于 ,設(shè) 過 m的 平 面 交 于 直 線 l,因 為 ,m ,由 面 面 平 行 的 性 質(zhì) 定 理 可知 m l,由 線 面 平 行 的 判 定 定 理 ,可 知m ,故 正 確 ; 對 于 ,若 m,n分 別 與 平 面 , 平 行 (或 垂 直 ),結(jié) 論 顯然 成 立 ,若 m,n分 別 與 平 面 , 不 平 行 ,也 不 垂 直 ,可 以分 別 作 出 m,n在 平 面 , 內(nèi) 的 射 影 ,由 等 角 定 理

10、 ,可 知結(jié) 論 也 成 立 ,故 正 確 .答 案 : 熱 點 考 向 一 判 斷 與 點 、 線 、 面 位 置 關(guān) 系 有 關(guān) 命 題 的真 假命 題 解 讀 :主 要 考 查 利 用 空 間 點 、 直 線 、 平 面 位 置 關(guān) 系的 定 義 ,四 個 公 理 、 八 個 定 理 來 判 斷 與 點 、 線 、 面 有 關(guān)命 題 的 真 假 ,以 選 擇 題 、 填 空 題 的 形 式 出 現(xiàn) . 【 典 例 1】 (1)(2016 洛 陽 二 模 )若 m,n為 兩 條 不 重 合 的直 線 , , 為 兩 個 不 重 合 的 平 面 ,則 下 列 命 題 中 正 確 的是 ( )

11、 若 直 線 m,n都 平 行 于 平 面 ,則 m,n一 定 不 是 相 交 直 線 ; 若 直 線 m,n都 垂 直 于 平 面 ,則 m,n一 定 是 平 行 直 線 ; 已 知 平 面 , 互 相 垂 直 ,且 直 線 m,n也 互 相 垂 直 ,若m ,則 n ; 若 直 線 m,n在 平 面 內(nèi) 的 射 影 互 相 垂 直 ,則 m n.A. B. C. D. (2)(2016 武 漢 一 模 )如 圖 ,AB是 O的 直 徑 ,VA垂 直 于 O所 在 的 平 面 ,C是 圓 周 上 不 同 于 A,B的 任 意 一 點 ,M,N分 別 為 VA,VC的 中 點 ,則 下 列 結(jié)

12、 論 正 確 的 是 ( ) A.MN ABB.MN與 BC所 成 的 角 為 45C.OC 平 面 VACD.平 面 VAC 平 面 VBC 【 解 題 導(dǎo) 引 】 (1)根 據(jù) 空 間 線 線 、 線 面 、 面 面 平 行 、 垂直 的 判 定 與 性 質(zhì) 逐 個 進(jìn) 行 判 斷 ,并 充 分 利 用 正 方 體 或 長方 體 模 型 幫 助 求 解 .(2)根 據(jù) 條 件 逐 項 驗 證 . 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)選 A.對 于 ,m與 n可 能 平 行 ,可 能 相 交 ,也 可 能 異 面 ;對 于 ,由 線 面 垂 直 的 性 質(zhì) 定 理 可 知 ,m與 n一 定 平 行

13、 ,故 正 確 ;對 于 ,還 有 可 能 n 或 n ; 對 于 ,把 m,n放 入 正 方 體 中 ,如 圖 ,取 A1B為 m,B1C為 n,平 面 ABCD為 平 面 ,則 m與 n在 內(nèi) 的 射 影 分 別 為 AB與 BC,且 AB BC,而 m與 n所 成 的 角 為 60 ,故 錯 .因 此 選 A. (2)選 D.對 于 A,若 MN AB,由 已 知 MN AC,則 得 AB AC,這 與 已 知 AB AC=A矛 盾 ,故 A錯 ;對 于 B,由 題 意 得 BC AC,又 VA 平 面 ABC,BC 平 面 ABC,所 以 VA BC,而 AC VA=A,所 以 BC

14、平 面 VAC,MN 平 面 VAC,所 以 MN BC,故 B錯 ;由此 知 C錯 ,而 BC 平 面 VBC,故 得 平 面 VAC 平 面 VBC,所 以D正 確 . 【 規(guī) 律 方 法 】 判 斷 與 空 間 位 置 關(guān) 系 有 關(guān) 的 命 題 真 假 的方 法(1)借 助 空 間 線 面 平 行 、 面 面 平 行 、 線 面 垂 直 、 面 面 垂直 的 判 定 定 理 和 性 質(zhì) 定 理 進(jìn) 行 判 斷 . (2)借 助 空 間 幾 何 模 型 ,如 從 長 方 體 模 型 、 四 面 體 模 型等 模 型 中 觀 察 線 面 位 置 關(guān) 系 ,結(jié) 合 有 關(guān) 定 理 ,進(jìn) 行

15、肯 定或 否 定 .(3)借 助 于 反 證 法 ,當(dāng) 從 正 面 入 手 較 難 時 ,可 利 用 反 證 法 ,推 出 與 題 設(shè) 或 公 認(rèn) 的 結(jié) 論 相 矛 盾 的 命 題 ,進(jìn) 而 作 出 判 斷 . 【 題 組 過 關(guān) 】1.(2016 浙 江 高 考 )已 知 互 相 垂 直 的 平 面 , 交 于 直線 l.若 直 線 m,n滿 足 m ,n ,則 ( )A.m l B.m n C.n l D.m n 【 解 析 】 選 C.由 題 意 知 , =l,所 以 l ,因 為n ,所 以 n l. 2.(2016 太 原 一 模 )若 , 是 兩 個 相 交 平 面 ,則 在 下

16、列 命 題 中 ,真 命 題 的 序 號 為 _.(寫 出 所 有 真 命 題的 序 號 ) 若 直 線 m ,則 在 平 面 內(nèi) ,一 定 不 存 在 與 直 線 m平行 的 直 線 ; 若 直 線 m ,則 在 平 面 內(nèi) ,一 定 存 在 無 數(shù) 條 直 線 與直 線 m垂 直 ; 若 直 線 m ,則 在 平 面 內(nèi) ,不 一 定 存 在 與 直 線 m垂直 的 直 線 ; 若 直 線 m ,則 在 平 面 內(nèi) ,一 定 存 在 與 直 線 m垂 直的 直 線 . 【 解 析 】 對 于 ,若 直 線 m ,如 果 , 互 相 垂 直 ,則在 平 面 內(nèi) ,存 在 與 直 線 m平 行

17、 的 直 線 ,故 錯 誤 ;對 于 ,若 直 線 m ,則 直 線 m垂 直 于 平 面 內(nèi) 的 所 有直 線 ,在 平 面 內(nèi) 存 在 無 數(shù) 條 與 交 線 平 行 的 直 線 ,這 無數(shù) 條 直 線 均 與 直 線 m垂 直 ,故 正 確 ; 對 于 , ,若 直 線 m ,則 在 平 面 內(nèi) ,一 定 存 在 與 直線 m垂 直 的 直 線 ,故 錯 誤 , 正 確 .答 案 : 【 加 固 訓(xùn) 練 】1.(2015 浙 江 高 考 )設(shè) , 是 兩 個 不 同 的 平 面 ,l,m是 兩 條 不 同 的 直 線 ,且 l ,m ( )A.若 l ,則 B.若 ,則 l mC.若 l

18、 ,則 D.若 ,則 l m 【 解 析 】 選 A.選 項 A中 ,由 平 面 與 平 面 垂 直 的 判 定 ,故 正確 ;選 項 B中 ,當(dāng) 時 ,l,m可 以 垂 直 ,也 可 以 平 行 ,也可 以 異 面 ;選 項 C中 ,l 時 , , 可 以 相 交 ;選 項 D中 , 時 ,l,m也 可 以 異 面 . 2.設(shè) l,m是 兩 條 不 同 的 直 線 , , 是 兩 個 不 同 的 平 面 ,給出 下 列 命 題 : 若 l ,l ,則 ; 若 l ,l ,則 ; 若 ,l ,則 l ; 若 ,l ,則l ; 若 l ,l , =m,則 l m.其 中 真 命 題的 個 數(shù) 為

19、 ( )A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 【 解 析 】 選 B. 若 l ,l ,則 或 相 交 ,因 此是 假 命 題 ; 若 l ,l ,根 據(jù) 線 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 : ,是 真 命 題 ; 若 ,l ,則 l 或 l ,因 此是 假 命 題 ; 若 ,l ,則 l 不 正 確 ,因 此 是 假命 題 ; 若 l ,l , =m,則 l m,是 真 命 題 .其中 真 命 題 的 個 數(shù) 為 2. 3.(2015 廣 東 高 考 )若 直 線 l1和 l2是 異 面 直 線 ,l1在 平 面 內(nèi) ,l2在 平 面 內(nèi) ,l是 平 面 與 平 面 的 交 線

20、,則 下 列命 題 正 確 的 是 ( )A.l至 少 與 l1,l2中 的 一 條 相 交B.l與 l1,l2都 相 交 C.l至 多 與 l1,l2中 的 一 條 相 交D.l與 l1,l2都 不 相 交 【 解 析 】 選 A.直 線 l1和 l2是 異 面 直 線 ,l1在 平 面 內(nèi) ,l2在平 面 內(nèi) , =l,則 l至 少 與 l1,l2中 的 一 條 相 交 . 熱 點 考 向 二 空 間 平 行 、 垂 直 關(guān) 系 的 證 明 命 題 解 讀 :主 要 考 查 線 面 平 行 、 垂 直 及 面 面 平 行 、 垂 直的 判 定 定 理 與 性 質(zhì) 定 理 ,以 解 答 題

21、的 形 式 出 現(xiàn) . 命 題 角 度 一 空 間 平 行 關(guān) 系 的 證 明【 典 例 2】 (2016 資 陽 二 模 )如 圖 ,在 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ,AA1 底 面 ABCD,底 面 ABCD為 直 角 梯 形 ,其 中 AB CD, AB AD,AB=AC=2CD=2,AA1= ,過 AC的 平 面 分 別 與A1B1,B1C1交 于 E1,F1,且 E1為 A1B1的 中 點 .3 (1)求 證 :平 面 ACF1E1 平 面 A1C1D.(2)求 證 :F1為 B1C1的 中 點 .(3)求 錐 體 B-ACF1E1的 體 積 . 【 解 題 導(dǎo) 引 】 (

22、1)連 接 C1E1,則 可 證 四 邊 形 A1D1C1E1是 平行 四 邊 形 ,四 邊 形 ACC1A1是 平 行 四 邊 形 ,故 AE1 DC1,AC A1C1,于 是 由 面 面 平 行 的 判 定 定 理 得 平 面 ACF1E1平 面 A1C1D. (2)由 E1為 A1B1的 中 點 只 需 證 明 A1C1 E1F1即 可 .(3)將 棱 錐 分 解 成 三 棱 錐 E1-ABC和 三 棱 錐 E1-BCF1,分 別計 算 兩 個 小 三 棱 錐 的 體 積 . 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)連 接 C1E1,因 為 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ,A1B1=2D1

23、C1,A1B1 C1D1,又 E1為 A1B1的 中 點 ,則 A1E1 D1C1,所 以 四 邊 形 A1D1C1E1是 平 行 四 邊 形 ,所 以 C1E1 A1D1.又 A1D1 AD,所 以 C1E1 AD. 所 以 四 邊 形 ADC1E1是 平 行 四 邊 形 ,所 以 AE1 DC1.在 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ,因 為 AA1 CC1,AA1=CC1,所 以 四 邊 形 ACC1A1是 平 行 四 邊 形 ,所 以 AC A1C1.又 AE1 平 面 ACF1E1,AC 平 面 ACF1E1,DC1 平 面A1C1D,A1C1 平 面 A1C1D,AC AE1=

24、A,DC1 A1C1=C1,所 以 平 面 ACF1E1 平 面 A1C1D. (2)因 為 在 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ,AC 平 面 A1B1C1D1,AC 平 面 ACF1E1,平 面 ACF1E1 平 面 A1B1C1D1=E1F1,所 以 AC E1F1,又 AC A1C1,所 以 A1C1 E1F1.又 E1為 A1B1的 中 點 ,所 以 F1為 B1C1的 中 點 . (3)因 為 底 面 ABCD為 直 角 梯 形 ,且AB CD,AB AD,AB=2CD=2,所 以 ABC是 邊 長 為 2的 等 邊 三 角 形 , E1B1C1是 邊 長 為 1的 等 邊

25、三 角 形 .連 接 CE1,BE1,點 E1到 平 面 BCC1B1的 距 離 h= .32 則所 以 錐 體 B-ACF1E1的 體 積 1 2E -ABC ABC 11 1 3V S AA 2 3 13 3 4 ，1 1 1E -BCF BCF1 1 1 3 1V S h 2 3 .3 3 2 2 2 1 1 1E -ABC E -BCF 3V V V .2 【 易 錯 警 示 】 解 答 本 題 易 出 現(xiàn) 以 下 三 種 錯 誤1.(1)中 忽 略 AE1,AC在 平 面 ACF1E1內(nèi) ,DC1,A1C1在 平 面A1C1D內(nèi) ,及 其 相 交 ,致 誤 .2.(2)中 忽 略 A

26、C在 平 面 ACF1E1及 E1F1為 兩 平 面 交 線 而 致誤 .3.(3)不 能 轉(zhuǎn) 化 為 兩 個 三 棱 錐 的 體 積 和 求 解 . 【 母 題 變 式 】1.在 本 例 條 件 下 ,求 證 :A1D 平 面 BCE1. 【 證 明 】 連 接 CE1.因 為 CD AB,A1E1 AB,所 以 CD A1E1,故 四 邊 形 CDA1E1為 平 行 四 邊 形 ,所 以 A1D E1C,又 A1D 平 面 BCE1,E1C 平 面 BCE1,所 以 A1D 平 面 BCE1. 12 12 2.在 本 例 的 條 件 下 ,求 證 :平 面 ADC1E1 平 面 DCC1D

27、1.【 證 明 】 連 接 C1E1,因 為 AB CD,AB AD,所 以 AD CD.又 A1A 底 面 ABCD,AA1 DD1,所 以 DD1 平 面 ABCD,AD 平 面 ABCD,所 以 AD DD1.而 DD1 DC=D,所 以 AD 平 面 DCC1D1,又 AD 平 面 ADC1E1,所 以 平 面 ADC1E1 平 面 DCC1D1. 3.在 本 例 中 若 M,N分 別 為 AB,CC1的 中 點 ,求 證 :MN 平 面ADD1A1.【 證 明 】 取 DD1的 中 點 為 G,連 接 GN,GA,由 已 知 得 GN CD,CD AB=AM,所 以 AM GN,故

28、四 邊 形 AMNG為 平 行 四 邊 形 ,所 以 AG MN, 12 又 MN 平 面 ADD1A1,AG 平 面 ADD1A1,所 以 MN 平 面 ADD1A1. 命 題 角 度 二 空 間 垂 直 關(guān) 系 的 證 明【 典 例 3】 (2016 全 國 卷 )如 圖 ,已 知 正 三 棱 錐 P-ABC的 側(cè) 面 是 直 角 三 角 形 ,PA=6,頂 點 P在 平 面 ABC內(nèi) 的 正 投影 為 點 D,D在 平 面 PAB內(nèi) 的 正 投 影 為 點 E,連 接 PE并 延 長交 AB于 點 G. (1)證 明 :G是 AB的 中 點 .(2)在 圖 中 作 出 點 E在 平 面

29、PAC內(nèi) 的 正 投 影 F(說 明 作 法 及理 由 ),并 求 四 面 體 PDEF的 體 積 . 【 題 目 拆 解 】 解 答 本 題 :第 (1)問 可 拆 成 兩 個 小 題 證 明 AB PG. 證 明 PA=PB.第 (2)問 可 拆 成 兩 個 小 題 . 證 明 EF 平 面 PAC. 求 四 面 體 PDEF的 體 積 . 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)因 為 P在 平 面 ABC內(nèi) 的 正 投 影 為 D,所 以 AB PD.因 為 D在 平 面 PAB內(nèi) 的 正 投 影 為 E,所 以 AB DE.因 為 PD DE=D,所 以 AB 平 面 PDE,故 AB PG.

30、又 由 已 知 可 得 ,PA=PB,從 而 G為 AB的 中 點 . (2)在 平 面 PAB內(nèi) ,過 點 E作 PB的 平 行 線 交 PA于 點 F,F即 為E在 平 面 PAC內(nèi) 的 正 投 影 .理 由 如 下 :由 已 知 可 得PB PA,PB PC,又 EF PB,所 以 EF PA,EF PC.又 PA PC=P,因 此 EF 平 面 PAC,即 點 F為 E在 平 面 PAC內(nèi)的 正 投 影 . 連 接 CG,因 為 P在 平 面 ABC內(nèi) 的 正 投 影 為 D,所 以 D是 正 三 角 形 ABC的 中 心 .由 (1)知 ,G是 AB的 中 點 ,所 以 D在 CG上

31、 ,故 CD= CG.由 題 設(shè) 可 得 PC 平 面 PAB,DE 平 面 PAB,所 以 DE PC,因 此 PE= PG,DE= PC. 2323 13 由 已 知 ,正 三 棱 錐 的 側(cè) 面 是 直 角 三 角 形 且 PA=6,可 得DE=2,PE=2 .在 等 腰 直 角 三 角 形 EFP中 ,可 得 EF=PF=2.所 以 四 面 體 PDEF的 體 積 V=2 1 1 42 2 2 .3 2 3 【 規(guī) 律 方 法 】1.證 明 空 間 三 種 平 行 關(guān) 系 的 常 用 方 法(1)證 明 線 線 平 行 利 用 三 角 形 中 位 線 定 理 證 明 ; 利 用 平 行

32、 四 邊 形 對 邊 平 行 證 明 ; 利 用 平 行 公 理 證 明 ; 利 用 線 面 平 行 的 性 質(zhì) 證 明 ; 利 用 面 面 平 行 的 性 質(zhì) 證 明 . (2)證 明 線 面 平 行 利 用 線 面 平 行 的 判 定 定 理 ,把 證 明 線 面 平 行 轉(zhuǎn) 化 為 證明 線 線 平 行 ; 利 用 面 面 平 行 的 性 質(zhì) 定 理 ,把 證 明 線 面 平 行 轉(zhuǎn) 化 為 證明 面 面 平 行 . (3)證 明 面 面 平 行證 明 面 面 平 行 ,依 據(jù) 判 定 定 理 ,將 證 明 面 面 平 行 轉(zhuǎn) 化 為證 明 線 面 平 行 ,再 轉(zhuǎn) 化 為 證 明 線

33、線 平 行 . 2.證 明 空 間 三 種 垂 直 關(guān) 系 的 常 用 方 法(1)證 明 線 線 垂 直 利 用 特 殊 平 面 圖 形 的 性 質(zhì) ,如 利 用 直 角 三 角 形 、 矩 形 、菱 形 、 等 腰 三 角 形 等 得 到 線 線 垂 直 ; 利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ; 利 用 線 面 垂 直 的 性 質(zhì) ,即 要 證 明 線 線 垂 直 ,只 需 證 明一 線 垂 直 于 另 一 線 所 在 平 面 即 可 . (2)證 明 線 面 垂 直 利 用 線 面 垂 直 的 判 定 定 理 ,把 線 面 垂 直 的 判 定 轉(zhuǎn) 化 為證 明 線 線 垂 直 ;

34、利 用 面 面 垂 直 的 性 質(zhì) 定 理 ,把 證 明 線 面 垂 直 轉(zhuǎn) 化 為 證明 面 面 垂 直 ; 利 用 常 見 結(jié) 論 ,如 兩 條 平 行 線 中 的 一 條 垂 直 于 一 個 平面 ,則 另 一 條 也 垂 直 于 這 個 平 面 等 . (3)證 明 面 面 垂 直證 明 面 面 垂 直 常 用 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 ,將 證 明 面 面 垂直 轉(zhuǎn) 化 為 證 明 線 面 垂 直 ,一 般 先 從 現(xiàn) 有 直 線 中 尋 找 ,若圖 中 不 存 在 這 樣 的 直 線 ,則 借 助 中 點 、 高 線 或 添 加 輔 助線 解 決 . 【 變 式 訓(xùn) 練

35、】(2016 宜 春 二 模 )如 圖 ,在 四 棱 錐 P-ABCD中 ,底 面 ABCD是 正 方 形 ,PD 平 面 ABCD,點 E是 線 段 BD的 中 點 ,點 F是 線段 PD上 的 動 點 .(1)若 F是 PD的 中 點 ,求 證 :EF 平 面 PBC.(2)求 證 :CE BF. (3)若 AB=2,PD=3,當(dāng) 三 棱 錐 P-BCF的 體 積 等 于 時 ,試判 斷 點 F在 邊 PD上 的 位 置 ,并 說 明 理 由 . 43 【 解 析 】 (1)在 PDB中 ,因 為 點 E是 BD的 中 點 ,點 F是 PD的 中 點 ,所 以 EF PB.又 因 為 EF

36、 平 面 PBC,PB 平 面 PBC,所 以 EF 平 面 PBC. (2)因 為 PD 平 面 ABCD,且 CE 平 面 ABCD,所 以 PD CE.又 因 為 底 面 ABCD是 正 方 形 ,且 點 E是 BD的 中 點 ,所 以 CE BD.因 為 BD PD=D,所 以 CE 平 面 PBD,而 BF 平 面 PBD,所 以 CE BF. (3)點 F為 邊 PD上 靠 近 D點 的 三 等 分 點 .理 由 如 下 :由 (2)可 知 ,CE 平 面 PBF.又 因 為 PD 平 面 ABCD,BD 平 面 ABCD,所 以 PD BD.設(shè) PF=x,由 AB=2得 BD=2

37、 ,CE= ,2 2 所 以 VP-BCF=VC-BPF= 由 已 知 所 以 x=2.因 為 PD=3,所 以 點 F為 邊 PD上 靠 近 D點 的 三 等 分 點 .1 1 1 2PF BD CE 2 2 2x x.3 2 6 3 2 4x ,3 3 【 加 固 訓(xùn) 練 】1.(2016 石 家 莊 一 模 )如 圖 ,已 知 四 棱 臺 ABCD-A1B1C1D1的 上 、 下 底 面 分 別 是 邊 長 為 3和 6的 正 方 形 ,AA1=6,且A1A 底 面 ABCD,點 P,Q分 別 在 棱 DD1,BC上 ,BQ=4. (1)若 DP= DD1,證 明 :PQ 平 面 ABB

38、1A1.(2)若 P是 D1D的 中 點 ,證 明 :AB1 平 面 PBC.23 【 證 明 】 (1)在 AA1上 取 一 點 N,使 得 AN= AA1,因 為 DP= DD1,且 A1D1=3,AD=6,所 以 PN AD,又 BQ AD,所 以 PN BQ.所 以 四 邊 形 BQPN為 平 行 四 邊 形 , 2323 2323 所 以 PQ BN.因 為 BN 平 面 ABB1A1,PQ 平 面 ABB1A1,所 以 PQ 平 面 ABB1A1. (2)如 圖 所 示 ,取 A1A的 中 點 M,連 接 PM,BM,PC,因 為 A1A,D1D是 梯 形 的 兩 腰 ,P是 D1

39、D的 中 點 ,所 以 PM AD,于 是 由 AD BC知 ,PM BC,所 以 P,M,B,C四 點 共 面 .由 題 設(shè) 可 知 ,BC AB,BC A1A,AB AA1=A,所 以 BC 平 面 ABB1A1, 所 以 BC AB1, 因 為 tan ABM= =tan A1AB1,所 以 ABM= A1AB1,所 以 ABM+ BAB1= A1AB1+ BAB1=90 ,所 以 AB1 BM,再 BC BM=B,知 AB1 平 面 PBC.1 11A BAM 3AB 6 A A 2.(2016 茂 名 一 模 )如 圖 ,在 直 角 梯 形 ABCD中 ,AB CD,且 AB=AD=

40、2,CD=4,四 邊 形 ADE1F1是 正 方 形 ,且 平 面ADE1F1 平 面 ABCD,M是 E1C的 中 點 .(1)證 明 :BM 平 面 ADE1F1.(2)求 三 棱 錐 D-BME1的 體 積 . 【 解 析 】 (1)取 E1D的 中 點 N,連 接 MN,AN,在 E1DC中 ,M,N分 別 為 E1C,E1D的 中 點 ,所 以 MN CD,MN= CD,因 為 AB CD,AB= CD,所 以 MN AB,MN=AB,則 四 邊 形 ABMN是 平 行 四 邊 形 ,則 BM AN,1212 因 為 AN 平 面 ADE1F1,BM 平 面 ADE1F1,所 以 B

41、M 平 面 ADE1F1. (2)由 平 面 ADE1F1 平 面 ABCD,E1D 平 面 ADE1F1,平 面ADE1F1 平 面 ABCD=AD,E1D AD,所 以 E1D 平 面 ABCD,因 為 AD CD,E1D CD=D,所 以 AD 平 面 E1DC,因 為 AB CD,CD 平 面 E1DC,AB 平 面 E1DC, 所 以 AB 平 面 E1DC,則 B到 平 面 E1DC的 距 離 就 是 A到 平 面 E1DC的 距 離 ,即 B到平 面 E1DC的 距 離 是 AD,由 則即 三 棱 錐 D-BME1的 體 積 V=1E DM 11 CD 1S E D ( ) 2

42、2 22 2 2 ，1 1 1D-E MB B-E DM E DM1 1 4V V S AD 2 23 3 3 ，4.3 熱 點 考 向 三 與 空 間 平 行 、 垂 直 有 關(guān) 的 綜 合 性 問 題命 題 解 讀 :主 要 考 查 與 空 間 線 面 、 面 面 的 平 行 、 垂 直 關(guān)系 有 關(guān) 的 折 疊 問 題 、 探 索 性 問 題 ,常 以 解 答 題 形 式 出 現(xiàn) . 【 典 例 4】 (1)(2016 哈 爾 濱 一 模 )如 圖 ,在 矩 形 ABCD中 ,AB=8,BC=4,E為 DC的 中 點 ,沿 AE將 ADE折 起 ,在 折 起過 程 中 ,下 列 結(jié) 論

43、中 能 成 立 的 序 號 為 _. ED 平 面 ACD; CD 平 面 BED; BD 平 面 ACD; AD 平 面 BED. (2)(2016 鄭 州 二 模 )如 圖 ,在 四 棱 錐 P-ABCD中 ,底 面ABCD是 菱 形 , DAB=30 ,PD 平 面 ABCD,AD=2,點 E為 AB上 一 點 ,且 =m,點 F為 PD中 點 .AEAB 若 m= ,證 明 :直 線 AF 平 面 PEC; 是 否 存 在 一 個 常 數(shù) m,使 得 平 面 PED 平 面 PAB,若 存 在 ,求 出 m的 值 ;若 不 存 在 ,說 明 理 由 .12 【 解 題 導(dǎo) 引 】 (1

44、)在 折 起 過 程 中 ,畫 出 D點 在 平 面 BCE上的 投 影 軌 跡 ,利 用 線 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 逐 項 判 斷 得解 .(2) 作 FM CD,交 PC于 M,推 導(dǎo) 出 四 邊 形 AEMF為 平 行 四邊 形 ,由 此 能 證 明 直 線 AF 平 面 PEC; 要 使 平 面 PED 平 面 PAB,只 需 AB DE,求 出 AE=ADcos30 = ,推 導(dǎo) 出 平 面 PED 平 面 PAB,由 此 能 求出 存 在 一 個 常 數(shù) m= 使 得 平 面 PED 平 面 PAB.3 AE 3AB 2 ， 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)因 為

45、在 矩 形 ABCD中 ,AB=8,BC=4,E為 DC的 中 點 ,所 以 在 折 起 過 程 中 ,D點 在 平 面 BCE上 的 投 影 如圖 . 因 為 DE與 AC所 成 角 不 能 為 直 角 ,所 以 DE不 會 垂 直 于 平 面 ACD,故 錯 誤 ;只 有 D點 投 影 位 于 O2位 置 時 ,即 平 面 AED與 平 面 AEB重 合時 ,才 有 BE CD,此 時 CD不 垂 直 于 平 面 AEBC,故 CD與 平 面 BED不 垂 直 ,故 錯 誤 ; BD與 AC所 成 角 不 能 成 直 角 ,所 以 BD不 能 垂 直 于 平 面 ACD,故 錯 誤 ;因

46、為 AD ED,并 且 在 折 起 過 程 中 ,存 在 一 個 位 置 使 AD BE,且 DE BE=E,所 以 在 折 起 過 程 中 存 在 AD 平 面 BED的 位 置 ,故 正 確 .答 案 : (2) 作 FM CD,交 PC于 點 M,因 為 點 F為 PD的 中 點 ,所 以 FM= CD.因 為 m= ,所 以 AE= AB=FM,又 FM CD AE,所 以 四 邊 形 AEMF為 平 行 四 邊 形 ,所 以 AF EM,1212 12 因 為 AF 平 面 PEC,EM 平 面 PEC,所 以 直 線 AF 平 面 PEC. 存 在 一 個 常 數(shù) m= ,使 得

47、平 面 PED 平 面 PAB,理 由如 下 :要 使 平 面 PED 平 面 PAB,只 需 AB DE,因 為 AB=AD=2, DAB=30 ,32 所 以 AE=ADcos30 = ,又 因 為 PD 平 面 ABCD,PD AB,PD DE=D,所 以 AB 平 面 PDE,因 為 AB 平 面 PAB,所 以 平 面 PDE 平 面 PAB,所 以 m= 3AE 3.AB 2 【 規(guī) 律 方 法 】1.求 解 平 面 圖 形 折 疊 問 題 的 關(guān) 鍵 和 方 法(1)關(guān) 鍵 :分 清 翻 折 前 后 哪 些 位 置 關(guān) 系 和 數(shù) 量 關(guān) 系 改 變 ,哪 些 不 變 ,抓 住

48、翻 折 前 后 不 變 的 量 ,充 分 利 用 原 平 面 圖形 的 信 息 是 解 決 問 題 的 突 破 口 . (2)方 法 :把 平 面 圖 形 翻 折 后 ,經(jīng) 過 恰 當(dāng) 連 線 就 能 得 到 三棱 錐 、 四 棱 錐 等 幾 何 體 ,從 而 把 問 題 轉(zhuǎn) 化 到 我 們 熟 悉 的幾 何 體 中 解 決 . 2.探 索 性 問 題 求 解 的 途 徑 和 方 法(1)對 命 題 條 件 探 索 的 三 種 途 徑 : 先 猜 后 證 ,即 先 觀 察 ,嘗 試 給 出 條 件 再 證 明 ; 先 通 過 命 題 成 立 的 必 要 條 件 探 索 出 命 題 成 立 的

49、條 件 ,再 證 明 充 分 性 ; 將 幾 何 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 代 數(shù) 問 題 ,探 索 出 命 題 成 立 的 條 件 . (2)對 命 題 結(jié) 論 的 探 索 方 法 :從 條 件 出 發(fā) ,探 索 出 要 求 的 結(jié) 論 是 什 么 ,對 于 探 索 結(jié) 論是 否 存 在 ,求 解 時 常 假 設(shè) 結(jié) 論 存 在 ,再 尋 找 與 條 件 相 容或 者 矛 盾 的 結(jié) 論 . 【 題 組 過 關(guān) 】1.(2016 蘭 州 二 模 )如 圖 ,在 長 方 形 ABCD中 ,AB=2,BC=1,E為 DC的 中 點 ,F為 線 段 EC(端 點 除 外 )上 一 動 點 .現(xiàn) 將 AF

50、D沿 AF折 起 ,使 平 面 ABD 平 面 ABC.在 平 面 ABD內(nèi) 過點 D作 DK AB,K為 垂 足 .設(shè) AK=t,則 t的 取 值 范 圍 是_. 【 解 析 】 此 題 可 采 用 兩 個 極 端 位 置 法 ,即 當(dāng) F位 于 DC的中 點 時 ,t=1,隨 著 F點 到 C點 時 ,因 為 CB AB,CB DK,所 以 CB 平 面 ADB,即 有 CB BD,對 于 CD=2,BC=1,所 以 BD= .又 AD=1,AB=2,因 此 有 AD BD,3 則 有 t= ,因 此 t的 取 值 范 圍 是 .答 案 : 12 1( 1)2，1( 1)2， 2.(201

51、6 大 同 一 模 )如 圖 ,邊 長 為 3 的 正 方 形 ABCD中 ,點 E,F分 別 是 邊 AB,BC上 的 點 ,將 AED, DCF分 別 沿DE,DF折 起 ,使 A,C兩 點 重 合 于 點 A .(1)求 證 :A D EF.(2)當(dāng) BE=BF= BC時 ,求 三 棱 錐 A -EFD的 體 積 . 313 【 解 析 】 (1)因 為 A D A E,A D A F,A E A F=A ,所 以 A D 平 面 A EF,因 為 EF 平 面 A EF,所 以 A D EF.(2)由 (1)知 ,A D 平 面 A EF,所 以 A D的 長 即 為 三 棱 錐 D-

52、A EF的 高 , 則 A E=A F=作 A O EF于 點 O,所 以 A O= 則 VA -EFD=VD-A EF= 2 22BC 2 3 EF BE BF 63 ， ，2 21 42A E ( EF)2 2 ，A EF1 1 1A D S 3 3 EF A O3 3 2 1 1 42 3 213 3 6 .3 2 2 2 【 加 固 訓(xùn) 練 】如 圖 ,四 邊 形 ABCD為 矩 形 ,PD 平 面 ABCD,AB=1,BC=PC=2,作 如 圖 折 疊 ,折 痕 EF DC.其 中 點 E,F分 別 在線 段 PD,PC上 ,沿 EF折 疊 后 點 P落 在 線 段 AD上 的 點

53、記 為 M,并 且 MF CF. (1)證 明 :CF 平 面 MDF.(2)求 三 棱 錐 M-CDE的 體 積 . 【 解 析 】 (1)因 為 PD 平 面 ABCD,AD 平 面 ABCD,所 以 PD AD.又 因 為 四 邊 形 ABCD是 矩 形 ,CD AD,PD與 CD交 于 點 D,所以 AD 平 面 PCD.又 CF 平 面 PCD,所 以 AD CF,即 MD CF.又 MF CF,MD MF=M,所 以 CF 平 面 MDF. (2)因 為 PD DC,PC=2,CD=1,所 以 PCD=60 ,PD= ,由 (1)知 FD CF,在 直 角 三 角 形 DCF中 ,CF= CD= .過點 F作 FG CD交 CD于 點 G,得 FG=FCsin60 = 所 以 DE=FG= ,故 ME=PE= 12 123 1 3 32 2 4 ，34 3 3 33 4 4 ， 所 以 MD= S CDE= 故 VM-CDE= 2 2 2 23 3 3 6ME DE ( ) ( ) .4 4 2 1 1 3 3DE DC 1 .2 2 4 8 CDE1 1 6 3 2MD S .3 3 2 8 16