高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練之 拋物線

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1、 A.???????????????? B.??????????????? C．－????????????? D．－ 解析?? 根據(jù)分析把拋物線方程化為?x2＝－2???－a÷y，則焦參數(shù)?p＝??－a， 故拋物線的準(zhǔn)線方程是?y＝??＝??? ，則??? ＝1，解得?a＝－??. 解析?? 結(jié)合圖象可知，過焦點(diǎn)斜率為?? 3 3????? 3 第?6?講 拋物線 一、選擇題 1．拋物線?x2＝(2a－1)y?的準(zhǔn)線方程是?y＝1，則實(shí)數(shù)?a＝( ) 5 3 1 3 2 2 2 2 ?1 ? 1 è2 ? 2 1 1 －a －a 2

2、p 2 3 2 2 2 2 答案 D 2．將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線?y2＝2px(p＞0)上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角 形個(gè)數(shù)記為?n，則( )． A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3 3 和－ 的直線與拋物線各有兩個(gè)交 點(diǎn)，所以能夠構(gòu)成兩組正三角形．本題也可以利用代數(shù)的方法求解，但顯得有 些麻煩． 答案 C 3．已知拋物線?C：y2＝4x?的焦點(diǎn)為?F，直線?y＝2x－4?與?C?交于?A，B?兩點(diǎn)，則 B.5????????????? 3C．－5 cos∠AFB＝ 4 A.5  3

3、 (???)． 4 D．－5 →|＝5，|FB|＝2，F(xiàn)A·?FB＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝?FA·?FB?＝ －2)，則|FA |FA||FB| ì?y2＝4x 解析 由í 得?x2－5x＋4＝0，∴x＝1?或?x＝4.不妨設(shè)?A(4,4)，B(1， ??y＝2x－4， →?→ → →?→ →?→ －8 5×2 4 ＝－5.故選?D. 答案 D x2 y2 4．已知雙曲線?C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的離心率為?2.若拋物線?C2：x2＝2py(p>0)

4、 的焦點(diǎn)到雙曲線?C1?的漸近線的距離為?2，則拋物線?C2?的方程為 ( )． 8?3 A．x2＝?3?y C．x2＝8y 16?3 B．x2＝?3?y D．x2＝16y ＝4，∴??＝???3.x2＝2py x2 y2 c c2 a2＋b2 ????????????????????? ＝2，即???? 解析 ∵a2－b2＝1?的離心率為?2，∴a a2＝?a2 b a 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為?0，2÷，a2－b2＝1?的漸近線方程為?y＝±ax，即?y＝±???3x.由題意， A.????17 2????????

5、????????????????????????????????????????? 2 解析?? 依題設(shè)?P?在拋物線準(zhǔn)線的投影為?P′，拋物線的焦點(diǎn)為?F，則?F???，0÷. ? p??x2 y2 b è ? p 2 得 ＝2，∴p＝8.故?C2：x2＝16y，選?D. 1＋(?3)2 答案 D 5．已知點(diǎn)?P?是拋物線?y2＝2x?上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)?P?到點(diǎn)(0,2)的距離與?P?到該拋 物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為( ) 9 B．3 C.?5 D. ?1 ? è2 ? 依拋物線的定義知?P?到該拋物線準(zhǔn)線的距離為?|P

6、P′|＝|PF|，則點(diǎn)?P?到點(diǎn) A(0,2)?的距離與?P?到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和 d?＝?|PF|?＋?|PA|≥|AF|?＝ è2? 2 ?1? ??÷ 17 2＋22＝???. 答案 A 6．已知直線?l?過拋物線?C?的焦點(diǎn)，且與?C?的對稱軸垂直，l?與?C?交于?A，B?兩點(diǎn)， |AB|＝12，P?為?C?的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP?的面積為( )． A．18 B．24 C．36 D．48 解析 如圖，設(shè)拋物線方程為 y2＝2px(p＞0)． ∵當(dāng)?x＝??時(shí)，|y|＝p， ∴p＝|A

7、B|＝12＝6. 且滿足|NF|＝?? |MN|，則∠NMF＝________. 解析??過?N?作準(zhǔn)線的垂線，垂足是?P，則有?PN＝NF，∴PN＝????3MN，∠NMF＝∠ p 2 2 2 又?P?到?AB?的距離始終為?p， 1 ∴?ABP＝2×12×6＝36. 答案 C 二、填空題 7．已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)?(1,0)，且與直線?x＝－?1?相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為 ________． 解析 設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與其到直線?x＝ －1?的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的

8、軌跡方程為?y2＝4x. 答案 y2＝4x 8．已知拋物線?y2＝4x?的焦點(diǎn)為?F，準(zhǔn)線與?x?軸的交點(diǎn)為?M，N?為拋物線上的一點(diǎn)， 3 2 2 MNP.又?cos∠MNP＝ 3 2  ， ∴∠MNP＝ ，即∠NMF＝ π π 6 6  . 答案?? π 6 9．設(shè)圓?C?位于拋物線?y2＝2x?與直線?x＝3?所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi)，則圓 C?的半徑能取到的最大值為________． 解析 依題意，結(jié)合圖形的對稱性可知，要使?jié)M足題目約束條件的圓的半徑最

9、 大，圓心位于?x?軸上時(shí)才有可能，可設(shè)圓心坐標(biāo)是(a,0)(0＜a＜3)，則由條件 知圓的方程是?(x－a) ì?x－a 2＋y2＝(3－a)2.由í ?y2＝2x 2 ＋y2＝??－a 2  消去?y 得?x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，結(jié)合圖形分析可知，當(dāng)?Δ＝[2(1－a)]2－4(6a －9)＝0?且?0＜a＜3，即?a＝4－?6時(shí)，相應(yīng)的圓滿足題目約束條件，因此所 求圓的最大半徑是?3－a＝?6－1. 答案 6－1 25 B | 10．過拋物線?y2＝2x?的焦點(diǎn)?F?作直線

10、交拋物線于?A，?兩點(diǎn)，若|AB|＝12，AF|<|BF|， 則|AF|＝________. ?x－2÷，聯(lián)立得，í ???? 1? ?y＝k??èx－12?÷?， 解析?? 設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線為???y＝k è ? ìy2＝2x，  整理 k2＋2??????????????????????? k2＋2 1 1 得，k2x2－(k2＋2)x＋4k2＝0，x1＋x2＝?k2?，x1x2＝4.|AB|＝x1＋x2＋1＝?k2?＋ 25 1 1＝12，得，k2＝24，代入?k2x2－(k2＋2)x＋4k2

11、＝0?得，12x2－13x＋3＝0，解之 1 3 1 5 得?x1＝3，x2＝4，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋2＝6. 答案 5 6 則直線方程為?y＝－x＋??p. ＝x?＋??＋x?＋??， 三、解答題 11．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以?x?軸為對稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為?135°的直線， 被拋物線所截得的弦長為?8，試求該拋物線的方程． 解 依題意，設(shè)拋物線方程為?y2＝2px(p＞0)， 1 2 設(shè)直線交拋物線于?A(x?，y?)、B(x?，y?)兩點(diǎn)， 1 1 2 2 過?A、B?分別作準(zhǔn)線

12、的垂線，垂足分別為?C、D， 則由拋物線定義得 |AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD| 2 p p 1 2 2 即?x?＋x?＋p＝8.① 1 2 又?A(x?，y?)、B(x?，y?)是拋物線和直線的交點(diǎn)， 1 1 2 2 ìy＝－x＋1p， 由í 2 ?y2＝2px， 消去?y， 得?x2－3px＋???＝0，所以?x?＋x?＝3p. 12．已知拋物線?C：y2＝4x，過點(diǎn)?A(－1,0)的直線交拋物線?C?于?P、Q?兩點(diǎn)，設(shè)AP ＝λAQ. (2)若?λ∈ê3，2ú，求|PQ|的最大值．

13、 ∵AP＝λAQ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2， ∴MF＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2) ＝λ?λ－1，y2÷＝λFQ， p2 4 1 2 將其代入①得?p＝2，所以所求拋物線方程為?y2＝4x. 當(dāng)拋物線方程設(shè)為?y2＝－2px(p＞0)時(shí)， 同理可求得拋物線方程為?y2＝－4x. 綜上，所求拋物線方程為?y2＝4x?或?y2＝－4x. → → (1)若點(diǎn)?P?關(guān)于?x?軸的對稱點(diǎn)為?M，求證：直線?MQ?經(jīng)過拋物線?C?的焦點(diǎn)?F； é1 1ù ? ? 思維啟迪：(1)可利用向量共線證明直線?MQ?

14、過?F；(2)建立|PQ|和?λ?的關(guān)系，然 后求最值． (1)證明 設(shè)?P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)． → → 1 ∴y21＝λ2y2，y2＝4x1，y2＝4x2，x1＝λ2x2， ∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1， 1 ∵λ≠1，∴x2＝λ，x1＝λ，又?F(1,0)， → ?1 ? → è ? ∴直線?MQ?經(jīng)過拋物線?C?的焦點(diǎn)?F. 1 (2)由(1)知?x2＝λ，x1＝λ， 1 得?x1x2＝1，y2·?y2＝16x1x2＝16， ∵y1y2>0，∴y

15、1y2＝4， ＝?λ＋λ÷2＋4?λ＋λ÷－12 ＝?λ＋λ＋2÷2－16， ，??ú2?，λ＋??∈ê2，?3?ú， êλ∈?3 1 則|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝x21＋x2＋y2＋y2－2(x1x2＋y1y2) ? 1? ? 1? è ? è ? ? 1 ? è ? é1 1ù 1 é5 10ù λ ? ? ? ? 1 10 1 112 4?7 當(dāng)?λ＋λ＝?3?，即?λ＝3時(shí)，|PQ|2?有最大值?9?，|PQ|的最大值為?3?. 13．設(shè)拋物線?C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為?F，準(zhǔn)線為?l，A?為

16、?C?上一點(diǎn)，已知以?F 為圓心，F(xiàn)A?為半徑的圓?F?交?l?于?B，D?兩點(diǎn)． (1)若∠BFD＝90°，△ABD?的面積為?4 2，求?p?的值及圓?F?的方程； (2)若?A，B，F(xiàn)?三點(diǎn)在同一直線?m?上，直線?n?與?m?平行，且?n?與?C?只有一個(gè)公 共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到?m，n?距離的比值． | 解 (1)由已知可得△BFD?為等腰直角三角形，?BD|＝2p，圓?F?的半徑|FA|＝?2 p. 由拋物線定義可知?A?到?l?的距離?d＝|FA|＝ 2p. 1 因?yàn)椤鰽BD?的面積為?4 2，所以2|BD|·?d＝4 2，

17、 1 即2·2p· 2p＝4 2，解得?p＝－2(舍去)或?p＝2. 所以?F(0,1)，圓?F?的方程為?x2＋(y－1)2＝8. (2)因?yàn)?A，B，F(xiàn)?三點(diǎn)在同一直線?m?上，所以?AB?為圓?F?的直徑，∠ADB＝90°. 1 由拋物線定義知|AD|＝|FA|＝2|AB|. 3 3 所以∠ABD＝30°，m?的斜率為?3?或－?3?. 3 3 2 3 當(dāng)?m?的斜率為?3?時(shí)，由已知可設(shè)?n：y＝?3?x＋b，代入?x2＝2py?得?x2－?3?px －2pb＝0. 4 由于?n?與?C?只有一個(gè)公共點(diǎn)，故?Δ＝3p2＋8pb＝0，

18、 p 解得?b＝－6. p |b?| | 因?yàn)?m?的縱截距?b1＝2，?|b1?＝3， 所以坐標(biāo)原點(diǎn)到?m，n?距離的比值為?3. 3 當(dāng)?m?的斜率為－?3?時(shí)，由圖形對稱性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到?m，n?距離的比值為 3. 綜上，坐標(biāo)原點(diǎn)到?m，n?距離的比值為?3. 14．如圖所示，拋物線關(guān)于?x?軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)?P(1,2)，A(x?， 1 y?)，B(x?，y?)均在拋物線上． 1 2 2 則?kPA＝y(tǒng)?－2 (x?≠1)，kPB＝

19、2 (x?≠1)， x?－1 1 x?－1 2 (1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程； (2)當(dāng)?PA?與?PB?的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求?y?＋y?的值及直線?AB?的斜率． 1 2 解 (1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為?y2＝2px(p＞0)． ∵點(diǎn)?P(1,2)在拋物線上，∴22＝2p×1，解得?p＝2. 故所求拋物線的方程是?y2＝4x，準(zhǔn)線方程是?x＝－1. (2)設(shè)直線?PA?的斜率為?kPA，直線?PB?的斜率為?kPB， y?－2 1 1 2 ∵PA?與?PB?的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，∴kPA＝－kPB. 由?A(x?，y?)，B(x?，y?)均在拋物線上，得 1 1 2 2 y2＝4x?，① 1 1 y2＝4x?，② 2 2 ∴??y1－2 y2－1 1 y2－1 1 4 1 y?－2 ＝－?2 4?2  ，∴y?＋2＝－(y?＋2)． 1?2 ∴y?＋y?＝－4. 1 2 由①－②得，y2－y2＝4(x?－x?)， 1 2 1 2 2＝ x?－x ∴kAB＝ y?－y 1 1?2 4 y?＋y 1?2  ＝－1(x?≠x?)． 1?2