《點積叉積》PPT課件.ppt

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1、五 、 向 量 的 模 、 方 向 角 、 投 影 1. 向 量 的 模 與 兩 點 間 的 距 離 公 式2 2 2x y z ),( zyxr 設(shè) r ),( 111 zyxA得 兩 點 間 的 距 離 公 式 :2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z 212212212 )()()( zzyyxx 對 兩 點 與 ,),( 222 zyxBBABA AB 例 6. 已 知 兩 點 )5,0,4(A 和 ,)3,1,7(B解 : 求114 )2,1,3( 142,141,143 .BABA BABA = o yzx2. 方 向 角 與 方 向 余 弦設(shè) 有 兩 非 零

2、向 量 ,ba 任 取 空 間 一 點 O , ,aOA 作,bOB O AB稱 = AOB (0 ) 為 向 量 ba , 的 夾 角 . ),( ab 或類 似 可 定 義 向 量 與 軸 , 軸 與 軸 的 夾 角 . ,0),( zyxr給 定 與 三 坐 標 軸 的 夾 角 , , r r稱為 其 方 向 角 .cos rx 222 zyx x 方 向 角 的 余 弦 稱 為 其 方 向 余 弦 . 記 作 ),( ba o yzx r cos rx 222 zyx x cos ry 222 zyx y cos rz 222 zyx z 1coscoscos 222 方 向 余 弦

3、的 性 質(zhì) : :的 單 位 向 量向 量 r rrr )cos,cos,(cos 思 考 ： 若 , , 是 向 量 與 三 坐 標 面 的 夾 角 ，2 2 2cos cos cos ? 3. 向 量 在 軸 上 的 投 影 ( 7.2中 簡 單 介 紹 ) 例 7. 已 知 兩 點 )2,2,2(1M 和 ,)0,3,1(2M的 模 、 方 向 余 弦 和 方 向 角 . 解 : ,21 ,23 )20 計 算 向 量)2,1,1( 222 )2(1)1( 2,21cos ,21cos 22cos ,32 ,3 4321MM (21 MM 21MM 例 8. 設(shè) 點 A 位 于 第 一

4、卦 限 ,解 : 已 知作 業(yè) P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19角 依 次 為 , 43 求 點 A 的 坐 標 . , 43 則 222 coscos1cos 41因 點 A 在 第 一 卦 限 ,故 ,cos 21 于 是(6 ,21 ,22 )21 )3,23,3(故 點 A 的 坐 標 為 .)3,23,3( 向 徑 OA 與 x 軸 y 軸 的 夾 ,6AO且OA OAAO 一 、 兩 向 量 的 數(shù) 量 積二 、 兩 向 量 的 向 量 積 8.2 數(shù) 量 積 向 量 積 *混 合 積 第 七 章 簡 單 介 紹 定 義及 計 算 . 1M一 、 兩 向

5、 量 的 數(shù) 量 積 W1. 定 義 設(shè) 向 量 的 夾 角 為 ,稱 記 作數(shù) 量 積 (點 積 ) .在 物 理 學 中 , FcossF 2Mbacosba的與為 ba ba, sF s ,0時當 a 上 的 投 影 為在 ab 記 作故 ,0, 時當同 理 b abjrPb2. 性 質(zhì) 為 兩 個 非 零 向 量 ,則 有bajrPcosbba baaa)1( 2aba,)2( 0baba b a 0ba則 2),( ba 0,0 ba| |cosa b Prjaa b ab xxab yyab zzab=x x y y z za b a b a b 記 作2. 性 質(zhì)(1) Prjx

6、 acosa axa向 量 在 數(shù) 軸 上 的 投 影 (簡 介 ) x同 理 可 定 義 向 量 在 y, z軸 上 的 投 影P ( )xrj a b P Px xrj a rj b (2) P ( )xrj a P xrj a 3. 點 積 的 運 算 律(1) 交 換 律(2) 結(jié) 合 律 ),( 為 實 數(shù) abba ba)( )( ba )( ba)()( ba )( ba )( ba (3) 分 配 律 cbcacba 事 實 上 , 當 0c 時 , 顯 然 成 立 ; 時當 0c c)( ba ba bcjrPacjrP cba bac jrPc c ba cc jrPjrP

7、 acjrP c bcjrP c ca cb )(jrP bac AB Ca bc例 1. 證 明 三 角 形 余 弦 定 理 cos2222 abbac 證 :則 cos2222 abbac 如 圖 . 設(shè) ,aBC ,bAC cBA bac 2c )()( baba aa bb ba22a 2b cos2 ba ccbbaa , 4. 數(shù) 量 積 的 坐 標 表 示 !設(shè) 則,1 0zzyyxx bababa 當 為 非 零 向 量 時 ,cos zzyyxx bababa 222 zyx aaa 222 zyx bbb 由 于 ba cosba,kajaiaa zyx ,kbjbibb

8、zyx ba )( kajaia zyx )( kbjbib zyx ii jj kk ji kj ikba ba baba,兩 向 量 的 夾 角 公 式 , 得 )(MB,)(MA BM例 2. 已 知 三 點 ,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1( BAM AMB . A解 : ,1 ,1 0 ,1 ,0 1則 AMBcos 1 0 02 2 213AMB 求MBMAMA MB故 為 ) .求 單 位 時 間 內(nèi) 流 過 該 平 面 域 的 流 體 的 質(zhì) 量 P (流 體 密 度例 3. 設(shè) 均 勻 流 速 為 的 流 體 流 過 一 個 面 積 為 A 的 平面 域 , 與

9、 該 平 面 域 的 單 位 垂 直 向 量 , A解 : 單 位 時 間 內(nèi) 流 過 的 體 積AP AA 的 夾 角 為且 vv n cosvcosv nv vnn 為 單 位 向 量平 面 域 曲 面 域且 曲 面 上 每 一 點 處 的 流 速 是非 均 勻 的 (大 小 方 向 均 變 化 )?在 第 10章 我 們 也 能 解 決 ,這 就 是 數(shù) 學 的 魅 力 . 二 、 兩 向 量 的 向 量 積引 例 . 設(shè) O 為 杠 桿 L 的 支 點 ,有 一 個 與 杠 桿 夾 角 為 O L P 符 合 右 手 規(guī) 則 F sinOPOP F M OPM M矩 是 一 個 向 量

10、 M :的 力 F 作 用 在 杠 桿 的 P點 上 ,則 力 F 作 用 在 杠 桿 上 的 力Fo PFMFM Q 1. 定 義 定 義向 量 方 向 : (叉 積 ) 記 作且 符 合 右 手 規(guī) 則模 : 向 量 積 ,，的 夾 角 為設(shè) ba, c ,ac bcc sina b b ac稱 c 的與為 向 量 ba bac ba引 例 中 的 力 矩 FOPM 右 圖 三 角 形 面 積 a bba21S 2. 性 質(zhì) 為 非 零 向 量 , 則 ，0sin 或即 0aa)1( 0ba,)2( 0ba ba,0,0 時當 ba ba0ba sina b 03. 運 算 律(2) 分

11、配 律(3) 結(jié) 合 律 (證 明 略 )ab cba )( cbca ba )( )( ba )( baba)1(證 明 : (交 換 律 不 成 立 !) xxba yyab zzab )( kajaia zyx )( kbjbib zyx 4. 向 量 積 的 坐 標 表 示 式 !設(shè) 則,kajaiaa zyx ,kbjbibb zyx ba )( iiba xx )( jiba yx )( kiba zx )( ijba xy )( kjba zy )( ikba xz )( jkba yz ibaba yzzy )( jbaba zxxz )( kbaba xyyx )( )( j

12、jba yy )( kkba zz i jk 向 量 積 的 行 列 式 計 算 法kji xa ya zaxb yb zb,zy zy bb aa ,zx zx bb aa yx yx bb aaba ibaba yzzy )( jbaba zxxz )( kbaba xyyx )( kajaiaa zyx kbjbibb zyx ( 行 列 式 計 算 見 附 錄 1 P339) 例 4. 已 知 三 點 ,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1( CBA角 形 ABC 的 面 積 解 : 如 圖 所 示 , CBAS A B C21 kji2 2 21 2 4 )(21 ,4 ,6

13、 2222 2)6(421 14sin21 AB AC21 ACAB 求 三 *三 、 向 量 的 混 合 積 (簡 介 )1. 定 義 已 知 三 向 量 稱 數(shù) 量混 合 積 .記 作cba )( cba , cba的為 cba , x y zx y zx y za a ab b bc c c 內(nèi) 容 小 結(jié)設(shè)1. 向 量 運 算加 減 :數(shù) 乘 :點 積 : ),( zzyyxx babababa ),( zyx aaaa zzyyxx babababa ),(,),(,),( zyxzyxzyx ccccbbbbaaaa 叉 積 : kjixa ya zaxb yb zbba 混 合

14、積 :2. 向 量 關(guān) 系 : xxab yyab zzab 0 zzyyxx babababa/ ba 0ba zyx zyx zyx ccc bbb aaacba )( cba共 面cba , 0zyx zyx zyx ccc bbb aaa( ) 0a b c a b c 0ba 思 考 與 練 習設(shè) 計 算 并 求夾 角 的 正 弦 與 余 弦 . )3,1,1(1cos ,| | | | 2 3a ba b | | 11sin 12| | | |a ba b 答 案 :ba, ,1ba ba ,2 jibkjia ,baba 及| | 6,| | 2a b 作 業(yè) P310 3 ,

15、4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12預(yù) 習 7.5 22 343cos322)2( 17備 用 題1. 已 知 向 量 的 夾 角 且解 ： ,43 ba ,.| ba求 ,2| a ,3| b 2ba )()( baba aa ba2 bb 22 cos2 bbaa 17 ba 2 P337 題 1 (4)(5)為 單 位 向 量 ,且解 (4) , ,a b c 0a b c 則 a b b c c a ( ) 0a b c a a a b a c a ( ) 0a b c b a b b b c b ( ) 0a b c c a c b c c c 三 式 相

16、 加 得 : a b b c c a 3.2(4)向 量 3, 4, 5.a b c 0a b c 則 a b b c c a (5)已 知 且( ) 0a b c a b a c a (5) =( ).=( ). c a a b b c a b 同 理則 原 式 =3 3 sina b a b 3 3 4 1 =36.32 36 3. 證 : ,PB a 在 線 段 AB的 一 側(cè) 有 一 動 點 P,以 PB,PA為 邊 向 外 做 正 方形 PBCD和 PAEF,M為 D,E的 中 點 (如 圖 ).證 明 :(1) PM AB;(2) PM= AB.12 A B CDPEF M設(shè) .A

17、P b 垂 直 屏 幕 向 外 的 單 位 向 量 為 .i,PD i a .PE i b 12 PM PD PE 12 i a i b 12 ( )i a b 12i AB 所 以 PM AB;且 PM= AB.12 備 用 題 . 證 明 (1)任 意 三 角 形 ABC的 三 條 中 線 可 構(gòu) 成 1 ;B CA0a b c BE 證 :(1)設(shè) ABC三 邊 的 中 點 分 別 為 D,E,F(如 圖 ) F D E(2) 1 的 三 條 中 線 構(gòu) 成 的 三 角 形 2與 ABC 相 似 , 并 求 相 似 比 記 ,BC a ,CA b .AB c 則三 條 中 線 a 12C

18、F b c b 12AD c a c 0a b c 所 以 三 條 中 線 可 構(gòu) 成 三 角 形 ,記 為 1 b ac12a b 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 12a a b (2) 1 的 三 條 中 線 構(gòu) 成 的 三 角 形 2與 ABC 相 似 , 并 求 相 似 比 (2) 1三 條 中 線12b b c 12c c a 1 1 12 2 2( ) ( )a b b c 1 1 12 2 2( ) ( )b c c a 1 1 12 2 2( ) ( )c a a b 14a b c 34c 14b c a 34 a 14c a b 34b 所 以 2與 ABC 相 似 , 且 相 似 比 為 12a a b 12b b c 12c c a 34