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1、第七章,空間解析幾何,一、 空間直角坐標系,二、 向量及其應(yīng)用,數(shù)量積、向量積,,,,,,,,一、空間直角坐標系,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點 O ,,,坐標面,卦限(八個),1. 空間直角坐標系的基本概念,zOx面,,在直角坐標系下,,,,向徑,坐標軸上的點 P, Q , R ;,坐標面上的點 A , B , C,點 M,特殊點的坐標 :,有序數(shù)組,,,,,(稱為點 M 的坐標),原點 O(0,0,0) ;,,,,,,,坐標軸 :,,,,坐標面 :,表示法:,向量的模 :,向量的大小,,二
2、、向量及其應(yīng)用,向量:,(又稱矢量).,,既有大小, 又有方向的量稱為向量,自由向量:,與起點無關(guān)的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,,零向量:,模為 0 的向量,,有向線段 M1 M2 ,,或 a ,,,,,,或 a .,,(一). 向量的概念,零向量的方向是任意的.,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,,則稱此 k,個向量共面 .,(二). 向量的線性運算,,,,,,,,,,,,,,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,,,,,,運算規(guī)律 :,交換律,結(jié)合律,
3、三角形法則可推廣到多個向量相加 .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2. 向量的減法,,,,,,三角不等式,,,,,可見,,3. 向量與數(shù)的乘法, 是一個數(shù) ,,規(guī)定 :,總之:,運算律 :,結(jié)合律,分配律,因此,,,,,,設(shè),,,( 為唯一實數(shù)),注：,為非零向量 , 則,,(三). 向量的坐標表示,在空間直角坐標系下,,設(shè)點 M,則,沿三個坐標軸方向的分向量,,,,,,,,,,,的坐標為,,記,,,,,,利用坐標作向量的線性運算,則,,,,,,平行向量對應(yīng)坐標成比例:,,,,向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點間的距離公式,則有,,,,,,,,由勾股定理得,因,,,得兩點間的
4、距離公式:,對兩點,與,,,,,,2. 方向角與方向余弦,設(shè)有兩非零向量,任取空間一點 O ,,,,稱 =AOB (0 ) 為向量,,的夾角.,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標軸的夾角 , , ,,,,,,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,,,,,,,,,,,方向余弦的性質(zhì):,,,,,,,3. 向量在軸上的投影,,例如,,,在坐標軸上的投影分別為,,,, 即,,,投影的性質(zhì),(為實數(shù)),,,,,,,,,,,,,,,,,,定理1.,的充要條件是,證:,那么由,如果,設(shè)A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z3)為兩點，均非原點O,,則,x1x2+y1y2+z1z2=
5、0.,為鄰邊所確定的,平行四邊形,所以對角向量,和,長度相同。,即,而,于是有,,x1x2+y1y2+z1z2=0.,（充分性倒推即可）,為矩形。,,,,,(四) 兩向量的數(shù)量積,1. 定義,設(shè)向量,的夾角為 ,,稱,數(shù)量積,(點積) .,,,,,故,2. 性質(zhì),為兩個非零向量,,則有,,,,,,,,,,,3. 運算律,(1) 交換律,(2) 結(jié)合律,(3) 分配律,事實上, 當,時, 顯然成立 ;,,4. 數(shù)量積的坐標表示,設(shè),則,,當,為非零向量時,,由于,兩向量的夾角公式,, 得,于是方向余弦為,設(shè),顯然,=x,y,z.,(五) 兩向量的向量積,二、三階行列式,1. 定義,定義,向量,,
6、方向 :,(叉積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,,,,思考: 右圖三角形面積,S,,兩個向量的向量積,2. 性質(zhì),為非零向量, 則,,,,(4) 分配律,(5) 結(jié)合律,(6),3. 向量積的坐標表示式,設(shè),則,,,,,,,,,,,,,向量積的行列式計算法,,,,,,,,,,,例,設(shè)A(1,-1,3), B(3, 1,5), C(2, 1,7), 求ABC的面積。,SABC,解：,,,,(六) 向量的混合積,1. 定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積 .,幾何意義,為棱作平行六面體,,底面積,高,,,,故平行六面體體積為,,則其,2. 混合積的坐標表示,設(shè),,,,3. 性質(zhì),(1) 三個非零向量,共面的充要條件是,(2) 輪換對稱性 :,(可用三階行列式推出),,,,,,,,,,作業(yè) P266 3, 11 , 14, 17, 21,
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