2012年高考數(shù)學(xué) 考點14 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點14 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、選擇題1.（2012·天津高考文科·7）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經(jīng)過點，則的最小值是 （ ）（A）(B)1 （C） (D)2【解題指南】依據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)驗證得出.【解析】選D.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)，將代入得故得的最小值是2.2.（2012·山東高考文科·5）設(shè)命題p：函數(shù)的最小正周期為；命題q：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.則下列判斷正確的是（ ） (A)p為真(B)為假(C)為假(D)為真【解題指南】本題考查簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞及正余弦函數(shù)的簡單性質(zhì).【解析】選C.函數(shù)的最小正周期為，所以命題p假，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以命題q假，為真，為假.3.（2012·安徽高考文科·7）要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（ ）（A） 向左平移1個單位 （B） 向右平移1個單位（C） 向左平移 個單位 （D） 向右平移個單位【解題指南】先將函數(shù)中的的系數(shù)化為，再確定平移的方向和大小.【解析】選. ，所以左平移.4.（2012·浙江高考文科·6）與（2012·浙江高考理科·4）相同把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移 1個單位長度，得到的圖象是（ ）【解題指南】考查三角函數(shù)的圖象變換中的平移與伸縮變換?！窘馕觥窟xA.把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得，再向左平移1個單位長度，再向下平移 1個單位長度，得到的函數(shù)解析式是，此函數(shù)圖象是A5.（2012·福建高考文科·8）函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（ ）ABCD【解題指南】高中學(xué)習(xí)過的函數(shù)都有這樣的共性，即在對稱軸上會取得最值因此把選項代入，哪個能確實最值即是.【解析】選C.三角函數(shù)會在對稱軸處取得最值，當(dāng)代入得，取得函數(shù)的最小值，因此，直線是對稱軸二、解答題6.（2012·北京高考理科·15）已知函數(shù).（1） 求f（x）的定義域及最小正周期；（2） 求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.【解題指南】求定義域時考慮分母不為零，然后對降冪化一化成正弦型函數(shù)的形式，再求周期。求單調(diào)遞減區(qū)間時利用整體代換，把當(dāng)作一個整體放入正弦的增區(qū)間內(nèi)解出x即為增區(qū)間，不要忽略定義域?！窘馕觥浚?）由得，所以定義域為。所以最小正周期.（2）令，得且，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.7.（2012·福建高考文科·22）(本小題滿分14分) 已知函數(shù)，且在上的最大值為，（）求函數(shù)的解析式；（）判斷函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明【解題指南】本題主要考查函數(shù)的最值、單調(diào)性、零點等基礎(chǔ)知識點，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想【解析】（）由已知得，對于任意，有當(dāng)時，不合題意；當(dāng)，時，從而在內(nèi)單調(diào)遞減，又在上的圖象是連續(xù)不斷的。故在上的最大值為，不合題意；當(dāng)，時，從而在內(nèi)單調(diào)遞減，又在上的圖象是連續(xù)不斷的。故在上的最大值為，即，解得綜上所述，得（）在內(nèi)有且只有兩個零點證明如下：由（）知，從而有，又在上的圖象是連續(xù)不斷的，所以在內(nèi)至少存在一個零點又由（）知在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)有且僅有一個零點當(dāng)時，令，由，且在上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在，使得由，知時，有，從而在內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)時，即，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，故在上無零點，當(dāng)時，有，即，從而在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且在上的圖象是連續(xù)不斷的，從而在內(nèi)有且僅有一個零點。綜上所述，在內(nèi)有且只有兩個零點8. （2012·湖北高考文科·18）設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+2sinx·cosx-cos2x+(xR)的圖象關(guān)于直線x=對稱，其中為常數(shù)，且（1） 求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2） 若y=f（x）的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)f（x）的值域.【解題指南】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是把函數(shù)f（x）化為的形式，再利用它的圖象與性質(zhì)解答.【解析】(1).且直線是f（x）的圖象的一條對稱軸，即又，所以f（x）的最小正周期為.(2).由y=f（x）的圖象過點（，0），即，則.所以函數(shù)f（x）的值域為.9.（2012·北京高考文科·15）已知函數(shù).（1）求f（x）的定義域及最小正周期；（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間.【解題指南】求定義域時考慮分母不為零，然后對降冪化一化成正弦型函數(shù)的形式，再求周期.求單調(diào)遞減區(qū)間時利用整體代換，把當(dāng)作一個整體放入正弦的減區(qū)間內(nèi)解出x即為減區(qū)間.【解析】（1）由得，所以定義域為.所以最小正周期.（2）令，得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為.10.（2012·安徽高考理科·16）(本小題滿分12分) 設(shè)函數(shù) （I）求函數(shù)的最小正周期； （II）設(shè)函數(shù)對任意，有，且當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的解析式.【解題指南】（1）將化簡為函數(shù)的形式，再求最小正周期；（2）根據(jù)，對分段解：，：當(dāng)時， .【解析】 （I）函數(shù)的最小正周期. （2）當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 得：函數(shù)在上的解析式為.