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1、考點(diǎn)14 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
一、選擇題
1.（2012·天津高考文科·Ｔ7）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值是 （ ）
（A） (B)1 （C） (D)2
【解題指南】依據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)驗(yàn)證得出.
【解析】選D.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，將代入得故得的最小值是2.
2.（2012·山東高考文科·Ｔ5）設(shè)命題p：函數(shù)的最小正周期為；命題q：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.則下列判斷正確的是（ ）
(A)p為真 (B)為假 (C)為假 (D)為真
【解題指南】本題考查簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞及正余弦函數(shù)的簡(jiǎn)
2、單性質(zhì).
【解析】選C.函數(shù)的最小正周期為，所以命題p假，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以命題q假，為真，為假.
3.（2012·安徽高考文科·Ｔ7）要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（ ）
（A） 向左平移1個(gè)單位 （B） 向右平移1個(gè)單位
（C） 向左平移 個(gè)單位 （D） 向右平移個(gè)單位
【解題指南】先將函數(shù)中的的系數(shù)化為，再確定平移的方向和大小.
【解析】選. ，所以左平移.
4.（2012·浙江高考文科·Ｔ6）與（2012·浙江高考理科·Ｔ4）相同
把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
3、，再向下平移 1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象是（ ）
【解題指南】考查三角函數(shù)的圖象變換中的平移與伸縮變換。
【解析】選A.把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移 1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)解析式是，此函數(shù)圖象是A．
5.（2012·福建高考文科·Ｔ8）函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是（ ）
A． B． C． D．
【解題指南】高中學(xué)習(xí)過的函數(shù)都有這樣的共性，即在對(duì)稱軸上會(huì)取得最值．因此把選項(xiàng)代入，哪個(gè)能確實(shí)最值即是.
【解析】選C.三角函數(shù)會(huì)在對(duì)稱軸處取得最值，當(dāng)代入得，取得函數(shù)的最小值，因此，
4、直線是對(duì)稱軸．
二、解答題
6.（2012·北京高考理科·Ｔ15）已知函數(shù).
（1） 求f（x）的定義域及最小正周期；
（2） 求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.
【解題指南】求定義域時(shí)考慮分母不為零，然后對(duì)降冪化一化成正弦型函數(shù)的形式，再求周期。求單調(diào)遞減區(qū)間時(shí)利用整體代換，把當(dāng)作一個(gè)整體放入正弦的增區(qū)間內(nèi)解出x即為增區(qū)間，不要忽略定義域。
【解析】（1）由得，，所以定義域?yàn)椤?
所以最小正周期.
（2）令，得且，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.
7.（2012·福建高考文科·Ｔ22）(本小題滿分14分)
已知函數(shù)，且在上的最大值為，
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）判
5、斷函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明．
【解題指南】本題主要考查函數(shù)的最值、單調(diào)性、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想．
【解析】（Ⅰ）由已知得，
對(duì)于任意，有．
當(dāng)時(shí)，，不合題意；
當(dāng)，時(shí)，，從而在內(nèi)單調(diào)遞減，
又在上的圖象是連續(xù)不斷的。故在上的最大值為，
不合題意；
當(dāng)，時(shí)，，從而在內(nèi)單調(diào)遞減，
又在上的圖象是連續(xù)不斷的。故在上的最大值為，
即，
解得
綜上所述，得．
（Ⅱ）在內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．
證明如下：
由（Ⅰ）知，從而有，，
又在上的圖象是連續(xù)不斷的，
所以在內(nèi)至少存在一個(gè)
6、零點(diǎn)．
又由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，令，
由，，且在上的圖象是連續(xù)不斷的，
故存在，使得．
由，知時(shí)，有，
從而在內(nèi)單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，即，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，故在上無零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，有，即，從而在內(nèi)單調(diào)遞減，
又，，且在上的圖象是連續(xù)不斷的，從而在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。
綜上所述，在內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．
8. （2012·湖北高考文科·Ｔ18）設(shè)函數(shù)f(x)=sin2ωx+2sinωx·cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，其中為常數(shù)，且
（1） 求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2） 若y=f（x）的圖
7、象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的值域.
【解題指南】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是把函數(shù)f（x）化為的形式，再利用它的圖象與性質(zhì)解答.
【解析】(1).
且直線是f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸，
，即又，
所以f（x）的最小正周期為.
(2).由y=f（x）的圖象過點(diǎn)（，0），
，即
，則.
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?
9.（2012·北京高考文科·Ｔ15）已知函數(shù).
（1）求f（x）的定義域及最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間.
【解題指南】求定義域時(shí)考慮分母不為零，然后對(duì)降冪化一化成正弦型函數(shù)的形式，再求周期.求單調(diào)遞減區(qū)間時(shí)利用整體代換，把當(dāng)作一個(gè)整體放入正弦的減區(qū)間內(nèi)解出x即為減區(qū)間.
【解析】（1）由得，，所以定義域?yàn)?
所以最小正周期.
（2）令，得，
所以單調(diào)遞減區(qū)間為.
10.（2012·安徽高考理科·Ｔ16）(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)
（I）求函數(shù)的最小正周期；
（II）設(shè)函數(shù)對(duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)在區(qū)間上的解析式.
【解題指南】（1）將化簡(jiǎn)為函數(shù)的形式，再求最小正周期；（2）根據(jù)，對(duì)分段解：，，：當(dāng)時(shí)， .
【解析】
（I）函數(shù)的最小正周期.
（2）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
得：函數(shù)在上的解析式為.
2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)14 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
