高中數(shù)學(xué)熱點題型專項訓(xùn)練之 基本不等式

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1、 1．若?x＞0，則?x＋??的最小值為(??? )． 解析?? ∵x＞0，∴x＋??≥4. 第4講 基本不等式 一、選擇題 4 x A．2 B．3 C．2?2 D．4 4 x 答案 D a c 2．已知?x＞0，y＞0，x，?，b，y?成等差數(shù)列，x，?，d，y?成等比數(shù)列，則 的最小值是( )． A．0 B．1 C．2 D．4  a＋b cd 

2、 2 解析 由題知?a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，則 xy 2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)?x＝y(tǒng)?時取等號． ≥ xy a＋b cd 2  ＝ x＋y xy 2 答案 D 3．小王從甲地到乙地的時速分別為?a?和?b(a

3、、乙兩地之間的距離為?s. 2s 2ab 2ab < ＝?ab. a＋b?2?ab 2ab 又?v－a＝ ab－a2?a2－a2 －a＝?????>?????＝0，∴v>a. a＋b?????a＋b??a＋b 答案 A 4．若正實數(shù)?a，b?滿足?a＋b＝1，則( )． a b 1 1 A.?＋?有最大值?4  B．a(chǎn)b?有最小值 1 4 D．a(chǎn)2＋b2?有最小值????2 C.?a＋?b有最大值?2  2 2?? ＝? a＋b ，所以?ab≤??，

4、故?B?錯； a2＋b2 解析 由基本不等式，得?ab≤  2 2 －2ab?????????1 4 a b?? ab?? ab???????????????????????????? 2 2????＝?? 1 1 1 a＋b 1 a＋?b ＋?＝ ＝ ≥4，故?A?錯；由基本不等式得 ≤ a＋b  2  ， 即???a＋???b≤?? 2，故?C?正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×??＝??， 起連續(xù)使用，第?n?天的維修保養(yǎng)費為?? ＋4.9，n∈N*?元，使用它直至“報廢 1

5、1 4 2 故?D?錯． 答案 C 5．氣象學(xué)院用?3.2?萬元買了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天 n 10 最合算”(所謂“報廢最合算”是指使用的這臺儀器的平均每天耗資最少)一 共使用了( ) A．600?天 B．800?天 C．1?000?天 D．1?200?天 5＋?? ＋4.9?n 解析?設(shè)一共使用了?n?天，則使用?n?天的平均耗資為  32?000＋ n 10 2 n?????????＝ n?????? ＋4.95， 20 當(dāng)且僅當(dāng)?32?

6、?000? n n?????? 時，取得最小值，此時??n＝800.本題的函數(shù)模型是一個 20 32?000 n ＋ ＝ 在生活中較為常見的模型，注意如何建立這類問題的函數(shù)關(guān)系式，在有的問 題中儀器還可以做廢品再賣一點錢，這樣要從總的耗資中把這部分除去． 答案 B 1 2 2m?8? 1 2 6．已知兩條直線?l?：y＝m?和?l?：y＝ ?＋1(m?>0)，l?與函數(shù)?y＝|logx|的圖象從 2 2 左至右相交于點?A?，B?，l?與函數(shù)?y＝|logx|的圖象從左至右相交于點?C?，D?. b 記線段

7、?AC?和?BD?在?x?軸上的投影長度分別為?a，b.當(dāng)?m?變化時，a的最小值 為 ( )． xC?－xA?與?xB?－xD?同號，所以a＝??? ， x?－x C?．8 A?．16?2 B?．8?2 3?4 2 解析 如圖，作出?y＝|logx|的圖象，由圖 可知?A?，C?點的橫坐標(biāo)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，B?， D?點的橫坐標(biāo)在區(qū)間?(1，＋∞)內(nèi)，而且 b xB?－xD C A 3 D?．4?4 2 2 根據(jù)已知|logxA?|＝m?，即－log?xA?＝m?，所以?xA?＝2－m?.同理可

8、得?xC?＝2－ 8 2m?＋1  ， b 1????? 1＝ 8?? ＝ 8?? －2m? 2m?－2 2 2m?·2? 8 xB?＝2m?，xD?＝2  8 2m?＋1 8 2m?－2 2m?＋1 ，所以a＝?8 2－?－2－m 2m?＋1  ＝ 8?8 2m?－2?2m?－2 2m?＋1??????2m?＋1 2m?＋1 2m?＋1 2m?＋1 2m?＋1 2?? －2≥4－2＝2，當(dāng)且僅當(dāng) 2 8?????????????8?

9、????????8?1?????1??7???????????8 ＋m?，由于?＋m?＝?＋ 2m?＋1?????????2m?＋1?????2m?＋1?????????????????????????????2m?＋1 2m?＋1 ＝ 3??????????????b???????????7 2??，即?2m?＋1＝4，即?m?＝2時等號成立，故a的最小值為?22＝8?2. 解析?? 依題意有?(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋2×2x×y≤1＋2·?????? 8 答案?? 2???10 答案 B 二、填空題 7．設(shè)?x，y?為

10、實數(shù)．若?4x2＋y2＋xy＝1，則?2x＋y?的最大值是________． 3 3?2x＋y 5 2，得?(2x＋ 2 2?10 10 2?10 2 y)?≤1，即|2x＋y|≤?5?.當(dāng)且僅當(dāng)?2x＝y(tǒng)＝?5?時，2x＋y?取最大值?5?. 5 8．在平面直角坐標(biāo)系?xOy?中，過坐標(biāo)原點的一條直線與函數(shù)?f(x)＝??的圖象交 解析?? 假設(shè)直線與函數(shù)?f(x)＝??的圖象在第一象限內(nèi)的交點為?P，在第三象限 2 x 于?P，Q?兩點，則線段?PQ?長的最小值是________． 2 x 內(nèi)的交點為?Q，由題意知線

11、段?PQ?的長為?OP?長的?2?倍． x2＋???≥4.當(dāng)且僅當(dāng)?x2＝???， 2 x 假設(shè)?P?點的坐標(biāo)為?x0， ，則|PQ|＝2|OP|＝2 0 4????????????????4 0?x2?0?x2 0?0 即?x?＝?2時，取“＝”號． 0 答案 4 9．若正數(shù)?a，b?滿足?ab＝a＋b＋3，則?ab?的取值范圍是________． 解析 由?a，b∈R?＋，由基本不等式得?a＋b≥2?ab， 則?ab＝a＋b＋3≥2?ab＋3， 即?ab－2?ab－3≥0 (?ab－3)(?ab＋1)≥0 ab

12、?≥3， ∴ab≥9. 答案 [9，＋∞) 1 1 10．已知兩正數(shù)?x，y?滿足?x＋y＝1，則?z＝?x＋x?y＋y?的最小值為________。 1 1 1 y x 1 x＋y?2－2xy 2 解析 z＝?x＋x?y＋y?＝xy＋xy＋x＋y＝xy＋xy＋ xy ＝xy＋xy－2， 4??上單調(diào)遞減，故當(dāng)?t＝4 2???? 4 2＝??.由?f(t)＝t＋??在?0， 令?t＝xy，則?0

13、5 時?f(t)＝t＋?t有最小值?4?，所以當(dāng)?x＝y(tǒng)＝2時，z?有最小值?4?. 答案 25 4 11．設(shè)??a，b，c?都是正數(shù)，求證： ＋ ＋ ≥a＋b＋c. 證明??∵a，b，c?都是正數(shù)，∴ ， ， 都是正數(shù)． 三、解答題 bc?ac?ab a b c bc?ca?ab a b c ∴bc＋ca≥2c，當(dāng)且僅當(dāng)?a＝b?時等號成立， ＋?? ≥2a，當(dāng)且僅當(dāng)?b＝c?時等號成立， ＋?? ≥2b，當(dāng)且僅當(dāng)?a＝c?時等號成立． a b ca?ab b c ab?bc c a

14、 ＋?? ＋?? )≥2(a＋b＋c)， 三式相加，得?2( bc?ca?ab a??b??c ＋?? ＋ ≥a＋b＋c. 即 bc?ca?ab a??b??c 當(dāng)且僅當(dāng)?a＝b＝c?時等號成立． 12．已知?x>0?，y>0?，且?2x＋5y＝20. (1)求?u＝lgx＋lgy?的最大值； 1 1 (2)求x＋y的最小值． 解 (1)∵x>0?，y>0?， ∴由基本不等式，得?2x＋5y≥2?10xy. ∵2x＋5y＝20，∴2?10xy≤20，xy≤10，當(dāng)且僅當(dāng)?2x＝5y?時，等號成立．

15、 2x＋5y＝20， x＝5， 因此有 解得 2x＝5y， y＝2， 此時?xy?有最大值?10. ∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg?10＝1. ∴當(dāng)?x＝5，y＝2?時，u＝lgx＋lgy?有最大值?1. 1 1 1 1?2x＋5y (2)∵x>0?，y>0?，∴x＋y＝?x＋y?·?20 ＝ 1 5y 2x 1 7＋?x?＋?y??≥ 20 20?7＋2 5y?2x??7＋2?10 y x?·?＝?20 5y?2x ，當(dāng)且僅當(dāng)?x?＝?y?時，等號成立． 3 3??? . 2x＋5y＝20

16、， 由?5y 2x x?＝?y?，  解得 10?10－20 x＝?????????， 20－4?10 y＝ 1 1 7＋2?10 ∴x＋y的最小值為 20 . 13．設(shè)?f(x)＝??16x x2＋8 (x>0)． (1)解?? f(x)＝??16x ＝??? ≤??????? ＝2???2， (1)求?f(x)的最大值； 21 (2)證明：對任意實數(shù)?a，b，恒有?f(a)

17、，即?x＝2?2時，等號成立． 所以?f(x)的最大值為?2?2. 21 3 (2)證明 b2－3b＋?4?＝?b－2?2＋3， 3 21 當(dāng)?b＝2時，b2－3b＋?4?有最小值?3， 由(1)知，f(a)有最大值?2?2， 21 ∴對任意實數(shù)?a，b，恒有?f(a)

18、 寬均為?2?米，如圖，設(shè)池塘所占的總面積為?S?平方 米． (1)試用?x?表示?S； (2)當(dāng)?x?取何值時，才能使得?S?最大？并求出?S?的最大值． x－6 解 (1)由圖形知，3a＋6＝x，∴a＝?3?. x????－4?·＋2a? x???－6 則總面積?S＝ 1?800?????????1?800 a ＝a 5?400??????x－6?5?400 x?－16?＝?3??x?－16 ＝1?832－ 10?800?16x x??＋?3?， 即?S＝1?832－ 10?800?16x x??＋?3?(x＞0)． (2)由?S＝1?832－ 10?800?16x x??＋?3?， 得?S≤1??832－2??? 10??80016x x ·3?＝1?832－2×240＝1?352. 當(dāng)且僅當(dāng) 10?800?16x x??＝?3?，此時，x＝45. 即當(dāng)?x?為?45?米時，S?最大，且?S?最大值為?1?352平方米.