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1、1,無窮小的性質,極限的四則運算法則,1.5 極限運算法則,2,證明,設及是當xx0時的兩個無窮小,則 0,10,當0|xx0|1 時 有|| ,20,當0|xx0|2 時 有|| ,取 min1 2,則當0|xx0|時 有,這說明 也是當xx0時的無窮小,||||||2 ,定理1 有限個無窮小的和也是無窮小,無窮小的性質,僅就兩個xx0時的無窮小情形證明,舉例:,當x0時 x與sin x都是無窮小 所以xsin x也是當x0時的無窮小,3,設函數(shù)u在x0的某一去心鄰域x|0|xx0|1內(nèi)有界 即M0 使當0|xx0|1時 有|u|M,又設是當xx0時的無窮小 即0 存在20 使當0|xx0|
2、2時 有|| 取min1 2 則當0|xx0| 時 有 |u||u|||M 這說明u 也是當xx0時的無窮小,證明,定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小,定理1 有限個無窮小的和也是無窮小,無窮小的性質,4,舉例:,推論2 有限個無窮小的乘積也是無窮小,定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小,定理1 有限個無窮小的和也是無窮小,無窮小的性質,推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小,5,(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB,推論1 如果lim f(x)存在 而c為常數(shù) 則 limcf(x)=climf(x),推論2 如果limf(x)存在 而n是正整數(shù) 則 l
3、imf(x)n=limf(x)n ,定理3 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么,極限的四則運算法則,(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB ,6,數(shù)列極限的四則運算法則,定理5 如果j(x)y(x) 而limj(x)=a limy(x)=b 那么ab,不等式,定理4 設有數(shù)列xn和yn 如果,那么,7,求極限舉例,討論,提示,解,,解,例2 求,例1 求,8,解,解,根據(jù)無窮大與無窮小的關系得,因為,例4,例3 求,9,討論,提示,當Q(x0)P(x0)0時 約去分子分母的公因式(xx0) ,10,先用x3去除分子及分母 然后取極限,解,先用x
4、2去除分子及分母 然后取極限,解:,例6,例5 求,11,討論,提示,解,所以,例7,12,解 當x時 分子及分母的極限都不存在 故關于商的極限的運算法則不能應用,是無窮小與有界函數(shù)的乘積,例8,13,定理6(復合函數(shù)的極限運算法則),說明,設函數(shù)yfg(x)是由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復合而成 fg(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)u0 則,把定理中g(x)u0(xx0)換成g(x)(xx0或x) 而把f(u)A(uu0)換成f(u)A(u)可類似結果,,14,定理6(復合函數(shù)的極限運算法則),設函數(shù)yfg(x)是由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復合而成 fg(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)u0 則,例9,,,是由,與,復合而成的,.,,,解,15,總結,1、極限的四則運算法則及其推論;,2、極限求法;,a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無窮小因子分出法求極限; d.利用無窮小運算性質求極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.,3、復合函數(shù)的極限運算法則,
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