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1、第 6 章 方差分析與試驗(yàn)設(shè)計(jì),統(tǒng)計(jì)學(xué)是有關(guān)收集和分析帶有隨機(jī)性誤差的數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)。,第 6 章 方差分析與試驗(yàn)設(shè)計(jì),6.1 方差分析引論 6.2 單因素方差分析 6.3 雙因素方差分析 6.4 試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步,我看出來了：方差分析提高了檢驗(yàn)的效率，也增加了分析的可靠性。,學(xué)習(xí)目標(biāo),掌握單因素方差分析的方法及應(yīng)用 理解多重比較的意義 解釋方差分析的概念 掌握雙因素方差分析的方法及應(yīng)用 掌握試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本原理和方法 解釋方差分析的基本思想和原理,6.1 方差分析引論,一、方差分析及其有關(guān)術(shù)語 二、方差分析的基本思想和原理 三、方差分析的基本假定 四、問題的一般提法,一、方差分析及其有關(guān)術(shù)語,（
2、一）什么是方差分析？,1. 檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等 通過分析數(shù)據(jù)的誤差判斷各總體均值是否相等 2. 研究分類型自變量對數(shù)值型因變量的影響 一個(gè)或多個(gè)分類尺度的自變量 兩個(gè)或多個(gè) (k 個(gè)) 處理水平或分類 一個(gè)間隔或比率尺度的因變量 3. 有單因素方差分析和雙因素方差分析 單因素方差分析：涉及一個(gè)分類的自變量 雙因素方差分析：涉及兩個(gè)分類的自變量,案例：為了對幾個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評價(jià)，消費(fèi)者協(xié)會在四個(gè)行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費(fèi)者對總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表：,案例分析（方差分析結(jié)論）,1. 分析四個(gè)行業(yè)之間的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著差異，也就是要判斷“行業(yè)”對“投訴次數(shù)
3、”是否有顯著影響 2. 作出這種判斷最終被歸結(jié)為檢驗(yàn)這四個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是否相等 3. 若它們的均值相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是沒有影響的，即它們之間的服務(wù)質(zhì)量沒有顯著差異；若均值不全相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是有影響的，它們之間的服務(wù)質(zhì)量有顯著差異,（二）方差分析中的有關(guān)術(shù)語,1. 因素或因子 所要檢驗(yàn)的對象 要分析行業(yè)對投訴次數(shù)是否有影響，行業(yè)是要檢驗(yàn)的因素或因子 2. 水平或處理 因子的不同表現(xiàn) 零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)就是因子的水平 3. 觀察值 在每個(gè)因素水平下得到的樣本數(shù)據(jù) 每個(gè)行業(yè)被投訴的次數(shù)就是觀察值,4. 試驗(yàn) 這里只涉及一個(gè)因素，因此稱為單因素
4、四水平的試驗(yàn) 5. 總體 因素的每一個(gè)水平可以看作是一個(gè)總體 比如零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)可以看作是四個(gè)總體 6. 樣本數(shù)據(jù) 被投訴次數(shù)可以看作是從這四個(gè)總體中抽取的樣本數(shù)據(jù),二、方差分析的基本思想和原理,（一）散點(diǎn)圖,解讀散點(diǎn)圖,1. 從散點(diǎn)圖上可以看出 不同行業(yè)被投訴的次數(shù)是有明顯差異的 同一個(gè)行業(yè)，不同企業(yè)被投訴的次數(shù)也明顯不同 家電制造被投訴的次數(shù)較高，航空公司被投訴的次數(shù)較低。 2. 行業(yè)與被投訴次數(shù)之間有一定的關(guān)系 如果行業(yè)與被投訴次數(shù)之間沒有關(guān)系，那么它們被投訴的次數(shù)應(yīng)該差不多相同，在散點(diǎn)圖上所呈現(xiàn)的模式也就應(yīng)該很接近,（二）誤差來源,僅從散點(diǎn)圖上觀察還不能提供充分的
5、證據(jù)來證明不同行業(yè)對被投訴的次數(shù)之間有顯著的差異。 隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差 （1）隨機(jī)誤差：同一行業(yè)（或同一總體），樣本的觀察值是不同的。這種差異也可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的。因?yàn)槠髽I(yè)是隨機(jī)的，因此他們之間的差異可以看成是隨機(jī)因素的影響所造成的。） （2）系統(tǒng)誤差：不同行業(yè)（或不同總體），樣本的觀察值也是不同的。這種差異也可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于行業(yè)本身所造成的。,3. 組內(nèi)誤差和組間誤差 （1）組內(nèi)誤差：同一總體下各樣本數(shù)據(jù)之間的誤差。 如所抽7各零售企業(yè)被投訴次數(shù)之間的誤差。 （2）組間誤差：不同總體下各樣本數(shù)據(jù)之間的誤差。 如所抽零售業(yè)、旅游業(yè)等行業(yè)之間被投訴次數(shù)
6、之間的誤差。 （3）組內(nèi)誤差和組間誤差之間的關(guān)系：組內(nèi)誤差只包括隨機(jī)誤差，組間誤差既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差。 如果不同行業(yè)對投訴次數(shù)沒有影響，此時(shí)組間誤差只包含隨機(jī)誤差，不包括系統(tǒng)誤差。這時(shí)，組間誤差和組內(nèi)誤差經(jīng)過平方后的數(shù)值比就應(yīng)該會接近1。 反之，如果不同行業(yè)對投訴次數(shù)有影響，此時(shí)組間誤差不僅包含了隨機(jī)誤差，還會包括系統(tǒng)誤差。這時(shí)，組間誤差經(jīng)過平方后的數(shù)值就會大于組內(nèi)誤差經(jīng)過平方后的數(shù)值，他們之間的比值就會大于1。這一比值達(dá)到某種程度時(shí)，可以說因素的不同總體之間存在著顯著差異，也就是自變量對因變量有影響。,4.方差分析：判斷行業(yè)對投訴次數(shù)是否有顯著影響，實(shí)質(zhì)就是檢驗(yàn)被投訴次數(shù)
7、的差異主要是由于什么原因所引起，并需要有更準(zhǔn)確的方法來檢驗(yàn)這種差異是否顯著，就需要進(jìn)行方差分析。,比較兩類誤差，以檢驗(yàn)均值是否相等 比較的基礎(chǔ)是方差比 如果系統(tǒng)(處理)誤差明顯地不同于隨機(jī)誤差，則均值就 是不相等的；反之，均值就是相等的 誤差是由各部分的誤差占總誤差的比例來測度的,（三）比較兩類誤差,隨機(jī)誤差 因素的同一水平(總體)下，樣本各觀察值之間的差異 比如，同一行業(yè)下不同企業(yè)被投訴次數(shù)是不同的 這種差異可以看成是隨機(jī)因素的影響，稱為隨機(jī)誤差 系統(tǒng)誤差 因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異 比如，不同行業(yè)之間的被投訴次數(shù)之間的差異 這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可
8、能是由于行業(yè)本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差,（四）兩類方差,數(shù)據(jù)的誤差用平方和表示，稱為方差 組內(nèi)方差 因素的同一水平(同一個(gè)總體)下樣本數(shù)據(jù)的方差 比如，零售業(yè)被投訴次數(shù)的方差 組內(nèi)方差只包含隨機(jī)誤差 組間方差 因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的方差 比如，四個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)之間的方差 組間方差既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差,方差的比較：,若不同行業(yè)對投訴次數(shù)沒有影響，則組間誤差中只包含隨機(jī)誤差，沒有系統(tǒng)誤差。這時(shí)，組間誤差與組內(nèi)誤差經(jīng)過平均后的數(shù)值就應(yīng)該很接近，它們的比值就會接近1 若不同行業(yè)對投訴次數(shù)有影響，在組間誤差中除了包含隨機(jī)誤差外，還會包含
9、有系統(tǒng)誤差，這時(shí)組間誤差平均后的數(shù)值就會大于組內(nèi)誤差平均后的數(shù)值，它們之間的比值就會大于1 當(dāng)這個(gè)比值大到某種程度時(shí)，就可以說不同水平之間存在著顯著差異，也就是自變量對因變量有影響 判斷行業(yè)對投訴次數(shù)是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)被投訴次數(shù)的差異主要是由于什么原因所引起的。如果這種差異主要是系統(tǒng)誤差，說明不同行業(yè)對投訴次數(shù)有顯著影響,三、方差分析的基本假定,（一）基本假定 1.每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布 對于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機(jī)樣本 比如，每個(gè)行業(yè)被投訴的次數(shù)必需服從正態(tài)分布 2. 各個(gè)總體的方差必須相同 各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的總體中抽取的 比如，
10、四個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的方差都相等 3. 觀察值是獨(dú)立的 如，每個(gè)行業(yè)被投訴的次數(shù)與其他行業(yè)被投訴的次數(shù)獨(dú)立,（二）基本假定的應(yīng)用描述,1. 在上述假定條件下，判斷行業(yè)對投訴次數(shù)是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有同方差的四個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等 2. 如果四個(gè)總體的均值相等，可以期望四個(gè)樣本的均值也會很接近 四個(gè)樣本的均值越接近，推斷四個(gè)總體均值相等的證據(jù)也就越充分 樣本均值越不同，推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分,案例分析1--原假設(shè)成立, 如果原假設(shè)成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m4 四個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的均值都相等 意味著每個(gè)樣本都來自均值為、方差為 2的同一正態(tài)總體,,,
11、1 2 3 4,f(X),X,案例分析2被擇假設(shè)成立,若備擇假設(shè)成立，即H1 ： mi (i=1,2,3,4)不全相等 至少有一個(gè)總體的均值是不同的 四個(gè)樣本分別來自均值不同的四個(gè)正態(tài)總體,四、問題的一般提法,設(shè)因素有k個(gè)水平，每個(gè)水平的均值分別用1 , 2, , k 表示 要檢驗(yàn)k個(gè)水平(總體)的均值是否相等，需要提出如下假設(shè)： H0 ： 1 2 k H1 ： 1 , 2 , ，k 不全相等 設(shè)1為零售業(yè)被投訴次數(shù)的均值，2為旅游業(yè)被投訴次數(shù)的均值，3為航空公司被投訴次數(shù)的均值，4為家電制造業(yè)被投訴次數(shù)的均值，提出的假設(shè)為 H0 ： 1 2 3 4 H1 ： 1 , 2 , 3 , 4 不
12、全相等,6.2 單因素方差分析,一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 二、分析步驟 三、用Excel進(jìn)行方差分析 四、方差分析中的多重比較,一、單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),二、分析步驟,（一）提出假設(shè),1. 一般提法 H0 ： m1 = m2 == mk 自變量對因變量沒有顯著影響 H1 ： m1 ，m2 ， ，mk不全相等 自變量對因變量有顯著影響 2. 注意：拒絕原假設(shè)，只表明至少有兩個(gè)總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等,（二）構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量 1.計(jì)算水平的均值,（1）假定從第i個(gè)總體中抽取一個(gè)容量為ni的簡單隨機(jī)樣本，第i個(gè)總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個(gè)數(shù) （2）計(jì)算公式為,
13、式中： ni為第 i 個(gè)總體的樣本觀察值個(gè)數(shù) xij 為第 i 個(gè)總體的第 j 個(gè)觀察值,2.計(jì)算全部察值的總均值,（1）全部觀察值的總和除以觀察值的總個(gè)數(shù) （2） 計(jì)算公式為,案例分析,,（3）計(jì)算誤差平方和 1）計(jì)算總誤差平方和 SST,全部觀察值 與總平均值 的離差平方和 反映全部觀察值的離散狀況 其計(jì)算公式為,前例的計(jì)算結(jié)果： SST = (57-47.869565)2++(58-47.869565)2 =115.9295,2）計(jì)算水平項(xiàng)平方和 SSA,各組平均值 與總平均值 的離差平方和 反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組間平方和 該平方和既包
14、括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差 計(jì)算公式為,前例的計(jì)算結(jié)果：SSA = 1456.608696,3）計(jì)算誤差項(xiàng)平方和 SSE,每個(gè)水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和 反映每個(gè)樣本各觀察值的離散狀況，又稱組內(nèi)平方和 該平方和反映的是隨機(jī)誤差的大小 計(jì)算公式為,前例的計(jì)算結(jié)果：SSE = 2708,三個(gè)平方和的關(guān)系：,總離差平方和(SST)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)、水平項(xiàng)離差平方和 (SSA) 之間的關(guān)系,SST = SSA + SSE,,,,前例的計(jì)算結(jié)果： 4164.608696=1456.608696+2708,三個(gè)平方和的作用：,1. SST反映全部數(shù)據(jù)總的誤差程度；SSE反
15、映隨機(jī)誤差的大??；SSA反映隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小 2. 如果原假設(shè)成立，則表明沒有系統(tǒng)誤差，組間平方和SSA除以自由度后的均方與組內(nèi)平方和SSE和除以自由度后的均方差異就不會太大；如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差 3. 判斷因素的水平是否對其觀察值有影響，實(shí)際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小,（4）構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(計(jì)算均方MS), 各誤差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對誤差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差 計(jì)算方法是用誤差平方和除以相應(yīng)的自由度 三個(gè)平方和對應(yīng)的自由度分別是 SST
16、的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個(gè)數(shù) SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個(gè)數(shù) SSE 的自由度為n-k,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(計(jì)算均方 MS),組間方差：SSA的均方，記為MSA，計(jì)算公式為,組內(nèi)方差：SSE的均方，記為MSE，計(jì)算公式為,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F ),將MSA和MSE進(jìn)行對比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F 當(dāng)H0為真時(shí)，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為 n-k 的 F 分布，即,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(F分布與拒絕域),如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE1,（三）統(tǒng)計(jì)決策, 將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進(jìn)行比較，作出對原假設(shè)H0
17、的決策 根據(jù)給定的顯著性水平，在F分布表中查找與第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相應(yīng)的臨界值 F 若FF ，則拒絕原假設(shè)H0 ，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗(yàn)的因素對觀察值有顯著影響 若F
18、 ”方框內(nèi)鍵入數(shù)據(jù)單元格區(qū)域 在方框內(nèi)鍵入0.05（可根據(jù)需要確定） 在“輸出選項(xiàng) ”中選擇輸出區(qū)域,用Excel進(jìn)行方差分析,四、方差分析中的多重比較,（一）多重比較的意義 （二）多重比較的方法,差分析中的多重比較,可采用Fisher提出的最小顯著差異方法，簡寫為LSD LSD方法是對檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否相等的t檢驗(yàn)方法的總體方差估計(jì)加以修正(用MSE來代替)而得到的 通過對總體均值之間的配對比較來進(jìn)一步檢驗(yàn)到底哪些均值之間存在差異,方差分析中的多重比較(步驟),提出假設(shè) H0: mi = mj (第i個(gè)總體的均值等于第j個(gè)總體的均值) H1: mi mj (第i個(gè)總體的均值不等
19、于第j個(gè)總體的均值) 計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量: 計(jì)算LSD 決策：若 ，拒絕H0； 若 ，不拒絕H0,方差分析中的多重比較(例題分析),第1步：提出假設(shè) 檢驗(yàn)1： 檢驗(yàn)2： 檢驗(yàn)3： 檢驗(yàn)4： 檢驗(yàn)5： 檢驗(yàn)6：,方差分析中的多重比較(例題分析),第2步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 檢驗(yàn)1： 檢驗(yàn)2： 檢驗(yàn)3： 檢驗(yàn)4： 檢驗(yàn)5： 檢驗(yàn)6：,方差分析中的多重比較(例題分析),第3步：計(jì)算LSD 檢驗(yàn)1： 檢驗(yàn)2： 檢驗(yàn)3： 檢驗(yàn)4： 檢驗(yàn)5： 檢驗(yàn)6：,方差分析中的多重比較(例題分析),第4步：作出決策,零售業(yè)與旅游業(yè)均值之間沒有顯著差異,零售業(yè)與航空公司均值之間有顯著差異,零售業(yè)與家電業(yè)均值之間沒有顯著差異,旅游業(yè)與航空業(yè)均值之間沒有顯著差異,旅游業(yè)與家電業(yè)均值之間沒有顯著差異,航空業(yè)與家電業(yè)均值有顯著差異,,,
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