2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 第三章函數(shù)的應(yīng)用（含解析）新人教版必修1

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1、第三章函數(shù)的應(yīng)用 1.（北京理）。根據(jù)統(tǒng)計，一名工作組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為 （A，C為常數(shù)）。已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么C和A的值分別是 A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 【答案】D 2.（2011年湖北）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)。當(dāng)橋上的的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，

2、研究表明；當(dāng)時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． （Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的表達(dá)式; （Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/每小時）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時） 本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。（滿分12分） 解：（Ⅰ）由題意：當(dāng)；當(dāng) 再由已知得 故函數(shù)的表達(dá)式為 （Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得 當(dāng)為增函數(shù)，故當(dāng)時，其最大值為60×20=1200； 當(dāng)時， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立。 所以，當(dāng)在區(qū)間[20，200]上取得最大值 綜上，當(dāng)

3、時，在區(qū)間[0，200]上取得最大值。 即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時。 3.（2011年湖南）。如圖6，長方體物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動，速度為v（v＞0），雨速沿E移動方向的分速度為。E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與×S成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記y為E移動過程中的總淋雨量，當(dāng)移動距離d=100，面積S=時。 （Ⅰ）寫出y的表達(dá)式 （Ⅱ）設(shè)0＜v≤10,0＜c≤5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y

4、最少。 解：（I）由題意知，E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為， 故， （II）由（I）知 當(dāng)時， 當(dāng) 故 （1）當(dāng)時，y是關(guān)于v的減函數(shù)， 故當(dāng) （2）當(dāng)時，在上，y是關(guān)于v的減函數(shù)， 在上，y是關(guān)于v的增函數(shù)， 故當(dāng) 4.（2012年高考（上海））已知函數(shù). (1)若,求的取值范圍; (2)若是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)時,有,求函數(shù) 的反函數(shù). [解](1)由,得. 由得 因為,所以,. 由得 (2)當(dāng)x?[1,2]時,2-x?[0,1],因此 由單調(diào)性可得. 因為,所以所求反函數(shù)是,

5、 5.（2012年高考（上海春））本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分. 定義向量的“相伴函數(shù)”為函數(shù) 的“相伴向量”為(其中為坐標(biāo)原點).記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為 (1)設(shè)求證: (2)已知且求其“相伴向量”的模; (3)已知為圓上一點,向量的“相伴函數(shù)” 在處取得最大值.當(dāng)點在圓上運動時,求的取值范圍. 證明:(1) 其“相伴向量”, (2) 函數(shù)的“相伴向量”,則 (3)的“相伴向量”,其中 當(dāng)時,取得最在值,故當(dāng) , 為直線的斜率,由幾何意義知,令,則 當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞

6、減,∴; 當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,∴. 綜上所述,. 6.（2012年高考（上海春））本題共有2個小題,第1小題滿分7分,第2小題滿分7分. 某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時運行,內(nèi)、外環(huán)線的長均為千米(忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異). (1)當(dāng)列列車同時在內(nèi)環(huán)線上運行時,要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為分鐘,求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度;21世紀(jì)教育網(wǎng) (2)新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為千米/小時,外環(huán)線列車平均速度為千米/小時.現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有列列車全部投入運行,要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過分鐘,問:內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)名投入幾列列車運行? 解:(1)設(shè)內(nèi)環(huán)線列車運

7、行的平均速度為千米/小時,由題意可知, 所以,要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘,列車的最小平均速度是20千米/小時. (2)設(shè)內(nèi)環(huán)線投入列列車運行,則外環(huán)線投入列列車運行,內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間分別為分鐘,則 于是有 又,所以,所以當(dāng)內(nèi)環(huán)線投入10列,外環(huán)線投入8列列車運行,內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間之差不超過1分鐘. 7.（2012年高考（江蘇））如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,軸在地平面上,軸垂直于地平面,單位長度為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上,其中與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo). (1)求炮的最大射程

8、; (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標(biāo)不超過多少時, 炮彈可以擊中它?請說明理由. 【答案】解:(1)在中,令,得. 由實際意義和題設(shè)條件知. ∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號. ∴炮的最大射程是10千米. (2)∵,∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價于存在,使成立, 即關(guān)于的方程有正根. 由得. [:21世紀(jì)教育網(wǎng)] 此時,(不考慮另一根). ∴當(dāng)不超過6千米時,炮彈可以擊中目標(biāo). 【考點】函數(shù)、方程和基本不等式的應(yīng)用. 【解析】(1)求炮的最大射程即求與軸的橫坐標(biāo),求出后應(yīng)用基本不等式求解. (2)求炮彈擊中目

9、標(biāo)時的橫坐標(biāo)的最大值,由一元二次方程根的判別式求解. 8．（2012年高考（湖南））某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件).已知每個工人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為k(k為正整數(shù)). (1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時間; (2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工,試確定正整數(shù)k的值,使完成訂單任務(wù)的時間最短,并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案.

10、【解析】 解:(Ⅰ)設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時間(單位:天)分別為 [:21世紀(jì)教育網(wǎng)] 由題設(shè)有 期中均為1到200之間的正整數(shù). (Ⅱ)完成訂單任務(wù)的時間為其定義域為 易知,為減函數(shù),為增函數(shù).注意到 于是 (1)當(dāng)時, 此時 21世紀(jì)教育網(wǎng) , 由函數(shù)的單調(diào)性知,當(dāng)時取得最小值,解得 .由于 . 故當(dāng)時完成訂單任務(wù)的時間最短,且最短時間為. (2)當(dāng)時, 由于為正整數(shù),故,此時易知為增函數(shù),則 . 由函數(shù)的單調(diào)性知,當(dāng)時取得最小值,解得.由于 此時完成訂單任務(wù)的最短時間大于. (3)當(dāng)時, 由于為正整數(shù),故,此時由函數(shù)的單調(diào)性知, 當(dāng)時取得最小值,解得.類似(1)的討論.此時 完成訂單任務(wù)的最短時間為,大于. 綜上所述,當(dāng)時完成訂單任務(wù)的時間最短,此時生產(chǎn)A,B,C三種部件的人數(shù) 分別為44,88,68. 【點評】本題為函數(shù)的應(yīng)用題,考查分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值等,考查運算能力及用數(shù)學(xué)知識分析解決實際應(yīng)用問題的能力.第一問建立函數(shù)模型;第二問利用單調(diào)性與最值來解決,體現(xiàn)分類討論思想.