高中數(shù)學熱點題型專項訓練之 等差數(shù)列及其前n項和

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1、 ∴S?＝9? a?＋a 2???? ＝9a?＝99. 第?2?講 等差數(shù)列及其前?n?項和 一、選擇題 1．在等差數(shù)列{an}中，若?a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則?S9?等于( )． A．66 B．99 C．144 D．297 解析 ∵a?＋a?＋a?＝39，a?＋a?＋a?＝27， 1 4 7 3 6 9 ∴3a?＝39,3a?＝27， 4 6 ∴a?＝13，a?＝9. 4 6 ∴a?－a?＝2d＝9－13＝－4， 6 4 ∴d＝－2， ∴a?＝a?＋d＝13－2＝11， 5 4 1

2、9 9 5 答案 B 2．設等差數(shù)列{an}的前?n?項和為?Sn.若?a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當?Sn?取最小值 時，n?等于( )． A．6 B．7 C．8 D．9 解析 由?a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得?a9＝5，從而?d＝2，所以?Sn＝－ 11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此當?Sn?取得最小值時，n＝6. 答案 A 3．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則?a20?等于( )． A．－1 B．1 C．3 D．7 解析 兩式相減，可得?3d

3、＝－6，d＝－2.由已知可得?3a3＝105，a3＝35，所 以?a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B 4．在等差數(shù)列{an}中，S15>0，S16<0，則使?an>0?成立的?n?的最大值為 ( )． A．6 B．7 C．8 D．9 解析 依題意得?S15＝ 15(a1＋a15)?????????????????16(a1＋a16) ＝15a8>0，即??a8>0；S16＝ 2???????????????????????????????2  ＝8(a1 ＋a16)＝8(a8

4、＋a9)<0，即?a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使?an>0?成立的?n?的最大值 是?8，選?C. 答案 C ．已知 ABC?的一個內角為?120°，并且三邊長構成公差為?4?的等差數(shù)列，則△ ABC?的面積為( )． A．12?3 B．15?3 C．12 D．15 解析 不妨設角?A＝120°，c＜b，則?a＝b＋4，c＝b－4，于是?cos?120°＝ ＝－??，解得?b＝10，所以?S＝??bcsin?120°＝15???3. b2＋ b－ 2－ b＋ 2b b－ 2 1???????????????????1 2

5、???????????????????2 解析???a??=?1,a??=?5?T?S??=??a?+?a 2???????? 2???????? . S?＝k＋k k－ 答案 B 6.在等差數(shù)列?{a?}?中，?a?=?1,?a?=?5?,則?{a?}?的前?5?項和?S?=( ) n 2 4 n 5 A.7 B.15 C.20 D.25 a?+?a 1 5?′?5?= 2 4?′?5?=?15 2 4 5 答案 B 二、填空題 7．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn?為其前?n?項和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9

6、，則 k＝________. 解析 a?－a?＝2d＝4，d＝2，a?＝a?－10d＝21－20＝1， 7 5 1 11 k 2 ×2＝k2＝9.又?k∈N*，故?k＝3. 答案 3 S S 4 8．設等差數(shù)列{an}的前?n?項和為?Sn，若12－?93＝1，則公差為________． 4×3 3×2 解析 依題意得?S4＝4a1＋?2?d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋?2?d＝3a1＋3d，于是 有 4a1＋6d?3a1＋3d 12??－?9?＝1，由此解得?d＝6，即公差為?6. 9．兩個等差數(shù)列的前?n?

7、項和之比為5n＋10 答案 6  2n－1  ，則它們的第?7?項之比為________． n??＝?????? ，而 7＝ 1 T 2n－1??? b b?＋b { T 解析 設兩個數(shù)列{an}，bn}的前?n?項和為?Sn，n，則 S?5n＋10??a?a?＋a  n?7?1?13  13 T 2×13－1?? 1 ＝ S?5×13＋10??3 13＝?????????＝?. 13 ∴?? ＝???? ＝?? ，解得?n＝3，∴項數(shù)?2n＋1＝7，S?奇－S

8、?偶＝an＋1，即?a4＝44－n 33 答案 3∶1 10．設項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為?44，偶數(shù)項之和為?33，則這個數(shù) 列的中間項是________，項數(shù)是________． 解析 設等差數(shù)列{an}的項數(shù)為?2n＋1， (n＋1)(a1＋a2n＋1) S?奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝ 2 ＝(n＋1)an＋1， n(a2＋a2n) S?偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝ 2 ＝nan＋1， S奇 n＋1 44 S偶 33＝11?為所求中間項． 答案 11 7 三、解答題 11．已知數(shù)列{a

9、n}的前?n?項和?Sn＝10n－n2，(n∈N*)． (1)求?a1?和?an； (2)記?bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前?n?項和． 解?(1)∵Sn＝10n－n2，∴a1＝S1＝10－1＝9. ∵Sn＝10n－n2，當?n≥2，n∈N*時， S ＝10(n－1)－(n－1)2＝10n－n2＋2n－11， n－1 ∴an＝Sn－Sn－1＝(10n－n2)－(10n－n2＋2n－11) ＝－2n＋11. 又?n＝1?時，a?＝9＝－2×1＋11，符合上式． 1 則數(shù)列{an}的通項公式為?an＝－2n＋11(n∈N*)． (2)∵an＝

10、－2n＋11，∴bn＝|an|＝í n≤5?時，T?＝n? －2n＋ ì－2n＋ ?2n－ 設數(shù)列{bn}的前?n?項和為?Tn， n 2 ＝10n－n2； n n???， ， n>5?時?T?＝T?＋ n－ n 5  2 b?＋b 6?n ＝25＋??n－  2 ＋2n－  ＝25＋(n ∴數(shù)列{bn}的前?n?項和?Tn＝í (2)令?bn＝?? (n∈N*)，是否存在一個非零常數(shù)?c，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列？ ìa2a3＝45，??? ì(a1＋d)(a1＋2d)＝45， 解得

11、í???????? ∴an＝4n－3(n∈N*)． 2n?n－2÷ Sn －5)2＝n2－10n＋50， ì10n－n2 n≤5，n∈N* ， ?n2－10n＋ n>5，n∈N* 12．在等差數(shù)列{an}中，公差?d＞0，前?n?項和為?Sn，a2·?a3＝45，a1＋a5＝18. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； Sn n＋c 若存在，求出?c?的值；若不存在，請說明理由． 解 (1)由題設，知{an}是等差數(shù)列，且公差?d＞0， 則由í 得í ?a1＋a5＝18， ?a1＋(a1＋4d)＝18. ìa1＝1， ?d＝4. ?

12、 n(1＋4n－3) 1? 2 è ? ?? ＝ n＋c ＝???n＋c (2)由?bn＝n＋c， 1 ∵c≠0，∴可令?c＝－2，得到?bn＝2n. ∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)， ∴數(shù)列{bn}是公差為?2?的等差數(shù)列． 1 即存在一個非零常數(shù)?c＝－2，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列． 13．在數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足?an＋2＋an＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設?Sn?是數(shù)列{|an|}的前?n?項和，求?Sn. 且公差?d＝a4－a1 2－8 ∴Sn＝í (2)設?

13、a1＞0，數(shù)列ílg??a???1y的前?n?項和為?Tn.當?n?為何值時，Tn?最大？并求出 解 (1)由?2an＋1＝an＋2＋an?可得{an}是等差數(shù)列， 4－1?＝?3?＝－2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10. (2)令?an≥0，得?n≤5. 即當?n≤5?時，an≥0，n≥6?時，an<0. ∴當?n≤5?時，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n； 當?n≥6?時，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an) ＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋

14、…＋a5) ＝－(－n2＋9n)＋2×(－52＋45) ＝n2－9n＋40， ì－n2＋9n，n≤5， ?n2－9n＋40，n≥6. 14．已知數(shù)列{an}的前?n?項和為?Sn，且?a2an＝S2＋Sn?對一切正整數(shù)?n?都成立． (1)求?a1，a2?的值； ì 10a?ü ? n?t Tn?的最大值． 解 (1)取?n＝1，得?a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2， 取?n＝2，得?a2＝2a1＋2a2， 由②－①，得?a2(a2－a1)＝a2， ① ② ③ (i)若?a2＝0，由①知?a1＝0， (i

15、i)若?a2≠0，由③知?a2－a1＝1. ④ 由①、④解得，a1＝?2＋1，a2＝2＋?2；或?a1＝1－?2，a2＝2－?2. 綜上可得?a1＝0，a2＝0；或?a1＝?2＋1，a2＝?2＋2；或?a1＝1－?2，a2＝2－ 2. (2)當?a1＞0?時，由(1)知?a1＝?2＋1，a2＝?2＋2. 當?n≥2?時，有(2＋?2)an＝S2＋Sn，(2＋?2)an－1＝S2＋Sn－1， 1令?bn＝lg??a???， ???7(b1＋b7) 7(1＋1－3lg?2) 21 所以(1＋?2)an＝(2＋?2)an－1，即?an＝?2an－1(n≥2)， 所以?an＝a1(?2)n－1＝(?2＋1)·(?2)n－1. 10a n 1 1?100 則?bn＝1－lg(?2)n－1＝1－2(n－1)lg?2＝2lg2n－1， 1 所以數(shù)列{bn}是單調遞減的等差數(shù)列(公差為－2lg?2)， 10 從而?b1＞b2＞…＞b7＝lg?8?＞lg?1＝0， 1?100 1 當?n≥8?時，bn≤b8＝2lg128＜2lg?1＝0， ＝ 2 故?n＝7?時，Tn?取得最大值，且?Tn?的最大值為 T7＝ 2＝7－?2?lg?2.