2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練專題17反比例函數(shù)綜合題含解析

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1、專題17 反比例函數(shù)綜合題 考點(diǎn)分析 【例1】（2018·浙江中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，頂點(diǎn)A在第一象限，B，C在x軸的正半軸上（C在B的右側(cè)），BC=2，AB=2，△ADC與△ABC關(guān)于AC所在的直線對稱． （1）當(dāng)OB=2時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）若點(diǎn)A和點(diǎn)D在同一個反比例函數(shù)的圖象上，求OB的長； （3）如圖2，將第（2）題中的四邊形ABCD向右平移，記平移后的四邊形為A1B1C1D1，過點(diǎn)D1的反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象與BA的延長線交于點(diǎn)P．問：在平移過程中，是否存在這樣的k，使得以點(diǎn)P，A1，D為頂點(diǎn)的三角形是直角三

2、角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的k的值；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，）；（2）OB=3；（3）k=12． 【解析】 （1）如圖1中，作DE⊥x軸于E． ∵∠ABC=90°， ∴tan∠ACB=， ∴∠ACB=60°， 根據(jù)對稱性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°， ∴∠DCE=60°， ∴∠CDE=90°-60°=30°， ∴CE=1，DE=， ∴OE=OB+BC+CE=5， ∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，）． （2）設(shè)OB=a，則點(diǎn)A的坐標(biāo)（a，2）， 由題意CE=1．DE=，可得D（3+a，）， ∵點(diǎn)A、D在同一反比例

3、函數(shù)圖象上， ∴2a=（3+a）， ∴a=3， ∴OB=3． （3）存在．理由如下： ①如圖2中，當(dāng)∠PA1D=90°時． ∵AD∥PA1， ∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°， 在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=2， ∴AA1==4， 在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°， ∴PA=， ∴PB=， 設(shè)P（m，），則D1（m+7，）， ∵P、A1在同一反比例函數(shù)圖象上， ∴m=（m+7）， 解得m=3， ∴P（3，）， ∴k=10． ②如圖3中，當(dāng)∠PDA1=90°時． ∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA

4、1， ∴△AKP∽△DKA1， ∴． ∴， ∵∠AKD=∠PKA1， ∴△KAD∽△KPA1， ∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°， ∴∠APD=∠ADP=30°， ∴AP=AD=2，AA1=6， 設(shè)P（m，4），則D1（m+9，）， ∵P、A1在同一反比例函數(shù)圖象上， ∴4m=（m+9）， 解得m=3， ∴P（3，4）， ∴k=12． 點(diǎn)睛：本題考查反比例函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、解直角三角形、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會了可以參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題． 【例

5、2】 （2019·山東中考模擬）如圖，A（4，3）是反比例函數(shù)y=在第一象限圖象上一點(diǎn)，連接OA，過A作AB∥x軸，截取AB=OA（B在A右側(cè)），連接OB，交反比例函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)P． （1）求反比例函數(shù)y=的表達(dá)式； （2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)； （3）求△OAP的面積． 【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y=；（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，3）；（3）△OAP的面積=5． 【解析】 （1）將點(diǎn)A（4，3）代入y=，得：k=12， 則反比例函數(shù)解析式為y=； （2）如圖，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C， 則OC=4、AC=3， ∴OA==5， ∵AB∥x軸，且AB=OA=5， ∴

6、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，3）； （3）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（9，3）， ∴OB所在直線解析式為y=x， 由可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，2），（負(fù)值舍去）， 過點(diǎn)P作PD⊥x軸，延長DP交AB于點(diǎn)E， 則點(diǎn)E坐標(biāo)為（6，3）， ∴AE=2、PE=1、PD=2， 則△OAP的面積=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5． 【點(diǎn)睛】 本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形綜合，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵. 考點(diǎn)集訓(xùn) 1．（2019·四川中考真題）如圖，直線與雙曲線相交于點(diǎn)A，且，將直線向左平移一個單位后與雙曲線相交于點(diǎn)B，與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)． （1）

7、求直線的解析式及k的值； （2）連結(jié)、，求的面積． 【答案】（1）直線的解析式為，k=1；（2）2. 【解析】 解：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，將直線向左平移一個單位后得到， ∴直線的解析式為， ∵直線與雙曲線相交于點(diǎn)A， ∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等， ∵， ∴， ； （2）作軸于E，軸于F， 解得或 ∴， ∵， ∴． 【點(diǎn)睛】 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會構(gòu)建方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型． 2．（2019·四川中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A與點(diǎn)． （1）求反比例函數(shù)的表達(dá)

8、式； （2）若動點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接，且過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)C，連接，若的面積為3，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或． 【解析】 解：（1）將代入一次函數(shù)中得： ∴ 將代入反比例函數(shù)中得： ∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為； （2）如圖： 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則 ∴，點(diǎn)O到直線的距離為m ∴的面積 解得：或或1或2 ∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，且 ∴ 又∵ ∴或1或2 ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或． 【點(diǎn)睛】 本題考查反比例函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù). 3．（2019·江蘇中考真題）已

9、知一次函數(shù)和反比例函數(shù)． （1）如圖1，若，且函數(shù)、的圖象都經(jīng)過點(diǎn)． ①求，的值； ②直接寫出當(dāng)時的范圍； （2）如圖2，過點(diǎn)作軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)． ①若，直線與函數(shù)的圖象相交點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)、、中的一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等時，求的值； ②過點(diǎn)作軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹等〔淮笥?的任意實數(shù)時，點(diǎn)、間的距離與點(diǎn)、間的距離之和始終是一個定值．求此時的值及定值． 【答案】（1）①，；②；（2）①或4；②，． 【解析】 （1）①將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)得：； ②由圖象可以看出時，； （2）

10、①當(dāng)時，點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、， 則，，， 則或或， 即：或或， 即：或0或2或4， 當(dāng)時，與題意不符， 點(diǎn)不能在的下方，即也不存在，，故不成立， 故或4； ②點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：， 當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時， ， 的值取不大于1的任意數(shù)時，始終是一個定值， 當(dāng)時，此時，從而． 當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時， 同理， 當(dāng)，時，（不合題意舍去） 故，． 【點(diǎn)睛】 本題為反比例函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)、函數(shù)定值的求法，關(guān)鍵是通過確定點(diǎn)的坐標(biāo)，求出對應(yīng)線段的長度，進(jìn)而求解． 4．（2019·深圳市福田區(qū)外國語學(xué)校初三期中）如圖①，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是

11、平行四邊形，sin∠AOB=，反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F， （1）若OA=10，求反比例函數(shù)解析式； （2）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且△AOF的面積S=12，求OA的長和點(diǎn)C的坐標(biāo)； （3）在（2）中的條件下，過點(diǎn)F作EF∥OB，交OA于點(diǎn)E（如圖②），點(diǎn)P為直線EF上的一個動點(diǎn)，連接PA，PO，是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）y=（x＞0） （2）OA=；C（5，） （3）P1（ ，），P2（﹣，），P3（，），P4（﹣，）． 【解析】

12、 （1）過點(diǎn)A作AH⊥OB于H， ∵sin∠AOB=，OA=10， ∴AH=8，OH=6， ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8），根據(jù)題意得： 8=，可得：k=48， ∴反比例函數(shù)解析式：y=（x＞0）； （2）設(shè)OA=a（a＞0），過點(diǎn)F作FM⊥x軸于M， ∵sin∠AOB=， ∴AH=a，OH=a， ∴S△AOH=?aa=a2， ∵S△AOF=12， ∴S平行四邊形AOBC=24， ∵F為BC的中點(diǎn)， ∴S△OBF=6， ∵BF=a，∠FBM=∠AOB， ∴FM=a，BM=a， ∴S△BMF=BM?FM=a?a=a2， ∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，

13、 ∵點(diǎn)A，F(xiàn)都在y=的圖象上， ∴S△AOH=k， ∴a2=6+a2， ∴a=， ∴OA=， ∴AH=，OH=2， ∵S平行四邊形AOBC=OB?AH=24， ∴OB=AC=3， ∴C（5，）； （3）存在三種情況： 當(dāng)∠APO=90°時，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，分別為：P1（ ，），P2（﹣，） 當(dāng)∠PAO=90°時， P3（，） 當(dāng)∠POA=90°時，P4（﹣，）． 5．（2019·四川中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)(且)的圖象在第一象限交于點(diǎn)、，且該一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，過、分別作軸的垂線，垂足分別為、．已知，． (1)求的值和反

14、比例函數(shù)的解析式； (2)若點(diǎn)為一次函數(shù)圖象上的動點(diǎn)，求長度的最小值． 【答案】(1)的值為4或-1；；(2). 【解析】 解：(1)將點(diǎn)代入，得，，解得，，， ∴的值為4或-1；反比例函數(shù)解析式為：； (2)∵軸，軸，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， 將，代入， 得：，解得，，， ∴， 設(shè)直線與軸交點(diǎn)為， 當(dāng)時，；當(dāng)時，∴，，則， ∴為等腰直角三角形，∴， 則當(dāng)垂直于時，由垂線段最短可知，有最小值， 此時． 【點(diǎn)睛】 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短等知識，解題關(guān)鍵是能夠熟

15、練運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)． 6．（2019·山東中考真題）如圖1，點(diǎn)、點(diǎn)在直線上，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)． （1）求和的值； （2）將線段向右平移個單位長度（），得到對應(yīng)線段，連接、． ①如圖2，當(dāng)時，過作軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，求的值； ②在線段運(yùn)動過程中，連接，若是以為腰的等腰三形，求所有滿足條件的的值． 【答案】（1），；（2）①；②是以為腰的等腰三形，滿足條件的的值為4或5． 【解析】 （1）∵點(diǎn)在直線上， ∴， ∴， ∴直線的解析式為， 將點(diǎn)代入直線的解析式中，得， ∴， ∴， 將在反比例函數(shù)解析式（）中，得； （2）①由

16、（1）知，，，∴反比例函數(shù)解析式為， 當(dāng)時， ∴將線段向右平移3個單位長度，得到對應(yīng)線段， ∴， 即：， ∵軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)， ∴， ∴，， ∴； ②如圖，∵將線段向右平移個單位長度（），得到對應(yīng)線段， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是以腰的等腰三形， ∴Ⅰ、當(dāng)時， ∴， ∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上， ∴， Ⅱ、當(dāng)時， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：是以為腰的等腰三形，滿足條件的的值為4或5． 【點(diǎn)睛】 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平移的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的

17、關(guān)鍵． 7．（2019·廣西中考真題）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)． （1）求直線和反比例函數(shù)的解析式； （2）已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離最短時的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2） 【解析】 解：（1）將點(diǎn)，點(diǎn)，代入， ∴， ∴； ∵過點(diǎn)作軸， ∵線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段， ∴≌（）， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）設(shè)與平行的直線， 聯(lián)立， ∴， 當(dāng)時，，此時點(diǎn)到直線距離最短； ∴； 【點(diǎn)睛】 本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握反比例函數(shù)的圖象

18、及性質(zhì)，當(dāng)直線與反比例函數(shù)有一個交點(diǎn)時，點(diǎn)到直線的距離最短是解題的關(guān)鍵． 8．（2019·廣西中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，交于點(diǎn)． （1）如圖（1），雙曲線過點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和雙曲線的解析式； （2）如圖（2），雙曲線與分別交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在軸上．求證，并求點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）如圖（3），將矩形向右平移個單位長度，使過點(diǎn)的雙曲線與交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時，求的值． 【答案】（1）， ；（2）證明見解析，；（3）滿足條件的的值為3或12． 【解析】 解：（1）如圖1中， ∵四邊形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵雙曲線過點(diǎn)， ∴． ∴

19、反比例函數(shù)的解析式為． （2）如圖2中， ∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴直線的解析式為， ∵關(guān)于對稱， ∴， ∵， ∴直線的解析式為， ∴． （3）如圖3中， ①當(dāng)時，∵，在反比例函數(shù)圖象上， ∴， ∴． ②當(dāng)時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∵，在反比例函數(shù)圖象上， ∴， ∴． 綜上所述，滿足條件的的值為3或12． 【點(diǎn)睛】 本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題． 9．（2019·遼寧中考真題）如

20、圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊交軸于點(diǎn)，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，． （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r，求出點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2） 【解析】 解：（1）∵是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵軸， ∴， ∴， ∵ ∴，即 把點(diǎn) 代入的得， ∴反比例函數(shù)的解析式為：． 答：反比例函數(shù)的解析式為：． （2）過點(diǎn)作垂足為， ∵，， ∴， ∴， ∴， 則點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)，此時最小， 設(shè)直線AB1的關(guān)系式為，將 ,，代入得， 解得：，， ∴直線的關(guān)系式為，

21、 當(dāng)時，， ∴點(diǎn) 答：點(diǎn)的坐標(biāo)為． 【點(diǎn)睛】 此題主要考查一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式與對稱性. 10．（2019·廣西中考真題）如圖，已如平行四邊形中，點(diǎn)為坐標(biāo)頂點(diǎn)，點(diǎn)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)． （1）求的值及直線的函數(shù)表達(dá)式： （2）求四邊形的周長． 【答案】（1）k=2，直線OB解析式為；（2）四邊形的周長為． 【解析】 (1)依題意有：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上， ∴， ∵， ∴， 又軸， ∴， 設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為， ∴， ∴， ∴直線的函數(shù)表達(dá)式為； (2)作于點(diǎn)， ∵， ∴， 在平行四邊形中， ，， ∴

22、四邊形的周長為：， 即四邊形的周長為． 【點(diǎn)睛】 本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答． 11．（2019·湖南中考真題）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的邊與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，其中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)． （1）已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式； （2）若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，滿足，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)，記的面積為，設(shè)，. ①用表示（不需要寫出的取值范圍）； ②當(dāng)取最小值時，求的值． 【答案】（1）;（2）;②．

23、 【解析】 解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：， 解得：， 故一次函數(shù)表達(dá)式為：， （2）①過點(diǎn)作， 則， 則， ∵，則，則點(diǎn)， 設(shè)：，則， 在中，， 同理， 則， 則點(diǎn)， ， ②∵，∴有最小值，當(dāng)時， 取得最小值， 而點(diǎn)， 故：． 【點(diǎn)睛】 本題為反比例函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到等腰三角形性質(zhì)、解直角三角形、一次函數(shù)等知識，其中（2）①，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，是本題解題的關(guān)鍵． 12．（2019·山東中考真題）(1)閱讀理解 如圖，點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，連接，取線段的中點(diǎn)．分別過點(diǎn)，，作軸的垂線，垂足為，，，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)．點(diǎn)，，的橫坐

24、標(biāo)分別為，，．小紅通過觀察反比例函數(shù)的圖象，并運(yùn)用幾何知識得出結(jié)論：AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一個關(guān)于，，之間數(shù)量關(guān)系的命題：若，則______． (2)證明命題 小東認(rèn)為：可以通過“若，則”的思路證明上述命題． 小晴認(rèn)為：可以通過“若，，且，則”的思路證明上述命題． 請你選擇一種方法證明(1)中的命題． 【答案】(1)；(2)證明見解析. 【解析】 (1)∵,,,,, ∴. (2)∵, ∵， ∴, ∴, ∴. 【點(diǎn)睛】 本題考查反比例函數(shù)圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的圖象等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．