2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 第二章空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系（含解析）新人教版必修2

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1、必修2空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系 1.（2012·陜西高考卷·T5·5分）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為（ ） A . B. C. D. 【答案】A 【解析】 【點(diǎn)評】本題主要考查用空間向量求異面直線夾角的余弦值，是向量在空間幾何中的應(yīng)用. 2.（2012·四川高考卷·T10·5分）如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi)，過點(diǎn)作平面的垂線交半球面于點(diǎn)，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點(diǎn)為，該交線上的一點(diǎn)滿足，則、兩點(diǎn)間的球面距離為（ ） A、 B、

2、 C、 D、 [答案]A [解析] 以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OA所在直線為x、y、z軸， 則A [點(diǎn)評]本題綜合性較強(qiáng)，考查知識(shí)點(diǎn)較為全面，題設(shè)很自然的把向量、立體幾何、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合到了一起.是一道知識(shí)點(diǎn)考查較為全面的好題.要做好本題需要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功. 3.（2011年重慶）高為的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為 A． B． C．1 D． 【答案】C 4.（2011年浙

3、江）下列命題中錯(cuò)誤的是 A．如果平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面 B．如果平面α不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 C．如果平面，平面，，那么 D．如果平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面 【答案】D 5.（2011年四川），，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 A．， B．， C．，，共面 D．，，共點(diǎn)，，共面 【答案】B 【解析】A答案還有異面或者相交，C、D不一定 6.（2011年全國大綱）已知直二面角α? ι?β，點(diǎn)A∈α，AC⊥ι，C為垂足，B∈β，BD⊥ι，D為垂足．若AB=2，AC=BD=1，則D到平面AB

4、C的距離等于 A． B． C． D．1 【答案】C 7.（2011年全國大綱）已知平面α截一球面得圓M，過圓心M且與α成二面角的平面β截該球面得圓N．若該球面的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為 A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 8.（2011年江西）已知，，是三個(gè)相互平行的平面．平面，之間的距離為，平面，之間的距離為．直線與，，分別相交于，，，那么“=”是“”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 9.（2012·

5、浙江高考卷·T11·4分）已知某三棱錐的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該三 棱錐的體積等于___________cm3． 【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角 形，右側(cè)面也是一直角三角形．故體積等于． 【答案】1 【點(diǎn)評】該題主要考察空間幾何體的三視圖以及多面體體積 的計(jì)算，抓住其直觀圖的形狀特點(diǎn)是關(guān)鍵. 10.（2012·天津高考卷·T10·5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_________m3. 【答案】 【命題透析】本題考查了三視圖，空間幾何體的體積.. 【思路點(diǎn)撥】先由三視圖還原幾何體，后求其體積.由題可知此幾何體為兩

6、球相切，上面放一柱體，其體積為. 11.（2012·四川高考卷·T14·4分）如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是____________。 [答案]90o [解析]方法一：連接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以，DN⊥平面A1MD1， 又A1M平面A1MD1，所以，DN⊥A1D1，故夾角為90o 方法二：以D為原點(diǎn)，分別以DA, DC, DD1為x, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.設(shè)正方體邊長為2，則D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2） 故， 所以，cos< = 0,故DN⊥D1M，所

7、以夾角為90o [點(diǎn)評]異面直線夾角問題通?？梢圆捎脙煞N途徑: 第一，把兩條異面直線平移到同一平面中借助三角形處理； 第二，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式解決. 12.（2011年遼寧）一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是 ． 【答案】 13.（2012·北京高考卷·T16·14分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖2. 1.

8、求證：A1C⊥平面BCDE； 2. 若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大??； 3. 線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由 [解析]（1）∵DE⊥A1D，且DE⊥CD,∴DE⊥底面A1D C, ∴DE⊥A1C,又因?yàn)锳1C⊥CD, A1C⊥平面BCDE. (2)以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA1為豎軸，CB為橫軸，CD為縱軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0,0）M（0,1，），（0,1，）, (-1,2,0),,設(shè)平面A1BE的法向量為，解得，設(shè)所求線面角為，sin= (3)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m,0,0）, ,,設(shè)平面A1DP的法向量為，解得

9、，又平面A1BE與平面A1DP垂直，，解得m=-2,故在BC上不存在這樣的點(diǎn)P. [點(diǎn)評]立體幾何問題的考查往往以垂直、平行為重點(diǎn)，進(jìn)一步考查三種角，我們可以充分利用好垂直條件，建立空間直角坐標(biāo)系求解或證明. 14.（2012·山東高考卷·T18·12分） 在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。 （Ⅰ）求證：BD⊥平面AED； （Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。 【解析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD, 由余弦定理可知, 即,在中，∠

10、DAB=60°，，則為直角三角形，且。又AE⊥BD，平面AED，平面AED，且，故BD⊥平面AED； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，設(shè)，則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，向量為平面的一個(gè)法向量. 設(shè)向量為平面的法向量，則,即， 取，則，則為平面的一個(gè)法向量. ，而二面角F-BD-C的平面角為銳角，則 二面角F-BD-C的余弦值為。 【點(diǎn)評】本題考查本題考察了線面垂直的位置關(guān)系的判斷，和利用空間向量來求二面角的余弦問題. 明年可以結(jié)合線面平行的知識(shí)進(jìn)行考察，二面角或者線面角的形式考察空間向量的應(yīng)用。 15.（2012·陜西高考卷·T18·12分） （1）如圖，證明命題“是平面內(nèi)的一條直

11、線，是外的一條直線（不垂直于），是直線在上的投影，若，則”為真. （2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明） 【解析】（1） 證法一.（向量法）如圖過直線b上任一點(diǎn)作平面的垂線n，設(shè)直線a,b,c,n的方向向量分別為證法二（利用垂直關(guān)系證明）如圖 （2） 逆命題為 【點(diǎn)評】本題主要考察空間垂直關(guān)系的證明，空間垂直關(guān)系定理和定理的證明，考查向量在空間幾何中的運(yùn)用.主要把握垂直關(guān)系的證明及向量概念和運(yùn)算是根本. 16.（2012·四川高考卷·T19·12分） 如圖，在三棱錐中，，，，平面平面。 （Ⅰ）求直線與平面所成角的大小； （Ⅱ）求二面角的大

12、小。 [解析]（1）連接OC。由已知，所成的角 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接PD、CD. 因?yàn)锳B=BC=CA,所以CDAB. 因?yàn)榈冗吶切危? 不妨設(shè)PA=2，則OD=1，OP=,AB=4. 所以CD=2，OC=. 在Rttan. 故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan （2）過D作DE于E，連接CE. 由已知可得，CD平面PAB. 根據(jù)三垂線定理可知，CE⊥PA， 所以，. 由（1）知，DE= 在Rt△CDE中，tan 故 [點(diǎn)評]本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查思維能力、空間想象能力，并考查應(yīng)用向量知

13、識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力. 17.（2012·浙江高考卷·T20·15分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)． (Ⅰ)證明：MN∥平面ABCD； (Ⅱ) 過點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值． 【解析】本題主要考察線面平行的證明方法，建系求二面角等知識(shí)點(diǎn)。 (Ⅰ)如圖連接BD ∵M(jìn)，N分別為PB，PD的中點(diǎn)， ∴在PBD中，MN∥BD． 又MN平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD； (Ⅱ)建系如圖： A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，

14、 N(，0，0)，C(，3，0)． 設(shè)Q(x，y，z)，則． ∵，∴． 由，得：． 即：． 對于平面AMN：設(shè)其法向量為． ∵ 則． ∴． 同理對于平面AMN得其法向量為． 記所求二面角A—MN—Q的平面角大小為， 則． ∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值為． 【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ) ． 【點(diǎn)評】此題主要考察平行關(guān)系的證明與二面角的計(jì)算，掌握定理、正確利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解是關(guān)鍵. 18.（2011年江蘇）如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面 ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn) 求證：（1）直

15、線EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD 本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考察空間想象能力和推理論證能力。滿分14分。 證明：（1）在△PAD中，因?yàn)镋、F分別為 AP，AD的中點(diǎn)，所以EF//PD. 又因?yàn)镋F平面PCD，PD平面PCD， 所以直線EF//平面PCD. （2）連結(jié)DB，因?yàn)锳B=AD，∠BAD=60°， 所以△ABD為正三角形，因?yàn)镕是AD的 中點(diǎn)，所以BF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD， BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因?yàn)? BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 1

16、9.（2011年北京） 如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，. (Ⅰ)求證：平面 （Ⅱ）若求與所成角的余弦值； （Ⅲ）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長. 證明：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形， 所以AC⊥BD. 又因?yàn)镻A⊥平面ABCD. 所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC. （Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O. 因?yàn)椤螧AD=60°，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=. 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，則 P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）. 所以 設(shè)PB與AC所成角為，則 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 設(shè)P（0，－，t）（t>0）， 則 設(shè)平面PBC的法向量, 則 所以 令則 所以 同理，平面PDC的法向量 因?yàn)槠矫鍼CB⊥平面PDC, 所以=0，即 解得 所以PA=