飛機(jī)排隊(duì)模型數(shù)學(xué)建模.ppt

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1、MCM-89題機(jī)場安排最優(yōu)排隊(duì)調(diào)度問題,機(jī)場通常是用“先到先服務(wù)”的原則來分配飛機(jī)跑道，即當(dāng)飛機(jī)準(zhǔn)備好離開登機(jī)口時(shí)，駕駛員電告地面控制中心，加入等候跑道的隊(duì)伍。假設(shè)控制塔可以快速在線數(shù)據(jù)庫中得到每架飛機(jī)的如下信息： 1、預(yù)定離開登機(jī)口的時(shí)間； 2、實(shí)際離開登機(jī)口的時(shí)間； 3、機(jī)上乘客人數(shù)； 4、預(yù)定在下一站轉(zhuǎn)機(jī)的人數(shù)和轉(zhuǎn)機(jī)時(shí)間； 5、到達(dá)下一站的預(yù)定時(shí)間。 又設(shè)共有七種飛機(jī)，載客從100人起以50人遞增，載客最多的一種是400人。試開發(fā)和分析一種能使乘客和各航空公司雙方都滿意的數(shù)學(xué)模型。（注：七種飛機(jī)可能分屬于不同的航空公司）,在目前的各國機(jī)場，一般都使用“先到先服務(wù)

2、”的排隊(duì)系統(tǒng)，這一系統(tǒng)雖一直延用，但效率不高，且不能調(diào)節(jié)意外情況的發(fā)生。在這里將要給出一個(gè)利用數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)快速排隊(duì)的模型，以使機(jī)場高效的服務(wù)，并使航空公司在盡量小的花費(fèi)情況下，達(dá)到顧客滿意的目的。,模型的基本假設(shè),機(jī)場上所有要起飛的飛機(jī)，都必須使相同一條跑道，并且任何一架飛機(jī)在起飛的時(shí)候都需要完全地占有整條跑道，每架飛機(jī)占用的時(shí)間是一樣長的。這一假設(shè)可把整個(gè)時(shí)間分割成離散的等長的小時(shí)間段（也稱為起飛窗口寬度），在每個(gè)小時(shí)間段上可容納一架飛機(jī)完成起飛操作。 第i架飛機(jī)由第j個(gè)時(shí)間段上起飛時(shí)，其所需費(fèi)用僅與該飛機(jī)和時(shí)間位置有關(guān)，而與它前面是哪架飛機(jī)無關(guān)。即費(fèi)用不是前面飛機(jī)的函數(shù)，因此這一假設(shè)可把對應(yīng)

3、于不同排序的總費(fèi)用都統(tǒng)一描述為一個(gè)線性函數(shù)。 任何飛機(jī)從離開自己的通道口到達(dá)跑道入口處所需要的時(shí)間假定都一樣。同時(shí)為了避免有一大堆飛機(jī)擠在跑道入口處等待飛機(jī)（一般機(jī)場也不太可能這樣），這時(shí)如有另一架飛機(jī)需要緊急起飛，這就須將所有排在前面的飛機(jī)擠到一邊來騰地方，因此假設(shè)每架飛機(jī)都有立即進(jìn)入跑道口的通道。這樣在須要調(diào)整次序時(shí)，只須在數(shù)據(jù)庫中的次序上進(jìn)行調(diào)整，而不必對飛機(jī)實(shí)地重排。并且飛機(jī)須在為其指定的小時(shí)間段上才準(zhǔn)許離開自己的通道口。,模型設(shè)計(jì)與可行性分析,如果在t0時(shí)刻僅有一架飛機(jī)或沒有要求起飛的飛機(jī)，則機(jī)場就直接安排其起飛或閑置 。因此設(shè)在t0有n架飛機(jī)同時(shí)要求起飛。由假設(shè)1，可將n架飛機(jī)起飛

4、所需要的總時(shí)間分成n個(gè)等長的小時(shí)間段（如長）。下面如何安排哪架飛機(jī)在哪個(gè)時(shí)段上起飛要依賴于實(shí)際航班的花費(fèi)和顧客的滿意程度來確定。 設(shè)為Cij第i架飛機(jī)從第j個(gè)小時(shí)間段上起飛時(shí)所需一切費(fèi)用之和，于是所有可能的排序帶來的費(fèi)用計(jì)算有如下的費(fèi)用距陣表示：,（1）,并設(shè)Xij=0或1，當(dāng)?shù)趇架飛機(jī)在第j個(gè)時(shí)段上起飛時(shí)Xij=1，否則Xij=0,于是相應(yīng)地安排方案距陣為 ：,即第一架飛機(jī)排第2個(gè)窗口起飛，第2架排第一個(gè)窗口起飛，最后一架排最后起飛。并由上表的安排結(jié)構(gòu)，知道（2）中的距陣滿足每行中僅有一個(gè)元素為1，即每個(gè)窗口上僅有一架飛機(jī)占用；該陣每列中也有一個(gè)元素為1，即每架飛機(jī)占用n個(gè)窗口中的一個(gè)。即變

5、量Xij須滿足約束：,對于分派問題，已有專門為此種特殊結(jié)構(gòu)而設(shè)計(jì)的有效的解題算法，它被稱為GraverThrall primal算法。對于1個(gè)隨機(jī)產(chǎn)生的具有16個(gè)變量的分派問題，最多只須2.9秒即可完成求解，而使用現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)，對任意適當(dāng)個(gè)變量的指派問題，只須不到一秒鐘即可求得解。,同時(shí)，由于模型中費(fèi)用系數(shù)陣（1）須要經(jīng)過量化，而他們可由下一段四中的公式求得。并由數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，這一量化模型的過程須要另一個(gè)不到一秒鐘。因此整個(gè)模型的建立與求解所用時(shí)間是以秒為數(shù)量級(jí)的，故當(dāng)機(jī)場控制塔在面臨一串連珠炮一樣的起飛請求時(shí)都可幾乎立即對排序作出響應(yīng)。而飛機(jī)的起飛間隔遠(yuǎn)不是以秒為數(shù)量級(jí)的。一般至少

6、幾分鐘，因此模型是可行的。 更重要的是。在設(shè)有意外發(fā)生的情況下，還可利用機(jī)場的原有時(shí)間表，由數(shù)據(jù)庫事先安排好起飛順序，并讓飛機(jī)安排起飛順序起飛，而唯一需要重新安排的情況僅僅發(fā)生在有飛機(jī)晚點(diǎn)或緊急的情況，而這時(shí)的運(yùn)算也會(huì)在一秒鐘左右解決問題。而且由假設(shè)（3），也不會(huì)因改變而產(chǎn)生臨時(shí)的擁擠情況。,四、模型中費(fèi)用系數(shù)陣的量化,由于（1）中的Cij 是第i架飛機(jī)從第j個(gè)時(shí)間段上起飛的費(fèi)用，它與一架航班的型號(hào)及運(yùn)行費(fèi)用和其上載客情況和他們的滿意程度有關(guān)，為簡化運(yùn)算，把基本運(yùn)行費(fèi)設(shè)置為費(fèi)用零點(diǎn)，而只考慮由于飛機(jī)延遲起飛而引起的費(fèi)用。這一費(fèi)用包括由于晚點(diǎn)而不再以最經(jīng)濟(jì)的速度而是以較快或最快速度飛行帶來的燃料

7、損失；及乘客因耽誤下站轉(zhuǎn)機(jī)而重新安排旅途的損失；以及顧客因各種延遲帶來的不愉快而轉(zhuǎn)化的損失。將這三者分別歸入費(fèi)用計(jì)算并簡記為： 費(fèi)用: 1.燃料附加費(fèi) 2.乘客誤機(jī)費(fèi) 3.乘客不滿意的損失 下面分別建立幾個(gè)費(fèi)用的計(jì)算公式,1.燃料附加費(fèi),由于晚點(diǎn)，飛機(jī)必須以盡可能快的速度飛行，故燃料隨晚點(diǎn)的時(shí)間長短而變化，然而既使晚點(diǎn)，只要為達(dá)到最大時(shí)限，就可以以低于最大安全速度飛行。并在起飛后就可近似地保持常速，因此燃料消耗在時(shí)間內(nèi)應(yīng)恒定，由于不知道燃料消耗如何隨飛行速度變化，選用了近似的線性函數(shù)，即單位時(shí)間增加油耗的費(fèi)用函數(shù)為：,由此公式看出，飛機(jī)晚點(diǎn)越久，則耗油越多，直至它在離開時(shí)即以最大速度起飛（

8、假設(shè)4）。 下面為了建模討論的方便，將上述公式中及以后要用到的一些參數(shù)給出一個(gè)總表：,,2.乘客誤機(jī)費(fèi),設(shè)為乘客耽誤了轉(zhuǎn)機(jī)而必須補(bǔ)償?shù)馁M(fèi)用，這里取為常數(shù)（假設(shè)5）。如果對各人的補(bǔ)償費(fèi)確實(shí)不同，則取為各人費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望----平均值，且重新安排旅程只發(fā)生在飛機(jī)晚點(diǎn)時(shí)間超過了時(shí)限時(shí)才發(fā)生，故費(fèi)用如下計(jì)算,3.乘客不滿意的損失,由于飛機(jī)晚點(diǎn)越多，則乘客會(huì)越不滿意，如果僅晚點(diǎn)一兩分鐘，則顧客不會(huì)太不愿意；但如果晚點(diǎn)到誤了轉(zhuǎn)乘班機(jī)，則該乘客會(huì)頓時(shí)變得焦躁不安并且非常憤怒，這一情況可以適當(dāng)?shù)卣鰹橐粋€(gè)指數(shù)增長函數(shù)附加一個(gè)階躍函數(shù)，則總的費(fèi)用函數(shù)為：,但是只要將要到達(dá)的飛機(jī)一準(zhǔn)備好降落，就可以準(zhǔn)許其降落的

9、話，這模型仍適用，這只要將,為了防止那些還未準(zhǔn)備好的飛機(jī)，在就緒之前就對其發(fā)出起飛的命令，置一架飛機(jī)在它預(yù)定起飛時(shí)間以前的某窗口起飛的損失為無窮大，并假如考慮1，2，3中的費(fèi)用，得到計(jì)算費(fèi)用的通式：,4.排隊(duì)模型小結(jié)：,2)求解線性規(guī)劃模型（指派模型）的最優(yōu)解，則可確定哪架飛機(jī)在什么時(shí)刻起飛；,在正常運(yùn)行情況下，上述小結(jié)中1），2）步驟僅須做一次即可按部就班地運(yùn)行，只有當(dāng)意外發(fā)生時(shí)才啟用3）部分。,五.模型檢驗(yàn),最重要的模型檢驗(yàn)即在于檢驗(yàn)此模型是否具有意義，編了一個(gè)用單純形法解線性規(guī)劃的程序以及幾個(gè)簡單的例子來檢查模型運(yùn)行的良好性，在后面第六部分中的具體結(jié)果中，可以看出所有結(jié)果都與所期待的直觀

10、判斷相吻合。隨后，又進(jìn)行了更徹底的檢驗(yàn)；變動(dòng)其中的參數(shù)，測試更為復(fù)雜的例子，以至實(shí)際運(yùn)作此系統(tǒng)，如果實(shí)際運(yùn)行的結(jié)果顯示出為航空公司節(jié)省了開支，同時(shí)又能維持顧客滿意度在一個(gè)可接受的水平，則此模型將取得圓滿成功。,下面先進(jìn)行的是變動(dòng)其中參數(shù)的檢驗(yàn)，即在參數(shù)受到擾動(dòng)的情況下模型是否穩(wěn)定的檢驗(yàn)，如果這個(gè)模型中一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)有輕微的偏離真值，而模型結(jié)果不致有太大的偏離最優(yōu)解，則可認(rèn)為模型是穩(wěn)定的。另外,如果參數(shù)的微小變化帶來模型的劇烈變化，則希望確定哪個(gè)參數(shù)更敏感。這樣確定它時(shí)將利用更多的信息，以達(dá)到準(zhǔn)確。,下面將指派模型（4）表運(yùn)輸模型：,由運(yùn)輸模型的有關(guān)理論知：運(yùn)輸問題有可行解，并對（9）這樣的運(yùn)輸

11、模型，一定有一個(gè)最優(yōu)且此最優(yōu)的所有分量都取整數(shù)值。又注意到約束條件（9）的限制，則可能的整數(shù)解一定非0即1，因此運(yùn)輸問題等價(jià)于原問題（4）。將（9）式由目標(biāo)函數(shù)的向量形式（見（4）式定義）表出：,六、計(jì)算機(jī)模擬模型,為了了解模型運(yùn)行的良好性，以及本模型的特點(diǎn)，用下述幾個(gè)計(jì)算機(jī)模擬例子來進(jìn)行演示。,顯然；理論模型要比計(jì)算機(jī)模型要少受限制。為了編程簡單并說明問題，在原有的基本假定基礎(chǔ)上，再添加如下具體假定：,1.1、在每一窗口至多有三架飛機(jī)已準(zhǔn)備好可以起飛，當(dāng)僅有兩架飛機(jī)準(zhǔn)備好的情況發(fā)生時(shí)，可加入一個(gè)虛擬變量，以其對相應(yīng)的費(fèi)用系數(shù)都為0即可。,2、憑直觀給模型指定了參數(shù)值，在實(shí)際中，這些值應(yīng)該通過

12、實(shí)驗(yàn)室或調(diào)查獲得：,每一個(gè)起飛窗口為一分鐘長，即任何飛機(jī)起飛需要至多一分鐘，而且其他飛機(jī)不準(zhǔn)在一分鐘內(nèi)占用跑道；,設(shè)有飛機(jī)降落情況；,誤轉(zhuǎn)機(jī)的賠償費(fèi)為每人350；,誤了轉(zhuǎn)機(jī)的乘客的憤怒長度等價(jià)于被耽誤了15分鐘的乘客的兩倍。,例1 （具有使最多乘客的飛機(jī)先走的功能）,考慮在早晨6：00，三架飛機(jī)同時(shí)要求起飛設(shè)他們的型號(hào)相同，有距此機(jī)場相同距離的終點(diǎn)機(jī)場，（但可能飛往不同城市的機(jī)場）。設(shè)三架飛機(jī)為A，B，C。并且他們都預(yù)定在7：20到達(dá)終點(diǎn)，但A飛機(jī)上有350名乘客；B飛機(jī)上有100名；C飛機(jī)上有400名。且每架飛機(jī)上都有100名乘客要求轉(zhuǎn)機(jī)，計(jì)算結(jié)果見表1。,例2 （具有使晚點(diǎn)飛機(jī)最久者先走的

13、功能 ）,當(dāng)飛機(jī)C準(zhǔn)備離開之際，飛機(jī)D要求緊急起飛。飛機(jī)D已經(jīng)晚點(diǎn)18分鐘，它若想按時(shí)在7：06分到達(dá)終點(diǎn)，就必須在2分鐘內(nèi)起飛。其上有200名乘客，150人要求轉(zhuǎn)機(jī)，表2給出了結(jié)果,例3（具有按情況決定先后的功能）,假設(shè)又過了兩分鐘，這時(shí)D和A已走，剩下B已經(jīng)晚點(diǎn)3分鐘，而另一架飛機(jī)E在此刻要求起飛。設(shè)E有如下條件： 1）按時(shí)準(zhǔn)備就緒； 2）在可按時(shí)到達(dá)終點(diǎn)（7：42）之前，還富余42分鐘可以閑置； （ 3）機(jī)上有122名乘客，89人要求轉(zhuǎn)機(jī)； （ 4）晚點(diǎn)增加的費(fèi)用為每分鐘450。,編程序來解此題，如所設(shè)引入一個(gè)虛擬變量，飛機(jī)X，這一飛機(jī)的一切費(fèi)用系數(shù)都為0。得到如下結(jié)果：,在直觀上不明顯誰應(yīng)先走，事實(shí)上，似乎應(yīng)讓B先走好些，但可能由于E在高速飛行時(shí)增加的運(yùn)行費(fèi)用太昂貴及機(jī)上乘客的緣故，使模型選定讓E先走。,七、總結(jié),模型有易實(shí)施的特點(diǎn)，可結(jié)合于數(shù)據(jù)庫中使用。它可對數(shù)目很大的機(jī)場、任意可裝載的乘客數(shù)及轉(zhuǎn)機(jī)的乘客數(shù)，都可實(shí)現(xiàn)快速最優(yōu)排序，并可處理同時(shí)要求起飛的請求、照顧晚點(diǎn)飛機(jī)很久的先走功能，及可對不同型號(hào)和不同油耗的飛機(jī)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖们榭紤]。,模型雖不能對起飛和降落同時(shí)達(dá)到優(yōu)化，但卻可達(dá)到在起飛的間隙中安排降落。,可以確信此模型是既可達(dá)到使航空公司節(jié)省費(fèi)用，又可達(dá)到使顧客滿意的理想模型。,