高中數(shù)學熱點題型專項訓練之 空間向量及其運算

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1、 第?6?講 空間向量及其運算 一、選擇題 1．有下列命題： ①若?p＝xa＋yb，則?p?與?a，b?共面； ②若?p?與?a，b?共面，則?p＝xa＋yb. → → → ③若MP＝xMA＋yMB，則?P，M，A、B?共面； → →???→ ④若?P，M，A，B?共面，則MP＝xMA＋yMB. 其中真命題的個數(shù)是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析 其中①③為正確命題． 答案 B 2．若向量?a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a

2、)·(2b)＝－2，則?x ＝?( )． A．－4 B．－2 C．4 D．2 解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)． ∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. 答案 D b??c 3．若{a，，}為空間的一組基底，則下列各項中，能構成基底的一組向量是( )． A．{a，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 解析 若?c、a＋b、a－b

3、?共面，則?c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b， 則?a、b、c?為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量的一組基底矛盾，故?c，a ＋b，a－b?可構成空間向量的一組基底． 答案 C ＝?∠?AOC?＝?3?，?則???cos?〈?OA?，?BC?〉?的?值?為 4.如圖所示，已知空間四邊形?OABC，OB＝OC，且 π → → ∠?AOB (???)． A．0 3 C.?2 1 B.2 2 D.?2 解析?? 設OA＝a，OB＝b，OC＝c， A

4、1C1?與?B1D1?的交點．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c， → → → π 由已知條件〈a，b〉＝〈a，c〉＝3，且|b|＝|c|， 1 1 →?→ → → OA·?BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝2|a||c|－2|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0. 答案 A 5．如圖所示，在長方體?ABCD－A1B1C1D1?中，M?為 → → → 則下列向量中與BM相等的向量是 →  (???)． 1 1 A．－2a＋2b＋c 1 1 C．－2a－2b＋c 1???1 B.2a＋2b＋

5、c 1???1 D.2a－2b＋c → → → → 1?→ → 解析 BM＝BB1＋B?1M＝AA1＋2(AD－AB) 1 1 1 ＝c＋2(b－a)＝－2a＋2b＋c. 答案 A 6．如圖，在大小為?45°的二面角?A－EF－D?中，四邊形?ABFE，CDEF?都是邊長為 1?的正方形，則?B，D?兩點間的距離是( ) A.?3 B.?2 C．1 ＋2→·→＝1＋1＋1－???2＝3－???2，故|BD|＝???3－???2. BF???ED 7.??在空間四邊形?A

6、BCD?中，AB·?CD＋AC·?DB＋AD·?BC＝ 解析?? 如圖，設AB＝a，AC＝b，AD＝c， 解析??如圖，AC′＝→＋→＋CC′＝→＋→＋AA′， AB BC AB AD 所以|AC′|＝|AC′|＝|AB＋→＋AA′| AD D.?3－?2 BD → → → → → → → → FE → ED 解析?∵→＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·→＋2FE·→ → 答案 D 二、填空題 →?→ →?→ →?→ ________. → → → →?→ →?→ →

7、?→ AB·?CD＋AC·?DB＋AD·?BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b －a)＝0. 答案 0 8．在平行六面體(即六個面都是平行四邊形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中， AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，則?AC′ 的長為________． → → → → → → ＝???? →??＋→??＋AA′2＋AB2 AD2 →·→＋→·AA′＋→·AA′ AB AD AB AD ＝?1＋4＋9＋ → →?→

8、 ＋???????????????＝?23. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 答案 23 9?．已知?ABCD－?A?B?C?D?為正方體，①?(?A?A?＋?A?D?＋?A?B?)2?＝?3?A?B 2?；② 1 1 1 1 A?C?·(?A?B?－?A?A?)＝0；③向量?AD?與向量?A?B?的夾角是?60°；④正方體 1 1 1 1 1 1 1 ABCD－?A?B?C?D?的?體?積?為?|?AB?·?AA?·?AD?|.?其?中?正?確?命?題?的?序?號?是 1 1 1 1 1

9、 1 8×5 (OA＋OB＋OC)． (1)判斷MA、MB、MC三個向量是否共面； ∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)， 即MA＝BM＋CM＝－MB－MC， ∴MA，MB，MC共面． ??解析 設OA＝a，OB＝b，OC＝c. ???|OA·?BC| 24－16???2 3－2???2 ???∴cos?θ＝?→ →?＝ 5 . ??答案 3－2???2 ??解 (1)由已知OA＋OB＋OC＝3??OM， ________． 解析?由?AA?⊥?A?D?，AA?⊥?A?B?，A?D?⊥?A?B?⊥?A?B?，得(?A?A?＋?A?D?＋ 1 1 1 1

10、 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A1?B1?)2＝3(?A1?B1?)2，故①正確；②中?A1?B1?－?A1?A?＝?AB1?，由于?AB1⊥A1C，故 ②正確；③中?A?B?與?AD?兩異面直線所成角為?60°，但?AD?與?A?B?的夾角為 1 1 120°，故③不正確；④中|?AB?·?AA?·?AD?|＝0.故④也不正確． 1 答案?①② 10．如圖，空間四邊形?OABC?中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝ 45°，∠OAB＝60°，則?OA?與?BC?所成角的余弦值等于________． → → →

11、 OA?與?BC?所成的角為?θ， →?→ → → → → OA·?BC＝a(c－b)＝a·?c－a·?b＝a·(a＋AC)－a·(a＋AB)＝a2＋a·?AC－a2－a·?AB＝ 24－16?2. →?→ ＝ |OA|·|BC| 5 三、解答題 → 1 11．已知?A、B、C?三點不共線，對平面?ABC?外的任一點?O，若點?M?滿足OM＝3 → → → → → → (2)判斷點?M?是否在平面?ABC?內(nèi)． → → → → → → → → → → → → → → →

12、→ → → (2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基線過同一點?M， 解??? 如圖，以?O?點為原點建立空間直角坐標系?O－xyz，則?A（0，－????2a,0）， B（????2 a,0,0），C（0，?? a,0），D（0,0，?? a），E（0，－?? a，?? a）， F（?? a，?? a,0）. → → → ∴四點?M，A，B，C?共面，從而點?M?在平面?ABC?內(nèi)． 12．把邊長為?a?的正方形?ABCD?沿對角線?AC?折起成直二面角，點?E、F?分別是?AD、 BC?的中點，點?O?是原正方形的中心，求： (1)EF

13、?的長； (2)折起后∠EOF?的大?。? 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 →|2＝?????2 (2)→＝?0，－? a，? a÷，→＝?? a，? a，0÷， OE OF →·→＝0×???2a＋?? →|＝a，|→|＝a，cos〈→，→〉＝??OE·OF?＝－1， |OE OF OE???OF |→||→| OE???OF 證明?? 設AB＝a，AC＝b，AD＝c，則 ? ??2 2?? ? 2?? 3 3 (1)|EF a－0÷2＋? a＋ a÷2＋?0

14、－ a÷2＝?a2，∴|EF|＝ a. è?4 ? è?4 4?? è 4?? 4 2 ????2 ? 2 2?? 2 ? 4 4???? 4 è è?4 ? 2?? ??2?? 2 a2 OE?OF － a÷×? a÷＋ a×0＝－?， 4 è 4?? è?4?? 4 8 → → 2 2 2 ∴∠EOF＝120°. 13．如圖，已知?M、N?分別為四面體?ABCD?的面?BCD?與面?ACD?的重心，且?G 為?AM?上一點，且?GM∶GA＝1∶3.求證：B、G、N?三點共線． → → → → → → → 3?→ B

15、G＝BA＋AG＝BA＋4AM ∴BN∥BG，即?B、G、N?三點共線． (1)EF·?BA；(2)EF·?DC；(3)EG?的長； 4 4 4 2 2 2 2 ??解 設AB＝a，AC＝b，AD＝c. EF·?BA＝?2c－2a÷·(－a)＝??a2－??a·c＝??，2 2 4 ?2 2 2 2＝??a?＋??b?＋??c?－??a·b＋??b·c－??c·a＝??，則|EG|＝?2. 1 3 1 1 ＝－a＋4(a＋b＋c)＝－4a＋4b＋4c， → → → → 1?→ → BN＝BA＋AN＝BA＋3(AC＋AD) 1 1 4?→ ＝－a

16、＋3b＋3c＝3BG. → → 14．如圖所示，已知空間四邊形?ABCD?的每條邊和對角線 長都等于?1，點?E，F(xiàn)，G?分別是?AB、AD、CD?的中點， 計算： →?→ →?→ (4)異面直線?AG?與?CE?所成角的余弦值． → → → 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， → 1?→ 1 1 → → (1)EF＝2BD＝2c－2a，BA＝－a，DC＝b－c， →?→ ?1 1?? 1 1 1 è ? →?→ 1 (2)EF·?DC＝2(c－a)·(b－c) 1 1 ＝2(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－4； → → → → 1 1 1 (3)EG＝EB＋BC＋CG＝2a＋b－a＋2c－2b 1 1 1 ＝－2a＋2b＋2c， 1 1 1 → 1 1 1 1 → 2 |EG| 1 → 1 → → → 1 (4)AG＝2b＋2c，CE＝CA＋AE＝－b＋2a， →?→ → → AG·?CE 2 cos〈AG，CE〉＝?→?→?＝－3， |AG||CE| 由于異面直線所成角的范圍是(0°，90°]， 2 所以異面直線?AG?與?CE?所成角的余弦值為3.