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1、,*三、向量的混合積,第二節(jié),一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,數(shù)量積 向量積 *混合積,第八章,一、兩向量的數(shù)量積,沿與力夾角為,的直線(xiàn)移動(dòng),,,,,1. 定義,設(shè)向量,的夾角為 ,,稱(chēng),數(shù)量積,(點(diǎn)積) .,,,,,,,,,,故,2. 性質(zhì),為兩個(gè)非零向量,,則有,,,,,,,,,,3. 運(yùn)算律,(1) 交換律,(2) 結(jié)合律,(3) 分配律,事實(shí)上, 當(dāng),時(shí), 顯然成立 ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例1. 證明三角形余弦定理,證: 如圖 .,則,,,,,,,,,設(shè),4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示,設(shè),則,,當(dāng),為非零向量時(shí),,由于,兩向量的夾角公式,, 得,,,,例2. 已知
2、三點(diǎn), AMB .,,,,,解:,,,則,,,求,故,,為 ) .,求單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)該平面域的流體的質(zhì)量P (流體密度,例3. 設(shè)均勻流速為,的流體流過(guò)一個(gè)面積為 A 的平,面域 ,,與該平面域的單位垂直向量,,,,解:,單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)的體積:,的夾角為,且,,,,,,,,,,二、兩向量的向量積,引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點(diǎn) ,,有一個(gè)與杠桿夾角為,,,,,,,,,符合右手規(guī)則,,,,,,1. 定義,定義,向量,,方向 :,(叉積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,,,,引例中的力矩,思考: 右圖三角形面積,S,,2. 性質(zhì),為非零向量, 則,,,,,,,,,,3. 運(yùn)算律,(2)
3、分配律,(3) 結(jié)合律,,(證明略),證明:,4. 向量積的坐標(biāo)表示式,設(shè),則,,,,,,,,,,,,,向量積的行列式計(jì)算法,,,,,( 行列式計(jì)算見(jiàn)上冊(cè) P355P358 ),,,,,,,例4. 已知三點(diǎn),角形 ABC 的面積 .,解: 如圖所示,,,,,,,,,,,,,求三,一點(diǎn) M 的線(xiàn)速度,例5. 設(shè)剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉(zhuǎn),,導(dǎo)出剛體上,的表示式 .,,,,,,,解: 在軸 l 上引進(jìn)一個(gè)角速度向量,使,,其,在 l 上任取一點(diǎn) O,,作,,它與,則,點(diǎn) M離開(kāi)轉(zhuǎn)軸的距離,且,符合右手法則,的夾角為 ,,,,,,,,,,方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,,,向徑,,,*三、向量的混
4、合積,1. 定義,已知三向量,稱(chēng)數(shù)量,混合積 .,幾何意義,為棱作平行六面體,,底面積,高,,,,故平行六面體體積為,,則其,2. 混合積的坐標(biāo)表示,設(shè),,,,3. 性質(zhì),(1) 三個(gè)非零向量,共面的充要條件是,(2) 輪換對(duì)稱(chēng)性 :,(可用三階行列式推出),,,,,,,,,,例6. 已知一四面體的頂點(diǎn),4 ) , 求該四面體體積 .,解: 已知四面體的體積等于以向量,為棱的平行六面體體積的,故,,,,例7. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、,四點(diǎn)共面, 求點(diǎn) M 的坐標(biāo) x、y、z 所滿(mǎn)足的方程.,解: A、B、 C、M 四點(diǎn)共面,展開(kāi)行列式即得點(diǎn) M 的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的方程,,,,,,即,內(nèi)容小結(jié),設(shè),1. 向量運(yùn)算,加減:,數(shù)乘:,點(diǎn)積:,,叉積:,混合積:,2. 向量關(guān)系:,思考與練習(xí),1. 設(shè),計(jì)算,并求,夾角 的正弦與余弦 .,答案:,2. 用向量方法證明正弦定理:,證: 由三角形面積公式,所以,因,P22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12,第三節(jié),作業(yè),備用題,1. 已知向量,的夾角,且,解：,,,,,在頂點(diǎn)為,三角形中,,求 AC 邊上的高 BD .,解：,,,,三角形 ABC 的面積為,,2.,而,故有,,,
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