無限脈沖響應濾波器

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1、第 10 章 無限脈沖響應濾波器,10.1 無限脈沖響應濾波器基礎 10.2 低通模擬濾波器 10.3 雙線形變換 10.4 巴特沃斯濾波器設計 10.5 切比雪夫型濾波器設計 10.8 帶通、高通和帶阻 IIR 濾波器,返回,,,infinite impulse response filter(IIR)無限脈沖響應濾波器 bilinear transformation 雙線性變換 prewarping equation 預扭曲方程 Butterworth filter 巴特沃斯濾波器 Chebyshev Type I filter 切比雪夫I 型濾波器 Chebyshev Type II

2、filter 切比雪夫II 型濾波器 elliptic filter 橢圓濾波器 Impulse invariance method 脈沖響應不變法,10.1 無限脈沖響應濾波器基礎,濾波器新的輸出，和過去的輸出及過去的輸入和現在 輸入有關。,差分方程 akyn-k= bkxn-k,N k=0,M k=0,若 a0=1，則 yn=-a1yn-1 - - aNyn-N + b0 xn+b1n-1++bMxn-M,傳輸函數,H(z)=,b0+b1z-1+ b2z-2++bMz-M 1+ a1z-1+a2z-2++aNz-N,,這種遞歸濾波器的極點由分母多項式確定，這就可能使濾波器不

3、穩(wěn)定，同時遞歸濾波器很難實現線性相位，也就是遞歸濾波器使相位失真，但實現某種性能要求時比非遞歸濾波器所需要的系數少。 設計遞歸濾波器的方法是選擇具有待求特性的原型模擬濾波器，然后將其轉換為數字濾波器。,返回,,10.2 低通模擬濾波器,在連續(xù)域中，濾波器用 S 而不用 Z 來描述。 簡單低通模擬濾波器的傳輸函數為 H(s)=,1 s+1,,頻率響應為 H()= s用 j代替,1 j +1,,幅度 |H()|=,1 2 +1,,, |H()|0 |H()|1,具有低通特性,,=1弧度/秒 |H()|= 20log( )=-3dB,1 2,,,即 f=/

4、2=1/2 Hz 為它的帶寬 為使濾波器更通用，傳輸函數變?yōu)?H(s)=,p1 s+p1,,H()= =,p1 j+p1,1 1+j/p1,,,其幅度|H()|=,1 (/p1)2+1,,,=p1 時，出現 3dB,圖10.3,通常模擬濾波器類型包括：巴特沃斯、切比雪夫型、 切比雪夫型和橢圓濾波器等。,圖10.4,返回,,10.3 雙線性變換,它為模擬濾波器和數字濾波器之間的轉換提供了一種 方法。 s 2fs,,z 1 z+1,,z用 ej 代替可得到離散時間傅立葉變換,逆雙線性變換 2tan-1 (/2fs) 圖 10.5 給出了數字頻率 和模擬頻率 之間的關系。,,雙線性變

5、換建立了數學域和模擬域之間的另一種聯(lián)系： 數字濾波器的穩(wěn)定區(qū)域是 Z 平面單位圓內，模擬濾波器 的穩(wěn)定區(qū)域在 S 復平面的左半部,圖 10.6,,例1：一階模擬低通濾波器的傳輸函數 H(s)=wp1/(s+wp1)。濾波器的-3dB頻率是2000弧度/秒。求出與此模擬濾波器相對應的數字濾波器的傳輸函數H(z),采樣頻率為1500Hz.,預扭曲的數字濾波器幅度響應如圖 10.10 所示，可 看出預扭曲的濾波器的截止頻率非常接近所要求的值 318.3 Hz。,圖 10.10,返回,,10.4 巴特沃斯濾波器設計,巴特沃斯濾波器是 IIR 無限脈沖響應濾波器中最簡單的。,它的傳輸函數 H(s)=,

6、p1 S+p1,,|H()|=,1 (/p1)2+1,,,一階模擬巴特沃斯濾波器,n階模擬巴特沃斯濾波器具有負責的傳輸函數 H(s)，,其濾波器形狀|H()|= ，與一階相似。,1 (/p1)2n+1,,,階數越高，滾降越陡，圖10.12 顯示 n=1,2,3,4時模擬 巴特沃斯濾波器形狀。,圖10.12,描述數字 IIR 濾波器的術語：(由圖10.13(a)、(b)看),圖10.13,p 通帶波紋：通帶內最大和最小增益之差 p 取 3dB (巴特沃斯濾波器) 1 p : 通帶邊緣增益（對應的頻率fp1） (或20log(1 p)dB) s ：阻帶波紋，對應的阻帶邊緣增益，

7、 對應頻率 fs1 阻帶邊緣頻率。 阻帶邊緣的增益為20logsdB,設計時阻帶邊緣頻率和阻帶衰減（-20logs）或阻 帶增益（20logs）要給出。圖 10.14 說明非線性相 位響應，表明濾波后的信號在某種程度上有相位失真。 對于 n 階巴特沃斯濾波器，滿足通帶和阻帶設計要求 所需的階數 n,s1 : 模擬濾波器預扭曲阻帶邊緣頻率。 p1 : 模擬濾波器預扭曲通帶邊緣頻率。,設計低通巴特沃斯濾波器步驟： 1) 確定待求通帶邊緣頻率 fp1 Hz 、待求阻帶邊緣頻率 fs1 Hz 和待求阻帶衰減 - 20logsdB(或待求阻帶增 益 20logsdB)。通帶邊緣頻率必須對應 3dB

8、增益。,4) 由已給定的阻帶衰減 - 20logs(或增益- 20logs) 確定阻帶邊緣增益 s 。,3) 計算預扭曲模擬頻率以避免雙線性變化帶來的失真。 由 =2fs tan(/2) 求得 p1和 s1，單位是弧度/秒。,2) 用式 =2f/fs 把由 Hz 表示的待求邊緣頻率轉成 由弧度表示的數字頻率，得到 p1 和s1 。,5) 用下式計算所需濾波器的階數：,n 取整數,例 10.6 設計具有巴特沃斯特性的低通 IIR 濾波器， - 3 dB 頻率為 1 200 Hz。在 1 500 Hz 處 增益降到 25 dB。采樣速率為 8 000 Hz。 選擇合適的濾波

9、器階數并畫出濾波器形狀。,解： 1) fp1=1200Hz， fs1=1500HZ -20logs=25， fs=8000Hz 2) p1= 2 fp1/fs=0.3 弧度 s1= 2 fs1/fs=0.375 弧度 3) p1=2fs tan(p1/2)=8152.4 弧度/秒 p1= 2fs tan(s1/2)=10690.9弧度/秒,4) 20logs =-25 s=10-25/20=0.0562,5) =10.6 取 n=11,6) 模擬濾波器形狀,1 (/p1)2n+1,,,|H()|= =,1 (/8152.4)22+1,,,|H()|=,1

10、(16000tan(/2)/8152.4)22+1,,,返回,,10.5 切比雪夫型濾波器設計,切比雪夫濾波器傳輸函數非常復雜，但濾波器形狀 表達式非常簡單，n 階切比雪夫型濾波器的形狀定義為,|H()|=,1 1+2Cn2(/p1),,,Cn(x)=,cos(ncos-1(x)) 對于|x|1 cosh(ncosh-1(x)) 對于|x|1,,參數 取決與通帶波紋,濾波器階數大于 1，切比雪夫濾波器具有比巴特沃夫 濾波器更陡峭的滾降特性。,圖 10.17,切比雪夫濾波器的參數示于圖 10.18,圖 10.18,切比雪夫濾波器的階數可由,n,cosh-1(/) cosh-1(s1/p1 ),

11、,= (1/s2) 1,,低通切比雪夫型濾波器的設計步驟：,3）對數字頻率采用預扭曲以避免雙線性變換引起的誤差。 由 =2fs tan(/2) 得到p1和 s1，單位是弧度/秒。,2）用公式 =2f/fs 將待求的邊緣頻率轉換為數字頻率 （用弧度表示），得到 p1 和 s1 。,1）確定待求的通帶與阻帶邊緣頻率 fp1 和fs1 、待求的 通帶邊緣增益 20log(1- p) 和待求的阻帶衰減 -20logs（或待求的阻帶增益 20logs ）。,5）由指定的衰減-20logs（或增益 20logs），確定 阻帶邊緣增益 s 。計算式如下：,例 10.9 對于采樣頻率為 20 KHz

12、 的系統(tǒng)，設計具有切 比雪夫型特性的 IIR 濾波器。通帶最大增益 為 0 dB，通帶邊緣在 5 kHz 處，其增益為 -1 dB。阻帶邊緣在 7.5 kHz處，其增益為 - 32 dB。,解： fp1=5000 Hz , fs1=7500Hz , 20log(1- p) =-1 fs =20000Hz , 20logs= - 32,p1 = 2fp1/fs =0.5 弧度 s1 = 2fs1/fs =0.75 弧度,p1 = 2fs tan(p1/2) =40000弧度/秒 s1 = 2fs tan(s1/2) =96568.5弧度/秒,7),|H(

13、)|=,1 1+2Cn2(/p1),,,=,1 1+0.2589C42(/40000),,,=2fs tan(/2) 代入上式,|H()|=,1 1+ 0.2589C42(/2),,,C4(x)=,cos(4cos-1(x)) 對于|x|1 cosh4(4cosh-1(x)) 對于|x|1,,返回,,10.8 帶通、高通和帶阻 IIR 濾波器,帶通和高通濾波器的階數要通過對低通濾波器的原 型的計算來選擇。 圖 10.22 表明了設計步驟,圖 10.22,傳輸函數,高通 HH(s)=HL(pp/s) p 為低通濾波器的截止頻率 p為高通濾波器的截止頻率,帶通 HBP(s)=HL(p

14、(s2+lu)/s(u - l)) l：帶通濾波器的低端截止頻率 l u：帶通濾波器的高端截止頻率 u,帶阻 HBS(s)= HL(ps(u- l)/(s2+ul)),從上的p ，p ，l ，u 都要進行預扭曲計算，避免濾波器失真。 =2fs tan(/2),* 帶通和帶阻濾波器的階數都為其低通原型的兩倍。,,IIR濾波技術的一個應用就是產生和恢復用于按鍵電話機的雙音多頻信號（DTMF),FIGURE 10-25 Touch-Tone keypad.,Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Processing,Copyri

15、ght 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.,FIGURE 10-26 Tone generation filter.,Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Processing,Copyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.,FIGURE 10-30

16、DTMF generator.,Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Processing,Copyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.,FIGURE 10-31 DTMF receiver.,Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Processing,Copyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.,