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1、范例8.4 麥克斯韋速率分布律,(1)根據(jù)麥克斯韋速度分布律說(shuō)明麥克斯韋速率分布率律。氧氣分子質(zhì)量是32u(1u = 1.6610-27kg)，氧氣處于標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下(273K)。氧氣分子遵守麥克斯韋速率分布律，速率在01200m/s范圍內(nèi)，速率間隔取100m/s，求各個(gè)速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比例，在直方圖中代表什么意義？將速率間隔持續(xù)減半，觀察直方圖的變化。當(dāng)速率間隔很小時(shí)，直方圖頂部折線的變化趨勢(shì)是什么？,(2)什么是最概然速率？氧氣分子在300K到600K溫度區(qū)間(溫度間隔為100K)，速率分布曲線有什么異同？最概然速率是多少？氫氣、氦氣、氖氣、氮?dú)狻⒀鯕夂头鷼夥肿拥姆肿恿糠謩e為2、4、20、2
2、8、32和38，這些氣體分子在300K時(shí)的速率分布曲線有什么異同？最概然速率是多少？,范例8.4 麥克斯韋速率分布律,解析(1)在三維速度空間中，在速度間隔vxvx + dvx、vyvy + dvy、vzvz + dvz內(nèi)，分子數(shù)占總分子數(shù)的比例為,其中dvxdvydvz是速度空間的“體積”元。,當(dāng)分子以速率v運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度的平方為v2 = vx2 + vy2 + vz2，“體積”元可表示為dvxdvydvz = v2dvsindd。,對(duì)方位角從0到2積分，對(duì)仰角從-/2到/2積分，“體積”元就變?yōu)?v2dv，這是半徑為v，厚度為dv的球殼的“體積”。,上式可改寫為,范例8.4 麥克斯韋速率分布
3、律,取,這就是麥克斯韋速率分布函數(shù)。,f(v)dv是速率區(qū)間vv + dv內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例，,是歸一化常數(shù)。,f(v)的單位是速度單位的倒數(shù)s/m。,在速率區(qū)間v1v2之內(nèi)，或者在v- v/2 v +v/2之內(nèi)(v = v2-v1)，分子數(shù)占總分子數(shù)的比例近似為,可知：分布函數(shù)下的面積表示分子數(shù)占總分子數(shù)的比例。,取速率間隔為100m/s，速率分布函數(shù)由直方條組成，其頂部呈階梯形折線。,速率在0100m/s之內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例約為1.04%，,速率在100m/s200m/s之內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例約為8.11%，,速率在300m/s400m/s之內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)比例最高
4、，大約為21.8%，,速率在900m/s1000m/s之內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)比例只有0.658%。,由于速率間隔比較大，分子數(shù)比例的誤差也比較大。,取速率間隔為50m/s，直方條變窄，頂部的階梯變小。,速率在050m/s之內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)比例約為0.131%，速率在50100m/s之內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)比例約為1.14%，因此速率在0100m/s之內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)比例約為1.27%。,速率間隔為100m/s的分子數(shù)比例都可分為兩個(gè)間隔為50m/s的分子數(shù)比例之和。,極大值在350m/s400m/s速率區(qū)間，極大值為0.0022043。,由于速率間隔減小了，分子數(shù)比例的誤差也減小了。,取
5、速率間隔為25m/s，直方條更窄，頂部的階梯更小。,速率在0100m/s之內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)比例約為1.33%。,極大值在375m/s400m/s速率區(qū)間，極大值為0.0022007。,速率間隔為100m/s的分子數(shù)比例都可分為四個(gè)間隔為25m/s的分子數(shù)比例之和。,速率間隔越小，分子數(shù)比例就越精確。,速率間隔不斷減小，直方條越來(lái)越窄。,當(dāng)速率間隔很小時(shí)，直方條很窄，直線都連成一片，頂部的階梯幾乎消失。,速率在0100m/s之內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)比例約為1.35%。,極大值在376.6m/s378.1m/s速率區(qū)間，極大值為0.0022044。,當(dāng)速率間隔趨于零時(shí)，頂部將趨于光滑的曲線，極大
6、值范圍趨于一點(diǎn)，極大值越精確。,范例8.4 麥克斯韋速率分布律,解析(2)當(dāng)v = 0時(shí)，f(v) = 0；當(dāng)v時(shí)，f(v)0。,由于f(v)不小于零，因此f(v)必有極大值。,令df(v)/dt = 0，即,可得,這個(gè)速率稱為最概然速率。,分布函數(shù)的極大值為,溫度越高或分子質(zhì)量越小，最概然速率就越大，分布函數(shù)的極大值就越小。,質(zhì)量一定的分子，溫度是參數(shù)，麥克斯韋速率分布的函數(shù)曲線會(huì)隨參數(shù)不同而有所改變；,在相同的速率間隔之內(nèi)，最概然速率附近的分子數(shù)最多。,分子向著各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，在很大或很小的速率附近，分子數(shù)都很少。,在溫度一定的情況下，不同分子的質(zhì)量是參數(shù)，函數(shù)曲線會(huì)隨參數(shù)而有所改變。,對(duì)
7、于分子質(zhì)量一定的氣體，溫度升高則峰值降低，說(shuō)明：在相同的速率間隔內(nèi)，向著各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的速率小的分子數(shù)量減少了，速率大的分子數(shù)量增加了，分子運(yùn)動(dòng)得更劇烈了。,氧氣分子在300K時(shí)的最概然速率約為395m/s，在600K時(shí)的最概然速率約為558m/s。,氫氣分子的分子量是2，是氧氣分子質(zhì)量的1/16，在300K的溫度下，最概然速率是氧氣分子的4倍，達(dá)到1579m/s。,氟氣分子的分子量是38，在相同的溫度下的最概然速率只有362m/s。,當(dāng)氣體溫度一定時(shí)，質(zhì)量較小的分子的速率分布曲線的峰值較低，說(shuō)明：在相同的速率間隔內(nèi)，向著各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的速率大的分子數(shù)量比較多，速率小的分子數(shù)量比較少。,地球的逃逸速率約為1120m/s，由于氫氣分子速率分布較寬，很多氫氣分子的速率超過(guò)逃逸速度，能夠脫離地球的吸引，因而大氣中的氫氣比較少。,同理，空氣中氦氣也比較少。,
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